Análise harmónica generalizada

Transformada de Laplace

A utilidade da Transformada de Laplace (TL) decorre da necessidade de representar funções temporais no domínio da frequência complexa ou plano complexo, no qual a variável, geralmente designada pela letra s mathend000# ou p mathend000#, é uma variável complexa p = $\sigma$ + j$\omega$ mathend000#¹. Devido à utilidade da TL na manipulação de funções de variável complexa, tornou-se um utensílio essencial na análise e na síntese de sistemas lineares.

Definição e existência

Começaremos pela sua definição no caso geral, que vem essencialmente da definição de Transformada de Fourier (TF), e que é

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$ (3-1.01)

mathend000#

que é denominada Transformada de Laplace (TL) bilateral, devido ao domínio de integração se estender de - $\infty$ mathend000# a + $\infty$ mathend000#. Devido ao facto de, na prática, nos interessarmos quase exclusivamente pelas funções causais que são nulas para t$\le$ 0 mathend000#, seremos levados a utilizar mais frequentemente a TL unilateral que se escreve

$$\int_{{0^-}}^{{+\infty}}$$ (3-1.02)

mathend000#

na qual devemos no entanto precisar que o limite inferior inclui o ponto de origem do eixo do tempo; em particular, um impulso de Dirac na origem deverá ser tido em conta na TL. A transformada inversa é obtida, sempre através da analogia com a TF, por

$${1\over {2\pi j}} \int_{{\sigma-j\infty}}^{{\sigma+j\infty}}$$ (3-1.03)

mathend000#

onde, neste caso, o integral é de variável complexa.

Uma das questões mais importante no cálculo da TL é, antes de mais, a da sua existência. Já sabemos, a partir da TF, que a TL existe quando o integral de definição converge no intervalo considerado. Em geral utiliza-se a noção de convergência no sentido absoluto, i.e., que

$$\int_{{0^-}}^{{+\infty}} \infty$$ (3-1.04)

mathend000#

que é uma noção mais exigente do que, se em vez de |x(t)| mathend000#, utilizarmos apenas x(t) mathend000#. Devido ao facto de que, em teoria de sinais, a maior parte das funções são de tipo exponencial para as quais

|x(t)|< e^Ct        quando        t$$\to$$$$\infty$$,

mathend000#

onde C mathend000# é uma constante real, coloca-se a questão de convergência para este tipo de funções, para as quais é importante relembrar a noção de abcissa de convergência absoluta. Podemos escrever (3-1.2) como

$$\lim_{{T \to \infty}}^{} \int_{{0^-}}^{T}$$ (3-1.05)

mathend000#

podendo demonstrar-se que se a função f (t) mathend000# for de tipo exponencial (3-1.5) converge sempre, i.e., a sua TL existe. Além disso podemos também dizer em geral que

$$\lim_{{s \to \infty}}^{}$$ (3-1.06)

mathend000#

Trata-se aqui de determinar o domínio do plano s mathend000# para o qual F(s) mathend000# existe, de forma a podermos calcular a TL inversa. Para cada caso específico trata-se de calcular um valor $\sigma_{a}^{}$ mathend000# real tal que

$$\sigma_{a}^{}$$ (3-1.07)

mathend000#

neste caso $\sigma_{a}^{}$ mathend000# é chamada abcissa de convergência absoluta.

Exemplo: calcular a abcissa de convergência da função f (t) = e^$\alpha$t mathend000#.

Temos então que

F(s) = $$\lim_{{T \to \infty}}^{}$$$$\int_{{0^-}}^{T}$$e^$\alpha$te^-stdt,

mathend000#

que se pode fácilmente calcular como sendo

F(s) = $$\lim_{{T \to \infty}}^{}$$$${{1-e^{-(s-\alpha)T}}\over {s-\alpha}}$$,

mathend000#

e torna-se neste caso claro que F(s) mathend000# só existe (ou só toma valores finitos) para s > $\alpha$ mathend000#, i.e.,

F(s) = $$\cases {{1\over {s-\alpha}} & $s > \alpha$;\cr \infty & $ s < \alpha$,\cr}$$

mathend000#

e por isso a abcissa de convergência absoluta é neste caso $\sigma_{a}^{}$ = $\alpha$ mathend000#.

Pólos e zeros duma função

Quase todas as funções de variável s mathend000# que consideraremos podem ser colocadas sob a forma de fração racional

$${{N(s)}\over {D(s)}} {{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \ldots + b_1 s + b_0}\over {a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}}$$ (3-1.08)

mathend000#

De uma forma equivalente podemos exprimir os polinómios N(s) mathend000# e D(s) mathend000# em função das suas raízes,

$${{N(s)}\over {D(s)}} {{(s-s_{z1})(s-s_{z2}) \ldots (s-s_{zi}) \ldots (s-s_{zm})}\over {(s-s_{p1})(s-s_{p2}) \ldots (s-s_{pj}) \ldots (s-s_{pn})}}$$ (3-1.09)

mathend000#

onde A = b_m/a_n mathend000# é uma constante. A partir de (3-1.9) podemos facilmente determinar as valores de s mathend000# (em geral complexos) para as quais F(s) mathend000# toma valores extremos, i.e., valores zero ou valores infinitos, consoante são raízes do numerador ou denominador, e são chamados pólos e zeros respectivamente.

Figura 3.1: localização de pólos e zeros no plano complexo: um pólo real (a), dois pólos e um zero reais (b) e dois pólos imaginários puros complexos conjugados (c).

Exemplos: vejamos alguns exemplos de TL e a sua representação no plano complexo com a respectiva localização de pólos e zeros.

A) f (t) = e^-$\alpha$tu(t) mathend000#

temos que

F(s) = $$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$e^-$\alpha$te^-stdt = $$\left[\vphantom{{{e^{-(s+\alpha)t}}\over {-(s+\alpha)}}}\right.$$$${{e^{-(s+\alpha)t}}\over {-(s+\alpha)}}$$$$\left.\vphantom{{{e^{-(s+\alpha)t}}\over {-(s+\alpha)}}}\right]_{{0^-}}^{{\infty}}$$ = $${1\over {s+\alpha}}$$,

mathend000#

que tem apenas um pólo para s = - $\alpha$ mathend000# como representado na figura 3.1(a).

B) f (t) = (e^-2t + e^-4t)u(t) mathend000#

temos neste caso que

F(s) = $$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$e^-(s+2)tdt + $$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$e^-(s+4)tdt,

mathend000#

de onde utilizando o resultado anterior duas vezes com os devidos valores para $\alpha$ mathend000#,

F(s) = $${1\over {s+2}}$$ + $${1\over {s+4}}$$ = 2$${{s+3}\over {(s+2)(s+4)}}$$,

mathend000#

com um zero em -3 e dois pólos: um em -4 e outro em -2, conforme representado na figura 3.1(b).

