Exemplos

Exemplo 1: utilizando o cálculo simbólico da TL, queremos saber qual a evolução da tensão $V_C(t)$ aos terminais do condensador da figura 4.9 sabendo que no instante $t=0^-$ temos $V_C=1000$ V. O interruptor S fecha-se para $t=0$, abre para $t=1$ ms e fecha novamente para $t=2$ ms até 3 ms. Determine as expressões de $v_C(t)$ e as formas de onda para $0<t<3$ ms.

Figura 4.9: descarga de um condensador.

Para $0 \le t \le 1$ ms, com o interruptor S fechado podemos escrever

$$V_C(s) = -R_2 I(s)\eqno{\rm (a)}$$

$$I(s) = sCV_C(s) - Cv_C(0)\eqno{\rm (b)}$$

com a tensão inicial $v_C(0)=1000$ V e $R_2=100$ k$\Omega$. Substituindo (b) em (a)

$$V_C(s)[1+R_2 C]= R_2 C v_C(0)$$

$$V_C(s) = {{v_C(0)}\over {s+1/R_2C}}$$

equação da qual conhecemos a TLI que é

$$v_C(t) = v_C(0) \exp{-t/R_2C}$$

Para $t_1=1 {\rm ms} \le t \le t_2=2$ ms, o condensador $C$ encontra-se em série com as duas resistências $R_1$ e $R_2$ de 100 k$\Omega$ cada. Nesse caso o novo sistema de equações em Laplace é

$$V_C(s) = -(R_1+R_2) I(s)\eqno{\rm (c)}$$

$$I(s) = sCV_C(s) - Cv_C(t_1)\exp{(-t_1s)}\eqno{\rm (d)}$$

isto porque a TL da corrente no condensador entre $t_1$ e $t_2$ é

$$I(s) = {\rm TL}[i(t)]_{t>t_1} = \int_{0^-}^{\infty} i(t) u(t-t_1) e^{-ts} dt$$

ou ainda

$$I(s) = C \int_{t_1}^{\infty} {{dv_C(t)}\over {dt}} e^{-ts}dt$$

integrando por partes temos que

$$I(s) = C[v_C(t)e^{-ts}]_{t_1}^{+\infty} + sC\int_{t_1}^{\infty} v_C(t) e^{-ts}dt$$

o que permite obter o resultado (d). De novo substituindo (d) em (c) e re-arranjando os termos obtemos

$$V_C(s) = {{v_C(t_1)e^{-t_1s}}\over {s+{1\over {(R_1+R_2)C}}}}$$

com a TLI

$$v_C(t) = v_C(t_1) \exp{-(t-t_1)/(R_1+R_2)C}$$

Finalmente para o caso $t_2=2 {\rm ms} \le t \le t_3=3$ ms, S fecha de novo e obtemos um conjunto de equações semelhantes a (c) - (d) com $t_2$ em vez de $t_1$ e apenas com a resistência $R_2$ em vez de $R_1+R_2$.

$$V_C(s) = -R_2 I(s)\eqno{\rm (e)}$$

$$I(s) = sCV_C(s) - Cv_C(t_2)\exp{-t_2s}\eqno{\rm (f)}$$

de novo resolvendo o sistema

$$V_C(s) = {{v_C(t_2)e^{-t_2s}}\over {s+1/R_2C}}$$

com a TLI

$$v_C(t) = v_C(t_2) \exp{-(t-t_2)/R_2C}$$

A forma de onda de $v_C(t)$ é formada por arcos de exponencial decrescente com $v_C(t_1)=367$ v, $v_C(t_2)=222$ v e $v_C(t_3)=82$ v.

Exemplo 2: a figura 4.10 representa um cicuito contendo apenas uma bobine e um condensador (L=1/$\pi^2$ H, C=25 $\mu$F). Antes do interruptor S se fechar temos $v_C = 1000$ V. Utilizando o cálculo simbólico da TL, determine:

a) a evolução da corrente $i(t)$ no circuito.

b) a evolução da tensão $v_C(t)$.

Figura 4.10: oscilador ideal.

a) Com o interruptor S fechado escrevemos

$$V_C(s) = Ls I(s)\eqno{\rm (a)}$$

$$I(s) = -CsV_C(s) - Cv_C(0)\eqno{\rm (b)}$$

resolvendo em relação a $I(s)$,

$$I(s) = -{{v_C(0)/L}\over {s^2 + 1/LC}}$$

pondo $\omega_0^2=1/LC$,

$$I(s) = {{-v_C(0)/L}\over {(s+j\omega_0)(s-j\omega_0)}} = {{A_1}\over {s-j\omega_0}} + {{A_1^{\ast}}\over {s+j\omega_0}}$$

de onde

$$A_1 = {{\sqrt{C/L} v_C(0)}\over {2j}}$$

e finalmente a TLI

$$i(t) = -\sqrt{C\over L} v_C(0) \sin (\omega_0 t)$$

b) agora podíamos resolver o sistema em relação a $V_C(s)$ mas é bastante mais simples escrever

$$v_C(t) = -L {{di(t)}\over {dt}} = \sqrt{CL} \omega_0 v_C(0)\cos (\omega_0 t) = v_C(0)\cos (\omega_0 t).$$