Circuitos RC

Consideremos o circuito da figura 5.1. Neste circuito temos uma fonte de tensão de valor $e(t)$, variável, ligada em série com uma resistência $R$ e um condensador $C$. A fonte de tensão varia como uma onda quadrada representada no gráfico da figura entre 0 e E volts. Estamos interessados em determinar como varia a tensão $v_C(t)$ aos terminais do condensador $C$. Vamos começar por escrever a lei da malha

Figura 5.1: circuito RC série (a) e forma de onda em $e(t)$ (b).

$$e(t) = Ri(t) + v_C(t),$$ (5-1.01)

por outro lado sabemos que

$$i(t) = C {{dv_C(t)}\over {dt}},$$ (5-1.02)

substituindo (5-1.2) em (5-1.1) temos uma equação diferencial de primeira ordem com segundo membro em $v_C(t)$, que é

$$RC {{dv_C(t)}\over {dt}} + v_C(t) = e(t).$$ (5-1.03)

Existem pelo menos duas formas de resolver a equação (5-1.3): uma é através da solução directa da equação diferencial considerando primeiro a equação homogénea e depois a equação forçada com segundo membro; a outra é utilizando a Transformada de Laplace (TL) estudada no capítulo anterior. Vamos utilizar a TL, calculando a TL de ambos os membros de (5-1.3) obtemos

$$RC[sV_C(s) - v_C(0)] + V_C(s)=E(s),$$ (5-1.04)

sabendo que o condensador se encontra descarregado no instante inicial, $v_C(0)=0$, temos que

$$V_C(s) = {E(s)\over {1+RCs}}.$$ (5-1.05)

Basta-nos agora considerar o sinal $e(t)$ da figura 5.1(b) que se pode escrever como $e(t) = E u_{-1}(t) = Eu(t), 0< t \le T/2$ e por isso a sua TL nesse intervalo é dada por

$$E(s) = {E\over s}$$ (5-1.06)

substituindo em (5-1.5) e decompondo em frações temos

$$V_C(s) = {E\over s} + {{-E}\over {s+1/RC}}$$ (5-1.07)

de onde podemos tirar directamente a TLI

$$v_C(t) = E[1-e^{-t/RC}]u(t)$$ (5-1.08)

É claro que seria muito mais fácil utilizar directamente o cálculo simbólico, o nos permite não passar pela equação diferencial escrevendo imediatamente a partir do circuito da figura 5.1(a) o par de equações

$$E(s) = RI(s) + V_C(s)$$ (5-1.09)

$$I = CsV_C(s)$$ (5-1.10)

onde considerámos logo que o condensador $C$ se encontrava descarregado no momento inicial, i.e., que $v_C(0)=0$, e de onde tiramos logo (5-1.5).

Figura 5.2: descarga de um condensador.

Quando a tensão $e(t)$ muda de $E$ para 0 tudo se passa como no circuito equivalente da figura 5.2 onde o condensador se descarrega progressivamente na resistência $R$ segundo uma equação idêntica a (5-1.3) com $e(t)=0$ e portanto a solução deduz-se de (5-1.4) com $E(s)=0$ e $v_C(0)=v_C(T/2)\exp(-sT/2)$, o termo em exponencial significa apenas que tudo se passa em $t=T/2$ em vez de em $t=0$ (ver discussão em torno ao cálculo de $I(s)$ na equação (d) do exemplo 1 de 4.5). Assim

$$V_C(s) = {{v_C(T/2)e^{-sT/2}}\over {{1\over {RC}}+s}},$$ (5-1.11)

e portanto calculando a TLI

$$v_C(t) = v_C(T/2) \exp\Bigl\{-{{(t-T/2)}\over {RC}}\Bigr\},$$ (5-1.12)

e a forma completa de $v_C(t)$ está representada na curva (a) da figura 5.3 para $\tau=RC=T/8$.

Figura 5.3: tensão aos bornos de um condensador (a) e corrente de carga (b).