C) f (t) = cos($\omega_{0}^{}$t)u(t) mathend000#

F(s) = $$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$cos($$\omega_{0}^{}$$t)e^-stdt

mathend000#

onde utilizando a forma de Euler,

F(s) = $${1\over 2}$$$$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$e^{-(s+j$\omega_{0}$)t}dt + $${1\over 2}$$$$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$e^{-(s-j$\omega_{0}$)t}dt

mathend000#

e utilizando mais uma vez o resultado anterior

F(s) = $${{1/2}\over {s-j\omega_0}}$$ + $${{1/2}\over {s+j\omega_0}}$$ = $${s\over {(s-j\omega_0) (s+j\omega_0)}}$$,

mathend000#

e neste caso teremos pólos complexos conjugados no eixo imaginário e um zero em s = 0 mathend000# que se encontram representados na figura 3.1(c).

Teoremas simples da Transformada de Laplace

Na prática mais do que a própria definição, convém conhecer algumas das propriedades mais relavantes da TL, de modo a facilitar a sua aplicação à análise de sistemas.

1. Atraso no domínio temporal: o cálculo da TL de g(t) = f (t - t₀) mathend000# faz-se através de

TL[f (t - t₀)] = $$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$f (t - t₀)e^-stdt,

mathend000#

onde colocando $\tau$ = t - t₀ mathend000#, e d$\tau$ = dt mathend000# permite escrever

TL[f (t - t₀)] = $$\int_{{-t}}^{{\infty}}$$f ($$\tau$$)e^{-s(t₀+$\tau$)}d$$\tau$$,

mathend000#

e de onde notando que a função causal f (t) = 0 mathend000# para t < 0 mathend000# permite deduzir o resultado final

TL[f (t - t₀)] = e^-st₀F(s). (3-1.10)

mathend000#

2. Diferenciação no domínio de Laplace: demonstra-se facilmente calculando a derivada de

$$\int_{{0^-}}^{{\infty}}$$ (3-1.11)

mathend000#

em relação a s mathend000# que é

$${{dF(s)}\over {ds}} \int_{{0^-}}^{{\infty}}$$ (3-1.12)

mathend000#

e portanto temos o par

$${{dF(s)}\over {ds}}$$ (3-1.13)

mathend000#

e por dedução à ordem n mathend000#

$${{d^n F(s)}\over {ds^n}}$$ (3-1.14)

mathend000#

3. Família de impulsos: a família de Diracs começa com o degrau unidade u(t) = u_-1(t) mathend000# para o qual se pode facilmente calcular

$${1\over s}$$ (3-1.15)

mathend000#

em seguida, utilizando (3-1.14)

$${{n!}\over {s^{n+1}}}$$ (3-1.16)

mathend000#

Podemos agora generalizar à família de impulsos com a ajuda de (3-1.14)

TL[u_-n(t)] = s^-n. (3-1.17)

mathend000#

onde u_-n(t) mathend000# designa o integral de ordem n mathend000# do impulso de Dirac, tal que u_-1(t) = u(t) mathend000#, u_-2(t) mathend000# será a rampa unitária, etc.

4. Diferenciação temporal: pode-se demonstrar que

$$\left[\vphantom{{{df(t)}\over {dt}}}\right. {{df(t)}\over {dt}} \left.\vphantom{{{df(t)}\over {dt}}}\right]$$ (3-1.18)

mathend000#

onde f (0^-) mathend000# representa o valor da função temporal no instante inicial. A demonstração obtem-se fazendo

$$\left[\vphantom{{{df(t)}\over {dt}}}\right. {{df(t)}\over {dt}} \left.\vphantom{{{df(t)}\over {dt}}}\right] \int_{{0^-}}^{{\infty}} {{df(t)}\over {dt}}$$ (3-1.19)

mathend000#

de onde fazendo a mudança de variável dv = df (t) mathend000# e u = e^-st mathend000# e integrando por partes,

$$\infty \int_{{0^-}}^{{\infty}}$$ (3-1.20)

mathend000#

admitindo que f (t) mathend000# é de tipo exponencial temos que para o extremo superior ($\infty$ mathend000#) o primeiro termo dá zero e para t = 0^- mathend000# dá f (0^-) mathend000#. Em relação ao segundo termo é fácil ver que se trata de sF(s) mathend000# e por isso o resultado encontra-se como sendo

G(s) = - f (0^-) + sF(S). (3-1.21)

mathend000#

As derivadas de ordem superior obtêm-se por extensão do caso precedente tal que

$$\left[\vphantom{{{d^n f(t)}\over {dt^n}}}\right. {{d^n f(t)}\over {dt^n}} \left.\vphantom{{{d^n f(t)}\over {dt^n}}}\right]$$ (3-1.22)

mathend000#

5. Integração temporal: podemos ver facilmente que

$$\int_{{0^-}}^{t} \tau \tau {{F(s)}\over s}$$ (3-1.23)

mathend000#

que se demonstra colocando

$$\int_{{0^-}}^{t} \tau \tau$$ (3-1.24)

mathend000#

o que implica g(0^-) = 0 mathend000#. Como podemos escrever que a TL[dg(t)/dt] = TL[f (t)] = F(s) mathend000#, utilizando (3-1.21), podemos escrever que TL[dg(t)/dt] = sG(s) - g(0^-) mathend000#. Assim, visto que g(0^-) = 0 mathend000# podemos escrever que F(s) = sG(s) mathend000# e finalmente provar (3-1.23).

6. Teorema do valor inicial: prova-se que, para as funções sem descontinuidades na origem, podemos determinar o valor da função temporal para t = 0 mathend000# através de

$$\lim_{{s \to \infty}}^{}$$ (3-1.25)

mathend000#

7. Teorema do valor final: prova-se igualmente que o valor final da função temporal se pode determinar através de

$$\infty \lim_{{t \to \infty}}^{} \lim_{{s \to 0}}^{}$$ (3-1.26)

mathend000#

8. TL do produto de convolução: consideremos o produto de convolução entre duas funções f₁(t) mathend000# e f₂(t) mathend000# tal que

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau$$ TL[f₁(t) * f₂(t)] =

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \lambda \lambda \tau \tau \lambda$$ =

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \tau \tau \tau \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \lambda \lambda \lambda$$ =

= F₁(s)F₂(s) (3-1.27)

onde foi utilizada a mudança de variável $\lambda$ = t - $\tau$ mathend000# com a respectiva alteração no integral. Assim podemos ver que a TL do produto de convolução entre dois sinais, resulta no produto simples das TL dos sinais.

