Elementos ideais passivos

A resistência: uma resistência $R$ dá origem a um potencial $v(t)$ quando percorrida por uma corrente $i(t)$ (figura 2.5a), é

$$v(t) = R i(t),$$ (2-4.01)

e inversamente

$$i(t) = G v(t),$$ (2-4.02)

onde $G=1/R$ é uma conductância e se exprime em $\Omega^{-1}$. A resistência equivalente a duas resistências $R_1$ e $R_2$ colocadas em série, i.e., tal que a corrente que percorre uma é igual à corrente que percorre a outra é $R_{\rm equiv}=R_1+R_2$. Se as resistências se encontrarem em paralelo, i.e., se a tensão aos terminais duma for igual à tensão aos terminais da outra, então a resistência equivalente é evidentemente,

$${1\over {R_{\rm equiv}}} = {1\over R_1} + {1\over R_2}$$ (2-4.03)

A título de exercício determine a resistência equivalente a três resistências colocadas em série e em paralelo. E se em vez de resistências tivermos conductâncias ? Qual será a conductância equivalente a duas ou três conductâncias em série e/ou em paralelo ?

Como já foi dito acima, a quantidade instantânea de energia posta em jogo numa resistência é sempre positiva, i.e., uma resistência absorve sempre a energia

$$dw(t) = v(t)i(t)dt = R i^2(t) dt = {{v^2(t)}\over R} dt.$$ (2-4.04)

Figura 2.5: dipólo resistivo (a), dipólo capacitivo (b) e dipólo inductivo(c).

O condensador: um condensador $C$ armazena energia sob forma de campo eléctrico entre as suas armaduras. Assim, com as definições da figura 2.5b, temos que

$$q(t) = C v(t),$$ (2-4.05)

e que

$$i(t) = C {{dv(t)}\over {dt}}.$$ (2-4.06)

A variação da energia contida num condensador escreve-se

$$dw(t) = v(t) i(t) dt = v(t) C dv = {1\over 2} d(Cv^2(t)),$$ (2-4.07)

o que mostra que a energia depende de forma estreita da variação da tensão aos seus terminais: positiva se esta for positiva e negativa no caso contrário. Isto significa que um condensador absorve energia, armazena-a sob forma electrostática, e pode restitui-la mais tarde. Mais uma vez qual o valor do condensador equivalente a dois condensadores colocados em série ? E em paralelo ?

Bobine(self): uma bobine, de inductância $L$, armazena energia sob forma de campo magnético. Uma bobine tem como princípio o de se opôr à variação da corrente. Esta corrente cria à sua passagem um fluxo de inducção magnética

$$\Phi(t) = L i(t),$$ (2-4.08)

que se opõe (pela regra dos três dedos) à causa que o criou (ou seja à corrente). Podemos ainda escrever (figura 2.5c)

$$v(t) = {{d\Phi(t)}\over {dt}} = L {{di(t)}\over {dt}}.$$ (2-4.09)

No caso da bobine a relação energética escreve-se

$$dw(t) = v(t) i(t) dt = L i(t) di = {1\over 2} d[L i^2(t)],$$ (2-4.10)

que, como no caso do condensador, mostra que a energia pode tomar valores positivos ou negativos consoante a variação, neste caso da corrente eléctrica, que percorre a bobine. As relações energéticas instantâneas (2-4.7) e (2-4.10) permitem-nos calcular o valor total da energia armazenado num condensador e bobine respectivamente, permite-nos calcular

$$W_C = {1\over 2} C V^2,$$ (2-4.11)

e

$$W_L = {1\over 2} L I^2.$$ (2-4.12)

Exemplo: no circuito da figura 2.6(a), $L=5 H$ e $R=1 \Omega$. Calcular $v(t)$ quando $i(t)$ tem a forma indicada no gráfico da figura 2.6(b).

Figura 2.6: (a) circuito RL e (b) corrente $i(t)$.

Comecemos por escrever a equação de Ohm no dipólo da figura 2.6(a). Assim temos que a queda de tensão é a soma das tensões aos terminais dos elementos do circuito, i.e.,

$$v(t) = v_R(t) + v_L(t)$$

e escrevendo a mesma relação para cada elemento

$$v_R(t) = R i(t)\eqno{(a)}$$

$$v_L(t) = L {{di(t)}\over {dt}}\eqno{(b)}$$

sabendo que $i(t)$ se escreve a partir da figura 2.6(b) como

$$i(t) = \cases{t/5 & $0 \le t \le 5$\cr -t+6 & $5 \le t \le 6$\cr}$$

e que depois se repete com um período igual a 6, podemos então escrever (utilizando os valores numéricos)

$$v(t) = \cases{t/5 + 1 & $0 \le t \le 5$\cr -t + 1 & $5 \le t \le 6$\cr}$$

dando lugar à representação gráfica da figura 2.7

Figura 2.7: tensão aos terminais do circuito da figura 2.6.