Calculando a derivada da função $v_C(t)$ de (5-1.8) obtem-se

$${{dv_C(t)}\over {dt}} = {E\over {RC}} \exp{-t/RC}$$ (5-1.13)

de onde se deduz o coeficiente director na origem fazendo $t=0$,

$${{dv_C(0)}\over {dt}} = v_C'(0) = {E\over {RC}}$$ (5-1.14)

e por isso a equação da recta tangente à curva $v_C(t)$ na origem escreve-se

$$y(t) = {E\over {RC}} t,$$ (5-1.15)

quando esta recta atinge o valor final da curva $y(t)=E$ temos que $t=\tau=RC$ conforme representado na figura 5.3. Se o valor de $\tau=RC$, que é chamada constante de tempo do circuito, fosse muito inferior a $T/2$ então a carga seria muito rápida e ao limite $v_C(t) = e(t)$. Se $\tau$ fosse muito superior a $T/2$, então o sinal de saída não iria atingir o seu valor final no intervalo $T/2$ considerado e $v_C(t)$ iria ser, ao limite, desprezável em relação a $e(t)$.

A corrente $i(t)$ no circuito é dada por (5-1.2) onde $v_C(t)$ tem a forma (5-1.8) para $t < T/2$ e então

$$i(t) = {E\over R} \exp\Bigl\{-{t\over {RC}}\Bigr\},$$ (5-1.16)

para $T/2 < t < T$ temos que

$$i(t) = - {{v_C(T/2)}\over R} \exp\Bigl\{-{{(t-T/2)}\over {RC}}\Bigr\},$$ (5-1.17)

e cujo gráfico está representado na figura 5.3(b).

Em termos energéticos, utilizando a equação (2-4.7), podemos dizer que a energia armazenada no condensador quando carregado à tensão $E$, é

$$W_C = {1\over 2} C E^2 = {1\over 2} Q E,$$ (5-1.18)

por outro lado a energia fornecida pela fonte é $W=QE$, concluindo-se que só metade da energia fornecida pela fonte é armazenada pelo condensador, sendo a outra metade dissipada na resistência $R$.

Exemplo: consideremos o circuito da figura 5.4.

Figura 5.4: circuito RL série.

Neste circuito está representada uma fonte de tensão alternada semelhante à da figura 5.1 e com a mesma onda quadrada à entrada. A fonte de tensão encontra-se em série com uma resistência $R$ e uma bobine $L$. Pretendemos determinar a corrente $i(t)$ atravessando a bobine e a tensão aos seus bornos $v_L(t)$.

Podemos começar por escrever a equação que rege o circuito,

$$Ri(t) + L {{di(t)}\over {dt}}=e(t).$$ (5-1.19)

Resolvendo como no caso RC através da TL, obtemos

$$R I(s) + L[sI(s)+i(0)]=E(s),$$ (5-1.20)

com $i(0)=0$ e $E(s)=E/s$ chegamos a um resultado idêntico aquele encontrado no caso do circuito RC, i.e., que a corrente $i(t)$ no circuito se pode exprimir como a soma de dois termos: um devido ao degrau unidade à entrada e outro que é uma exponencial amortecida com uma constante de tempo dependente dos valores dos elementos do circuito, neste caso a resistência $R$ e a bobine $L$. Assim

$$I(s) = {E\over {s(1+L/R s)}},$$ (5-1.21)

e portanto

$$i(t) = {E\over R}\Bigl[ 1-\exp\Bigl\{-{R\over L}t\Bigr\}\Bigr].$$ (5-1.22)

Figura 5.5: corrente (a) e tensão (b) num circuito RL série.

A tensão $v_L(t)$ é obtida facilmente através da derivação de (5-1.22) segundo (5-1.23). A figura 5.5 mostra os gráficos da tensão e corrente no circuito em função do tempo para o sinal de entrada $e(t)$. Podemos fazer o mesmo raciocínio acerca dos valores relativos entre $T/2$ e a constante de tempo do circuito que é neste caso $\tau=L/R$.

$$v_L(t) = {E\over L} \exp \Bigl\{-{R\over L}t\Bigr\}$$ (5-1.23)