9. Funções periódicas causais: é frequente na prática querermos determinar a TL de uma função periódica. Tomemos como exemplo o caso simples de uma função g(t) = f (t) + f (t - T) mathend000#, resultante da repetição da função f (t) mathend000# com um intervalo T mathend000#. Assim podemos directamente escrever

G(s) = TL[g(t)] = TL[f (t)] + TL[f (t)]e^-sT,

mathend000#

onde utilizámos (3-1.10). Ou ainda

G(s) = F(s)[1 + e^-sT]. (3-1.28)

mathend000#

A partir deste caso simples deduzimos directamente o caso geral do sinal periódico causal onde se o sinal g(t) mathend000# se escrever

$$\sum_{{k=0}}^{{\infty}}$$ (3-1.29)

mathend000#

então, a partir de (3-1.28), temos que

G(s) = F(s)$$\sum_{{k=0}}^{{\infty}}$$e^-kTs

mathend000#

ou ainda, utilizando o desenvolvimento em série de 1/(1 - x) mathend000# para |x|< 1 mathend000# (ver D.3),

$$\left[\vphantom{{1\over {1-e^{-Ts}}}}\right. {1\over {1-e^{-Ts}}} \left.\vphantom{{1\over {1-e^{-Ts}}}}\right]$$ (3-1.30)

mathend000#

Exemplo: queremos determinar a TL da função periódica causal e limitada no tempo dada por

g(t) = $$\sum_{{k=0}}^{N}$$f (t - kT)

mathend000#

A solução deste problema pode obter-se através da utilização de (3-1.30) tal que

g(t) = $$\sum_{{k=0}}^{{\infty}}$$f (t - kT) - $$\sum_{{k=N+1}}^{{\infty}}$$f (t - kT),

mathend000#

onde a TL do segundo termo é uma soma de termos de uma progressão geométrica de razão e^-Ts mathend000# e cujo primeiro termo é e^(N+1)Ts mathend000#. Assim podemos escrever que

TL[g(t)] = $${{F(s)}\over {1-e^{-Ts}}}$$ - $${{F(s) e^{-(N+1)Ts}}\over {1-e^{-Ts}}}$$

mathend000#

ou mais condensado

G(s) = $${{1 - e^{-(N+1)Ts}}\over {1-e^{-Ts}}}$$F(s).

mathend000#

que é o resultado procurado.

Transformada de Laplace Inversa

A definição da Transformada de Laplace Inversa (TLI) foi dada em (3-1.3). A necessidade do cálculo da TLI é evidentemente a de permitir a obtenção da (ou das) função (ões) temporal (ais) resultado da análise complexa do sistema. Existem fundamentalmente duas formas de resolver (3-1.3): uma através da integração directa e outra através do reconhecimento da unicidade da TL. O primeiro método é geralmente extremamente trabalhoso pois implica o cálculo dos resíduos para cada pólo simples da função F(s)e^st mathend000# e para um determinado contorno no plano s mathend000# - este método apesar de ser bastante elegante não é quase nunca utilizado. Em vez disso, utiliza-se o segundo método que consiste em considerar que f (t) mathend000# e F(s) mathend000# formam um par único e por isso se TL[f (t)] = F(s) mathend000# então temos que TLI[F(s)] = f (t) mathend000#. Por isso basta-nos colocar F(s) mathend000# sob uma forma cuja a função temporal é conhecida. Em geral sob a forma da soma de vários termos que são transformadas de Laplace de funções temporais conhecidas para podermos dizer que o sinal temporal resultante f (t) mathend000# não é mais do que a soma dessas funções temporais.

Exemplos:

A) consideremos o caso da função simples,

F(s) = 10s^-1,

mathend000#

portanto f (t) = 10u(t) mathend000#, porque já tinhamos visto que TL[u(t)] = 1/s mathend000#.

B) ou o caso da função

G(s) = $${{e^{-s}}\over {s+2}}$$,

mathend000#

onde, sabendo que a TL de um atraso puro é

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}}$$$$\delta$$(t - 1)e^-stdt = e^-s,

mathend000#

e que

$$\int_{0}^{{\infty}}$$e^-2te^-stdt = $${1\over {s+2}}$$,

mathend000#

podemos deduzir que

f (t) = e^-2(t-1)u(t - 1).

mathend000#

No caso de funções mais complexas (frequentes na prática) torna-se difícil identificar os inversos por observação directa. Na maior parte dos casos trata-se de frações racionais complexas e a sua inversão passa pela decomposição em termos simples cujos inversos sejam conhecidos, como por exemplo, a função

F(s) = $${{(2s+2)}\over {s^2 + 7s + 12}}$$,

mathend000#

que se pode decompor em fracções simples como

F(s) = $${{(2s+2)}\over {s^2 + 7s + 12}}$$ = $${{A_1}\over {s+3}}$$ + $${{A_2}\over {s+4}}$$,

mathend000#

onde os coeficientes A₁ mathend000# e A₂ mathend000# podem ser determinados multiplicando ambos os termos da equação anterior por s + 3 mathend000# e fazendo s = - 3 mathend000# e s + 4 mathend000# e fazendo s = - 4 mathend000#, respectivamente. Obtendo-se neste caso A₁ = - 4 mathend000# e A₂ = 6 mathend000#. A partir deste valores podemos então escrever que

f (t) = [- 4e^-3t +6e^-4t]u(t),

mathend000#

que é o resultado esperado. Existem várias técnicas de cálculo para a decomposição de fracções racionais que deixamos ao cuidado do leitor, mediante uma atenta revisão do programa da disciplina de Análise Matemática.

Aplicação aos sistemas lineares

Equações diferenciais com condições iniciais

A utilização prática da TL na análise e síntese de sistemas lineares passa essencialmente pelas seguintes propriedades:

$$\sum_{i}^{} \sum_{i}^{}$$ (3-2.01)

mathend000#

e

TL[f⁽ⁿ⁾(t)] = sⁿF(s) - s^n-1f (0) -...- sf^(n-2)(0) - f^(n-1)(0), (3-2.02)

mathend000#

com as quais as equações diferenciais em t mathend000# se tornam equações algébricas em s mathend000#. Na prática o problema é quase sempre dividido em cinco etapas sucessivas:

1) transformar a equação diferencial numa equação algébrica utilizando (3-2.2)

2) resolver a equação resultante para a grandeza de saída Y(s) mathend000#

3) desenvolver Y(s) mathend000# em frações racionais

4) encontrar o inverso y(t) = TLI[Y(s)] mathend000#

5) verificar o resultado

Exemplos:

A) Seja a seguinte equação diferencial de primeira ordem

a$${{dy}\over {dt}}$$ + by = x(t),

mathend000#

com x(t) = e^-ctu(t) mathend000#. Podemos desde já escrever a passagem para o domínio s mathend000#,

a[sY(s) - y(0)] + bY(s) = X(s) = $${1\over {s+c}}$$,

mathend000#

isto é

Y(s) = $${{a(s+c)y(0)+1}\over {a(s+b/a)(s+c)}}$$,

mathend000#

ou também, decompondo em fracções racionais

Y(s) = $${{A_1}\over {s+b/a}}$$ + $${{A_2}\over {s+c}}$$,

mathend000#

com

A₁ = $${{(ac-b)y(0) +1}\over {ac-b}}$$        A₂ = $${{-1}\over {ac-b}}$$,

mathend000#

e de onde se pode deduzir o resultado

y(t) = [A₁e^-bt/a + A₂e^-ct]u(t).

mathend000#

A verificação do resultado faz-se, óbviamente, inserindo y(t) mathend000# na equação diferencial inicial. Alternativamente poderíamos utilizar os teoremas dos valores inicial e final, (3-1.25) e (3-1.26), respectivamente, para verificar o comportamento assimptótico da solução obtida.

