Circuito RLC

Na figura 5.6 colocámos em série uma fonte de tensão e três elementos: uma resistência $R$, uma bobine $L$ e um condensador $C$.

Figura 5.6: circuito RLC série.

A lei das malhas permite-nos escrever,

$$e(t) = Ri(t) + v_L(t) + v_C(t),$$ (5-2.01)

substituindo as expressões de $v_L$ e $v_C$ obtemos

$$e(t) = Ri(t) + L {{di(t)}\over {dt}} + {1\over C} \int i(\theta)d\theta,$$ (5-2.02)

Utilizando directamente a representação simbólica para cada elemento do circuito e que $i(0)=i'(0)=0$, podemos escrever

$$E(s) = RI(s) + sL I(s) + {{I(s)}\over {Cs}},$$ (5-2.03)

e portanto, arranjando um pouco a equação em ordem a $I(s)$ e definindo as seguintes constantes $\alpha = R/2L$ e $\omega_0^2=1/LC$, obtem-se facilmente

$$I(s) = {{sE(s)/L}\over {s^2+2\alpha s + \omega_0^2}}.$$ (5-2.04)

Obviamente que a expressão da corrente $i(t)$ resultante da TLI de $I(s)$, vai ser completamente determinada pelas raízes da equação do segundo grau que forma o denominador de (5-2.4) - frequentemente denominada ``equação característica''. Estas raízes são

$$s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.$$ (5-2.05)

Os casos possíveis segundo os valores relativos de $\alpha$ e $\omega_0$ estão resumidos na tabela 1 que acompanha a figura 5.7, na qual estão representadas as raízes no plano complexo.

A decomposição em factores de (5-2.4) permite obter

$$I(s) = {A\over {s+\alpha-\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}} - {A\over {s+\alpha+\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}},$$ (5-2.06)

com

$$A = {E\over {2L\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}}.$$

Assim, podemos escrever a ${\rm TLI}[I(s)]$,

$$i(t) = {{E e^{-\alpha t}}\over {2L\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}... ...rt{\alpha^2-\omega_0^2}t} - e^{-\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}t}].$$ (5-2.07)

Tabela 1: características dos quatro regimes de funcionamento possíveis dos circuitos de segunda ordem.

	regime		raízes	sinal de saída
1	não	$\alpha=0$	$s_{1,2}=\pm j\omega_0$	onda sinusoidal
	amortecido
2	sobre	$\alpha > \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha_1,-\alpha_2$	$A_1e^{-\alpha_1}t + A_2e^{-\alpha_2 t}$
	amortecido
3	crítico	$\alpha = \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha=-\omega_0$	$(A+Bt)e^{-\alpha_0}t$
4	sub	$\alpha < \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha\pm j\omega_d$	seno amortecido
	amortecido		$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$

Figura 5.7: raízes do sistema de segundo grau no plano complexo.

Vamos agora estudar cada uma das quatro situações possíveis segundo os valores relativos de $\alpha$ e $\omega_0$.

a) Caso 1: regime não amortecido

Neste caso temos que $\alpha=0$ e portanto as raízes são imaginárias puras

$$s_{1,2} = \pm j\omega_0,$$ (5-2.08)

e a resposta é então

$$i(t) = {E\over {2Lj\omega_0^2}}[e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}]$$

ou ainda

$$i(t) = {E\over {L\omega_0^2}}\sin(\omega_0 t),$$ (5-2.09)

e temos portanto um regime sinusoidal puro à frequência $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.

b) Caso 2: regime sobre amortecido

Neste caso temos que $\alpha > \omega_0$ e portanto as raízes são reais

$$s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2},$$ (5-2.10)

e a resposta é então

$$i(t) = {{E e^{-\alpha t}}\over {2L\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}... ...rt{\alpha^2-\omega_0^2}t} - e^{-\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}t}].$$ (5-2.11)

de notar que ambas as raízes além de reais são negativas o que forma uma resposta exponencial amortecida.

c) Caso 3: regime crítico

Neste caso temos que $\alpha = \omega_0$, correspondente ao caso

$$R_C=2\sqrt{{L\over C}},$$

valor crítico da resistência, e portanto temos uma raíz dupla $s_1 = s_2= -\alpha$. Se nos limitarmos a efectuar esta substituição em (5-2.7) obtemos uma indeterminação. Deveremos então utilizar o desenvolvimento em série da exponencial em torno a zero para encontrar

$$i(t) \approx {E\over {2L\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}}}e^{-\alph... ...1+\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}t - 1+\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}t],$$

e ainda

$$i(t)\approx {E\over L}t e^{-\alpha t}.$$ (5-2.12)

d) Caso 4: regime sub amortecido

Neste caso temos que $\alpha < \omega_0$ e portanto as raízes são complexas conjugadas e imaginárias puras

$$R < 2\sqrt{{L\over C}},$$

assim

$$s_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d,$$ (5-2.13)

onde $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$ e a resposta é então do tipo

$$i(t) = {E\over {L\omega_d}} e^{-\alpha t} \sin(\omega_d t).$$ (5-2.14)

dando origem a uma sinusoide com pulsação $\omega_d$ que se amortece exponencialmente com o coeficiente de amortecimento $\alpha$.

Exemplo: considerando o circuito de segunda ordem da figura 5.8 com $i_1(t) = 5e^{-2t} u(t)$, pretendemos calcular a tensão $e_2(t)$ aos bornos da bobine e da resistência em série considerando condições iniciais nulas.

Figura 5.8: circuito de segunda ordem.

Começando por estabelecer o sistema de equações diferenciais, obtem-se

$$e_2(t) = 2 i_L(t) + 2 {{di_l(t)}\over {dt}},$$

e a corrente na bobine

$$i_L(t) = i_1(t) - {1\over 2} {{de_2(t)}\over {dt}} - {1\over 2}e_2(t),$$

por substituição e reagrupando os termos em $i_1(t)$ e $e_2(t)$ temos

$${{d^2e_2(t)}\over {dt^2}} + 2 {{de_2(t)}\over {dt}} + 2e_2(t) = 2 {{di_1(t)}\over {dt}} +2i_1(t),$$

cuja TL é dada por

$$E_2(s)(s^2+2s+2) = 2(s+1) I_1(s),$$

visto que $I_1(s) = {\rm TL}[i_1(t)]$ é dada por

$$I_1(s) = {5\over {s+2}},$$

temos que, por substituição na equação anterior, e cálculo das raízes da equação do segundo grau do denominador

$$E_2(s) = {{10(s+1)}\over {(s+2)(s+1-j)(s+1+j)}},$$

dando origem à representação no plano $s$ da figura 5.9 e finalmente à TLI (caso idêntico ao exemplo do capítulo 4.2)

$$e_2(t) = [5\sqrt{2} e^{-t} \cos(t-{{\pi}\over 4}) - 5e^{-2t}]u(t).$$ (5-2.15)

Figura 5.9: pólos e zeros no plano $s$.

Retomemos o exemplo do circuito de segunda ordem da figura 5.8, utilizando agora o cálculo simbólico directamente. Podemos então escrever directamente a admitância

$$Y(s) = {s\over 2} + {1\over 2} + {1\over {2s+2}},$$

e, visto que $I_1(s) = 5/(s+2)$, temos que

$$E_2(s) = {{2(s+1)}\over {s^2+2s+2}} {5\over {s+2}},$$

equação idêntica à anterior mas que se obteve apenas em dois passos. Na resposta (5-2.15) podemos distinguir perfeitamente que o primeiro termo é devido à resposta natural do sistema e o segundo termo é devido únicamente à excitação $i_1(t)$.