B) seja agora a equação diferencial de segunda ordem

i''(t) + 7i'(t) + 10i(t) = 6e^-3tu(t),

mathend000#

com i(0) = 3 mathend000# A e i'(0) = 3 mathend000# A/s. Podemos então escrever, calculando a TL de ambos os termos,

s²I(s) - si(0) - i'(0) + 7sI(s) - 7i(0) + 10I(s) = $${6\over {s+3}}$$,

mathend000#

de onde, resolvendo em relação a I(s) mathend000#,

I(s) = $${{3(s^2 + 11 s + 26)}\over {(s+2)(s+3)(s+5)}}$$ = $${8\over {s+2}}$$ - $${3\over {s+3}}$$ - $${2\over {s+5}}$$,

mathend000#

e portanto a solução final

i(t) = 8e^-2t -3e^-3t -2e^-5t,        t > 0.

mathend000#

Na prática somos levados a considerar frequentemente, não uma equação única para determinar uma das variáveis do sistema, mas sim um conjunto de equações com várias variáveis, em geral ligadas entre elas, e por isso teremos de colocar o problema sob a forma de um sistema de equações.

Exemplo: considere o seguinte sistema de equações diferenciais,

$${2\over 3}$$$${{dx}\over {dt}}$$ + x - $${1\over 3}$$$${{dy}\over {dt}}$$ = f (t) = 2u(t)

mathend000#

- $${1\over 3}$$$${{dx}\over {dt}}$$ + $${2\over 3}$$$${{dy}\over {dt}}$$ + y = 0,

mathend000#

com condições iniciais nulas, i.e., x(0) = y(0) = 0 mathend000#. Aplicando a TL nos dois membros de cada uma das equações acima obtemos,

($${2\over 3}$$s + 1)X(s) - $${1\over 3}$$sY(s) = F(s) = $${2\over s}$$

mathend000#

- $${1\over 3}$$sX(s) + ($${2\over 3}$$s + 1)Y(s) = 0,

mathend000#

das quais podemos deduzir por substituição

X(s) = $${{2(2s+3)}\over {s(s+1)(s+3)}}$$ = $${2\over s}$$ - $${1\over {s+1}}$$ - $${1\over {s+3}}$$

mathend000#

Y(s) = $${2\over {(s+1)(s+3)}}$$ = $${1\over {s+1}}$$ - $${1\over {s+3}}$$,

mathend000#

e finalmente aplicando a TLI,

x(t) = (2 - e^-t - e^-3t)u(t),

mathend000#

y(t) = (e^-t - e^-3t)u(t),

mathend000#

de onde podemos facilmente verificar as condições iniciais.

Função de sistema

Podemos agora fazer uma generalização dos sistemas lineares de primeira e segunda ordem ao caso de uma ordem superior n mathend000#. Assim podemos dizer que a relação entre a entrada x(t) mathend000# e a saída y(t) mathend000# de um sistema linear pode ser descrita por uma equação do tipo¹

$$\sum_{{i=0}}^{n} {{d^iy}\over {dt^i}} \sum_{{j=0}}^{m} {{d^jx}\over {dt^j}}$$ (3-2.03)

mathend000#

Neste caso, e para condições iniciais nulas, temos que tomando a TL de ambos os termos,

$$\sum_{{i=0}}^{n} \left[\vphantom{{{d^iy}\over {dt^i}}}\right. {{d^iy}\over {dt^i}} \left.\vphantom{{{d^iy}\over {dt^i}}}\right] \sum_{{j=0}}^{m} \left[\vphantom{{{d^jx}\over {dt^j}}}\right. {{d^jx}\over {dt^j}} \left.\vphantom{{{d^jx}\over {dt^j}}}\right]$$ (3-2.04)

mathend000#

onde, considerando condições iniciais nulas,

$$\sum_{{i=0}}^{n} \sum_{{j=0}}^{m}$$ (3-2.05)

mathend000#

rearranjando os termos e desenvolvendo os somatórios

$${{b_ms^m + \ldots + b_1s + b_0}\over {a_ns^n+ \ldots + a_1 s + a_0}}$$ (3-2.06)

mathend000#

Daqui podemos deduzir a função de sistema, ou função de transferência, H(s) mathend000#,

$${{Y(s)}\over {X(s)}} {{\sum_{j=0}^m b_j s^j}\over {\sum_{i=0}^n a_i s^i}}$$ (3-2.07)

mathend000#

No caso em que os pólos são todos simples, a função de transferência H(s) mathend000# pode ser representada sob a forma de

$${{A_1}\over {s-s_1}} {{A_2}\over {s-s_2}} {{A_n}\over {s-s_n}}$$ (3-2.08)

mathend000#

onde a sua TLI se escreve

h(t) = A₁e^s₁t + A₂e^s₂t +...+ A_ne^s_nt, (3-2.09)

mathend000#

que é chamada a resposta impulsiva do sistema, i.e., é a resposta do sistema Y(s) mathend000# quando o sinal de entrada é um impulso de Dirac, e então visto que TL[x(t) = $\delta$(t)] = 1 mathend000#, temos que Y(s) = H(s) mathend000#. Isto significa que a resposta impulsiva depende apenas da função de transferência H(s) mathend000# e por isso apenas do sistema ele mesmo e, em particular, dos pólos do sistema s_i;i = 1,..., n mathend000#. Também isto não é estranho pois os pólos do sistema são aqueles que estão ligados à resposta natural do sistema, i.e., a resposta do sistema sem excitação - também chamada solução da equação homógenea.

Exemplos:

A) sistema de primeira ordem sem condições iniciais: considere a figura 3.2, com y(0) = 0 mathend000# e

x(t) = e^-2tu(t).

mathend000#

Figura 3.2: sistema de primeira ordem.

Podemos directamente escrever

x(t) = C$${{dy(t)}\over {dt}}$$ + y(t),

mathend000#

a partir da qual tiramos a TL

X(s) = CsY(s) + Y(s),

mathend000#

de onde a função do sistema H(s) mathend000# é

H(s) = $${{Y(s)}\over {X(s)}}$$ = $${1\over {Cs+1}}$$.

mathend000#

Desta podemos determinar a resposta impulsiva h(t) mathend000#, que se escreve

h(t) = TLI[H(s)] = $${1\over C}$$e^-t/Cu(t),

mathend000#

e sabendo que

X(s) = TL[X(t)] = $${1\over {s+2}}$$,

mathend000#

portanto Y(s) mathend000# escreve-se

Y(s) = $${{1/C}\over {(s+2)(s+1/C)}}$$ = $${{1/(1-2C)}\over {s+2}}$$ + $${{1/(2C-1)}\over {s+1/C}}$$,

mathend000#

e finalmente

y(t) = [$${1\over {1-2C}}$$e^-2t + $${1\over {2C-1}}$$e^-t/C]u(t),

mathend000#

será a resposta do circuito no caso em que o sistema se encontra inerte no momento inicial, i.e., quando y(0) = 0 mathend000#.

B) sistema de primeira ordem com condições iniciais: considere o mesmo sistema da figura 3.2 mas agora com um valor inicial da saída y(0) = 2 mathend000#.

Não será necessário re-escrever todas as equações, mas sómente a TL da equação diferencial tendo em conta (3-1.22),

X(s) = C[sY(s) - y(0)] + Y(s),

mathend000#

substituindo pelos valores númericos e pela transformada de X mathend000# obtemos

Y(s) = $${1\over {(s+2)(Cs+1)}}$$ + $${{2C}\over {Cs+1}}$$,

mathend000#

utlizando o resultado da decomposição do caso anterior, obtemos

y(t) = $$\left[\vphantom{{1\over {1-2C}}e^{-2t} + {1\over {2C-1}}e^{-t/C} + 2e^{-t/C}}\right.$$$${1\over {1-2C}}$$e^-2t + $${1\over {2C-1}}$$e^-t/C +2e^-t/C$$\left.\vphantom{{1\over {1-2C}}e^{-2t} + {1\over {2C-1}}e^{-t/C} + 2e^{-t/C}}\right]$$u(t),

mathend000#

onde simplificando

y(t) = $$\left[\vphantom{{1\over {1-2C}}e^{-2t} + {{2C}\over {2C-1}}e^{-t/C}}\right.$$$${1\over {1-2C}}$$e^-2t + $${{2C}\over {2C-1}}$$e^-t/C$$\left.\vphantom{{1\over {1-2C}}e^{-2t} + {{2C}\over {2C-1}}e^{-t/C}}\right]$$u(t).

mathend000#

C) sistema de segunda ordem sem condições iniciais: considere agora o caso do sistema da figura 3.3 com x(t) = 5e^-2tu(t) mathend000#. Pretende-se calcular a saída y(t) mathend000#.

Figura 3.3: sistema de segunda ordem.

Como anteriormente, podemos escrever directamente

$${{d^2y(t)}\over {dt^2}}$$ +2$${{dy(t)}\over {dt}}$$ +2y(t) = 2$${{dx(t)}\over {dt}}$$ + 2x(t),

mathend000#

cuja TL é dada por

Y(s)(s² + 2s + 2) = 2(s + 1)X(s),

mathend000#

visto que X(s) = TL[x(t)] mathend000# é dada por

X(s) = $${5\over {s+2}}$$,

mathend000#

temos que, por substituição na equação anterior, e cálculo das raízes da equação do segundo grau do denominador

Y(s) = $${{10(s+1)}\over {(s+2)(s+1-j)(s+1+j)}}$$,

mathend000#

dando origem à representação no plano s mathend000# da figura 3.4. A inversão faz-se por decomposição da fração polinomial,

Y(s) = $${{A_1}\over {s+2}}$$ + $${{B_1}\over {s+1-j}}$$ + $${{B_2}\over {s+1+j}}$$,

mathend000#

onde podemos facilmente deduzir que

A₁ = - 5,        B₁ = $${5\over{1+j}}$$,

mathend000#

com B₂ = B₁ ^* mathend000#. Por questões de simplificação do cálculo é frequente colocar os coeficientes complexos sob forma exponencial. Assim podemos escrever que

B₁ = $${5\over \sqrt{2}}$$e^{${-j{\pi\over 4}}$},

mathend000#

e portanto

Y(s) = $${{-5}\over {s+2}}$$ + $${5\over \sqrt{2}}$$$$\left[\vphantom{{{e^{-j{\pi\over 4}}}\over {s+1-j}} + {{e^{j{\pi\over 4}}}\over {s+1+j}}}\right.$$$${{e^{-j{\pi\over 4}}}\over {s+1-j}}$$ + $${{e^{j{\pi\over 4}}}\over {s+1+j}}$$$$\left.\vphantom{{{e^{-j{\pi\over 4}}}\over {s+1-j}} + {{e^{j{\pi\over 4}}}\over {s+1+j}}}\right]$$.

mathend000#

Podemos agora calcular a TLI a cada um dos termos para obter

y(t) = - 5e^-2t + $${5\over \sqrt{2}}$$[$${e^{-j{\pi\over 4}}}$$e^(-1+j)t + $${e^{j{\pi\over 4}}}$$e^(-1-j)t]u(t),

mathend000#

ou ainda simplificando

y(t) = - 5e^-2t + $${5\over \sqrt{2}}$$e^-t[e^{${j(t-{\pi\over 4})}$} + e^{${-j(t-{\pi\over 4})}$}]u(t),

mathend000#

de onde deduzimos finalmente

y(t) = [5$$\sqrt{{2}}$$e^-tcos(t - $${{\pi}\over 4}$$) - 5e^-2t]u(t).

mathend000#

Neste resultado final podemos facilmente identificar que o primeiro termo - oscilação em cos(t) mathend000# - é a resposta do sistema em regime permanente e o segundo - exponencial atenuada - é a resposta ao sinal de entrada x(t) mathend000#.

Figura 3.4: pólos e zeros no plano s mathend000#.

Integral de Fourier

Definição

O integral de Fourier, ou simplesmente transformada de Fourier (TF), permite passar de uma função temporal s(t) mathend000# `qualquer' (periódica ou aperiódica) para uma função frequencial S($\omega$) mathend000# definida por

$$\omega \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \omega$$ (3-3.01)

mathend000#

Em geral a S($\omega$) mathend000# chama-se espectro de s(t) mathend000#, mesmo se essa designação deva ser reservada para |S($\omega$)| mathend000#, que é tambem chamada densidade espectral em amplitude. De modo análogo a transformada de Fourier inversa (TFI) é definida por

$$\omega {1\over {2\pi}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \omega \omega \omega$$ (3-3.02)

mathend000#

que permite determinar a função temporal s(t) mathend000# de modo único a partir do seu espectro S($\omega$) mathend000#. Por vezes é mais cómodo representar o espectro de s(t) mathend000# como uma função da frequência (em Hz) e não da pulsação em rd/s e por isso de forma análoga temos

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (3-3.03)

mathend000#

e

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (3-3.04)

mathend000#

onde obviamente f = $\omega$/2$\pi$ mathend000#.

TF discreta no tempo

No caso de um sinal de variável (tempo) discreta, a sua Transformada de Fourier (em inglês Discrete Time Fourier Transform ou DTFT) obtem-se fazendo a passagem t$\to$nT mathend000# - onde T mathend000# é o período de amostragem e n mathend000# é uma variável discreta - transformando-se assim o integral em somatório, permitindo escrever a partir de (3-3.1)

$$\omega \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \omega$$ (3-3.05)

mathend000#

note-se o facto de que se nesta equação substituirmos $\omega$ mathend000# por $\omega$ +2$\pi$/T mathend000# obtemos,

$$\omega {{2\pi}\over T} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} {-j(\omega + {{2\pi}\over T})nT}$$ =

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \omega \pi$$ =

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \omega$$ =

$$\omega$$ = (3-3.06)

dado que exp(-2$\pi$n) = 1 mathend000# para qualquer valor de n mathend000# inteiro. Chega-se então à conclusão interessante de que, independentemente de s(nT) mathend000# ser periódico ou não, o seu espectro é sempre periódico de período 2$\pi$/T mathend000#, onde T mathend000# é o intervalo de amostragem (intervalo de tempo entre duas amostras consecutivas). Devemos aqui sublinhar que esta é sem dúvida a maior e, quase única, diferença entre a TF de sinais contínuos e sinais discretos.

Tendo em conta esta propriedade a TF inversa no caso discreto obtem-se a partir de (3-3.2), tendo em conta que devido à periodicidade do espectro, apenas devemos considerar o integral de definição num período

$${1\over {2\pi}} \int_{{-\pi/T}}^{{\pi/T}} \omega \omega \omega$$ (3-3.07)

mathend000#

Propriedades da TF

1. Sinal analítico, f (t) mathend000# complexo: se o sinal temporal f (t) mathend000# é complexo com uma parte real f_R(t) mathend000# e uma parte imaginária f_X(t) mathend000# pode-se então demonstrar facilmente que

   $$\omega \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \omega$$ (3-3.08)

   mathend000#
   e

   $$\omega \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \omega$$ (3-3.09)

   mathend000#
   onde F($\omega$) = R($\omega$) + jX($\omega$) mathend000#, e inversamente

   $${1\over {2\pi}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \omega \omega \omega \omega$$ (3-3.10)

   mathend000#
   e

   $${1\over {2\pi}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \omega \omega \omega \omega$$ (3-3.11)

   mathend000#
   Estas relações fazem aparecer propriedades interessantes quando f_X(t) mathend000# é vista como a transformada de Hilbert de f (t) mathend000# que é o sinal analítico (ver disciplina de Fundamentos de Telecomunicações).

2. Sinal f (t) mathend000# real: neste caso temos obviamente f_R(t) = f (t) mathend000# e f_X(t) = 0 mathend000#, o que implica que

   $$\omega \int \omega$$ (3-3.12)

   mathend000#
   e

   $$\omega \int \omega$$ (3-3.13)

   mathend000#
   de onde se pode deduzir que R($\omega$) = R(- $\omega$) mathend000# e X($\omega$) = - X(- $\omega$) mathend000#. Isto quer dizer que F(- $\omega$) = F ^* ($\omega$) mathend000# o que consiste numa propriedade importante da transformada de Fourier das funções reais. O inverso também se pode demonstrar, ou seja, que se o espectro frequencial de uma função obedece a F(- $\omega$) = F ^* ($\omega$) mathend000# então f (t) mathend000# é real.

3. Sinal temporal par e real: neste caso, em que o sinal real f (t) = f (- t) mathend000#, temos que

   $$\omega \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \int_{0}^{{\infty}} \omega$$ (3-3.14)

   mathend000#
   e

   $$\omega$$ (3-3.15)

   mathend000#
   devido ao facto que o produto de duas funções pares dá ainda uma função par, e o produto de uma função par e uma função ímpar dá uma função ímpar. Portanto a TF de uma função real par é real. Inversamente a TFI de uma função real é uma função também real e par.

4. Sinal temporal ímpar: neste caso f (t) = - f (- t) mathend000#, e por analogia com o caso precedente

   $$\omega$$ (3-3.16)

   mathend000#
   e

   $$\omega \int_{0}^{{\infty}} \omega$$ (3-3.17)

   mathend000#

5. TF do produto de convolução: vamos agora demonstrar que o produto simples de duas funções no domínio do tempo é um produto de convolução no domínio da frequência e vice-versa uma convolução no tempo transforma-se numa simples multiplicação na frequência. Pretende-se portanto demonstrar o seguinte teorema

   Se

   X₁(f )= TF[x₁(t)]        e        X₂(f )= TF[x₂(t)], (3-3.18)

   mathend000#
   então
   

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau$$ = TF[x₁(t) * x₂(t)]

   = X₁(f )X₂(f ). (3-3.19)

   
   

   A demonstração deste teorema faz-se a partir da equação (3-3.19),

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau \pi$$ (3-3.20)

   mathend000#
   na qual poderemos inverter a ordem de integração considerando que ambos os integrais convergem nos respectivos intervalos (sinais de energia finita) e fazendo a mudança de variável v = t - $\tau$ mathend000# e assim,

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \pi \tau \tau$$ (3-3.21)

   mathend000#
   ou seja

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \pi \tau \pi \tau \tau$$ (3-3.22)

   mathend000#
   e na qual podemos reconhecer que o termo entre [ ] mathend000# é a TF de x₁(t) mathend000# que pode sair do integral em $\tau$ mathend000# ficando
   

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \pi \tau \tau$$ TF[x₁(t) * x₂(t)] =

   = X₁(f )X₂(f ), (3-3.23)

   
   o que demonstra o teorema. A relação utilizada neste teorema foi a forma geral da convolução na qual ambos os sinais eram supostos não causais. No caso de sinais causais os limites inferior e superior do integral de convolução serão, em princípio, 0 mathend000# e t mathend000# respectivamente, mas podem ser substituidos por - $\infty$ mathend000# e $\infty$ mathend000# o que não altera o valor do integral visto que o produto dos dois sinais é nulo entre [- $\infty$, 0] mathend000# e [t,$\infty$] mathend000#.

6. TF do produto ordinário: já vimos que a TF do produto de convolução no tempo resulta num produto simples no domínio da frequência. Vamos agora ver qual a TF do produto simples no tempo.

   Seja,
   

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \pi \pi$$ TF[x₁(t) ^. x₂(t)] =

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \pi$$ =

   $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}}$$ =

   = X₁(f ) * X₂(f ) (3-3.24)

   
   que nos permite dizer que a TF do produto simples no tempo é igual ao produto de convolução no domínio da frequência. Obviamente que tanto para esta relação como para a estabelecida no ponto anterior o inverso também é verdade, dado que a TF é uma transformação injectiva.

   Devido à sua importância na manipulação de sinais, devemos ainda referir como se escrevem estas expressões quando da utilização da TF em $\omega$ mathend000#. Assim podemos facilmente demonstrar que

   $$\omega \omega$$ (3-3.25)

   mathend000#
   e

   $${1\over {2\pi}} \omega \omega$$ (3-3.26)

   mathend000#

Exemplos

1. Função porta rectangular - rect(x)

Talvez a função mais utilizada em teoria do sinal seja a função de observação ou ``função porta rectangular''

$${1\over \tau} {t\over \tau} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} {1\over \tau}, & \vert t \... ...over 2},\\ 0, & {\rm para}~ {\rm todo}~{\rm outro}~ t. \end{array} }\right. \begin{array}{ll} {1\over \tau}, & \vert t \vert < {\tau\over 2},\\ 0, & {\rm para}~ {\rm todo}~{\rm outro}~ t. \end{array}$$ (3-3.27)

mathend000#

Neste caso obtém-se

$${1\over \tau} {t\over \tau} \int_{{-\tau/2}}^{{\tau/2}} {1\over \tau} \omega$$ =

$${1\over \tau} {{e^{-j\omega t}}\over {-j\omega}} \tau \tau$$ = (3-3.28)

o que, utilizando a relação,

$${{e^{jx}+e^{-jx}}\over {2j}}$$ (3-3.29)

mathend000#

dá como resultado

$${1\over \tau} {t\over \tau} {{\sin ({{\omega\tau}\over 2})}\over {{\omega\tau}\over 2}}$$ =

$${{\sin (\pi \tau f)}\over {\pi \tau f}}$$ =

$$\tau$$ = (3-3.30)

O que em resumo nos define que a TF da função porta é uma sinc (ver figura 3.5),

$${t\over \tau} \tau \tau$$ (3-3.31)

mathend000#

e inversamente

$$\tau {1\over \tau} {t\over \tau}$$ (3-3.32)

mathend000#

Figura 3.5: Transformada de Fourier da função porta rectangular (a) na função sinc (b).

No caso discreto temos um resultado semelhante. Assim a TF da função rect discreta definida por

$$\cases{1 & $-K/2 \le k \le K/2$\cr 0, & outro ~ $k$\cr}$$ (3-3.33)

mathend000#

calcula-se através de

$$\sum_{{k=-K/2}}^{{K/2}} \pi$$ (3-3.34)

mathend000#

de onde fazendo n = k + K/2 mathend000# permite escrever

$$\sum_{{n=0}}^{K} \pi$$ TF[rect(k/K)] =

$$\pi \sum_{{n=0}}^{K} \pi$$ = (3-3.35)

onde o somatório é uma progressão geométrica de razão e^-j2$\pi$fT mathend000# e por isso pode ser escrita como

$$\pi {{1-e^{-j2\pi fT(K+1)}}\over {1-e^{-j2\pi fT}}}$$ (3-3.36)

mathend000#

onde podemos agora manipular a expressão de forma a fazer aparecer um seno no numerador e no denominador. Primeiramente, multiplicando e dividindo por exp(j$\pi$fT) mathend000# e colocando exp(-j$\pi$fT) mathend000# em factor no denominador obtemos

$${{e^{-j\pi fT}}\over {e^{-j\pi fT}}} {{e^{j\pi fT(K+1)-e^{-j\pi fT(K+1)}}\over {e^{-j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}}}$$ TF[rect(k/K)] =

$${{\sin (\pi fT(K+1)}\over {\sin (\pi fT)}}$$ =

$${{{\rm sinc} [fT(K+1)]}\over {{\rm sinc} (fT)}}$$ = (3-3.37)

e que, como se pode ver, resulta num rácio entre duas sinc's, uma de abertura T(K + 1) mathend000# e outra de abertura T mathend000#, multiplicado por um termo de amplitude de K + 1 mathend000# (ver figura 3.6).

Figura 3.6: Transformada de Fourier da função porta rectangular discreta no tempo: com K = 11 mathend000# amostras (a) função sinc na frequência (b).

2. Função sinc(x)

Dado que é bastante difícil calcular a TF da função sinc(x) (ver apêndice E para mais detalhes) vamos proceder ao contrário, i.e., calcular a TF inversa da função porta no domínio da frequência. Seja então a TFI

$$\tau \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \pi$$ =

$$\int_{{-1/2\tau}}^{{1/2\tau}} \pi$$ =

$$\left[\vphantom{{{e^{j2\pi ft}}\over {j2\pi t}}}\right. {{e^{j2\pi ft}}\over {j2\pi t}} \left.\vphantom{{{e^{j2\pi ft}}\over {j2\pi t}}}\right]_{{-1/2\tau}}^{{1/2\tau}}$$ =

$$\left[\vphantom{{{e^{j\pi t/\tau}-e^{-j\pi t/\tau}}\over {-j2\pi t}}}\right. {{e^{j\pi t/\tau}-e^{-j\pi t/\tau}}\over {-j2\pi t}} \left.\vphantom{{{e^{j\pi t/\tau}-e^{-j\pi t/\tau}}\over {-j2\pi t}}}\right]$$ =

$${{\sin (\pi t/\tau)}\over {\pi t}}$$ =

$$\tau \tau$$ = (3-3.38)

o que nos revela o interessante resultado de que a TFI da função porta é uma sinc, ou por outras palavras a TF da sinc é uma função porta,

$${t\over \tau} {1\over \tau} \tau$$ (3-3.39)

mathend000#

e vice-versa

$$\tau \tau {t\over \tau}$$ (3-3.40)

mathend000#

Exercício: calcular a TFI da função porta no domínio da frequência seguindo sensivelmente os mesmos passos da equação (3-3.38), mas agora para o caso discreto no tempo.

3. Gaussiana

Calculemos agora a TF da função

$${1\over {\tau \sqrt{2\pi}}} {-{1\over 2} ({t\over \tau})^2}$$ (3-3.41)

mathend000#

Devido à dificuldade de integrar a exponencial num intervalo infinito deveremos, para começar, fazer aparecer no exponente um quadrado puro. Assim

$$\omega \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \omega \int_{{-\infty}}^{{\infty}} {1\over {\tau \sqrt{2\pi}}} {-{1\over 2} ({t\over \tau})^2} \omega$$ (3-3.42)

mathend000#

cujo expoente é

$${1\over {2\tau^2}} \tau^{2}_{} \omega$$ (3-3.43)

mathend000#

e ao qual, para fazer aparecer um quadrado puro, é necessário adicionar e subtrair o termo - $\tau^{4}_{}$$\omega^{2}_{}$ mathend000# obtendo assim

$${1\over {2\tau^2}} \tau^{2}_{} \omega {{\tau^2\omega^2}\over 2}$$ (3-3.44)

mathend000#

Sabendo que

$$\int_{0}^{{\infty}} {1\over 2} \sqrt{{{\pi}\over a}}$$ (3-3.45)

mathend000#

obtém-se o resultado final depois de simplificação,

$$\omega {-{1\over 2} (\tau \omega)^2}$$ (3-3.46)

mathend000#

que é ainda uma Gaussiana no domínio da frequência.

Família de impulsos

A tratamento clássico da transformada de Fourier não contempla o caso das funções não aperiódicas, isto é, das funções não limitadas no tempo porque, matematicamente o integral de definição não converge. São exemplos o caso da família de impulsos das funções generalizadas que passamos a descrever.

Transformada de Fourier do Dirac

No caso do valor infinito do Dirac o integral não existe, mas como só o caso limite nos interessa, o tratamento matemático faz-se por aproximação. Deseja-se calcular a TF do sinal $\delta$(t) mathend000#. Muito simplesmente,

$$\delta \Delta \omega$$ =

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \omega$$ =

$$\omega$$ = (3-5.1)

devido à propriedade (2-3.13) tomada no ponto zero. Inversamente

$${1\over {2\pi}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \omega \omega$$ TFI[1] =

$$\delta$$ = (3-5.2)

Impõe-se agora estabelecer as expressões recíprocas das precedentes, i.e., as TF de 1 e TFI de $\delta$($\omega$) mathend000#. A partir de (3-5.2) mudando a variável de integração de $\omega$ mathend000# em - t mathend000# e notando que o impulso de Dirac é uma função par, é fácil escrever

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \omega$$ TF[1] =

$$\pi \delta \omega$$ = (3-5.3)

e inversamente

$$\delta \omega {1\over {2\pi}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \omega \omega \omega$$ =

$${1\over {2\pi}}$$ = (3-5.4)

Por vezes cria-se alguma confusão na obtenção destes resultados, devido à alternância entre a utilização da pulsação $\omega$ mathend000# em vez da frequência f mathend000#. Repetimos agora os mesmos resultados mas utilizando a variável f mathend000#.

TF do Dirac,

$$\delta \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \delta \pi \pi$$ (3-5.5)

mathend000#

TFI de 1,

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ TFI[1] = =

$$\delta$$ = (3-5.6)

TF de 1,

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ TF[1] =

$$\delta$$ = (3-5.7)

e inversamente

$$\delta \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \delta \pi$$ =

= 1. (3-5.8)

Transformada de Fourier do degrau unitário

O cálculo da transformada de Fourier (TF) da função degrau unidade u(t) mathend000# ultrapassa largamente o âmbito desta disciplina, pois necessita o conhecimento de algumas ferramentas aplicáveis a funções generalizadas (ou distribuições) das quais o Dirac é um exemplo. Uma dessas ferramentas, necessária neste caso, é a noção de integral limite de Cesaro. Quando um integral é divergente no sentido usual de Rieman é possível, nalguns casos práticos, obter convergência, multiplicando a função integral por um ``factor de convergência'', assim, no sentido de limite de Cesaro - indicado pelo símbolo (C) antes do integral -

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \lim_{{b \to 0^+}}^{} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$ (3-6.1)

mathend000#

onde e^-b|t| mathend000# é o factor de convergência. No nosso caso, calcularemos o integral

$$\int_{0}^{{+\infty}}$$ (3-6.2)

mathend000#

no limite de Cesaro, através de

(C) $$\int_{0}^{{+\infty}}$$sin(at)dt	= $$\lim_{{b \to 0^+}}^{}$$$$\int_{0}^{{+\infty}}$$sin(at)e-btdt
	= $$\lim_{{b \to 0}}^{}$$$${a\over {a^2 + b^2}}$$
	= $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1/a & a \ne 0\\ 0 & a=0, \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ll} 1/a & a \ne 0\\ 0 & a=0, \end{array}$$

(3-6.3)

mathend000#

e escrever simplesmente

$$\int_{0}^{{+\infty}} {1\over a}$$ (3-6.4)

mathend000#

Voltemos agora ao caso da TF do Dirac, temos que de acordo com (3-5.3)

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \pi \delta$$ (3-6.5)

mathend000#

Agora, como a função seno é impar o seu integral num intervalo simétrico é nulo, temos que

$$\delta \int_{0}^{{+\infty}} \pi$$ (3-6.6)

mathend000#

Estamos agora prontos para discutir o problema proposto, i.e.,

$$\int_{0}^{{+\infty}} \pi$$ (3-6.7)

mathend000#

ou seja,

$$\int_{0}^{{+\infty}} \pi \int_{0}^{{+\infty}} \pi$$ (3-6.8)

mathend000#

utilizando (3-6.6) no primeiro termo e (3-6.4) no segundo podemos escrever

$${1\over 2} \delta {j\over {2\pi f}}$$ (3-6.9)

mathend000#

que é o resultado pretendido.

Já agora, podemos determinar igualmente a relação recíproca da TF inversa do degrau na frequência, i.e.,

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \pi$$ (3-6.10)

mathend000#

Note-se que U(f )= TF[u(t)] mathend000# enquanto que u(f ) mathend000# é um degrau unitário em frequência, i.e., uma ``função'' que é igual a zero para f < 0 mathend000# e igual a um para f > 1 mathend000#. Podemos escrever

$$\int_{0}^{{\infty}} \pi \int_{0}^{{\infty}} \pi$$ (3-6.11)

mathend000#

Utilizando o mesmo argumento de que a função seno é impar e portanto o seu integral entre [- $\infty$,$\infty$] mathend000# é zero, temos que de forma análoga ao caso da TF[u(t)] mathend000# mas revertendo de f mathend000# para t mathend000# que,

$$\delta \int_{0}^{{+\infty}} \pi$$ (3-6.12)

mathend000#

e que com a ajuda de (3-6.4) podemos escrever

$${{\delta(t)}\over 2} {j\over {2\pi t}}$$ (3-6.13)

mathend000#

que é o resultado procurado. Podemos agora obter versões equivalentes em $\omega$ mathend000#, para a TF directa da função degrau unidade

$$\int_{0}^{{\infty}} \omega \pi \delta \omega {j\over\omega}$$ (3-6.14)

mathend000#

onde $\delta$(f ) mathend000# foi substituido por 2$\pi$$\delta$($\omega$) mathend000# de acordo com (3-5.3) e para a TF inversa do degrau na frequência em $\omega$ mathend000#

$$\omega {1\over {2\pi}} \int_{0}^{{+\infty}} \omega \omega$$ =

$${1\over {2\pi}} \int_{0}^{{+\infty}} \omega \omega {j\over {2\pi}} \int_{0}^{{+\infty}} \omega \omega$$ = (3-6.15)

onde utilizando (3-5.2) e que, mais uma vez, o integral da função sin mathend000# é nulo num intervalo de [- $\infty$, + $\infty$] mathend000# dando-nos o resultado do termo em cos mathend000#

$$\int_{0}^{{+\infty}} \omega \omega \pi \delta$$

mathend000#

e que a partir de (3-6.4)

$$\int_{0}^{{\infty}} \omega \omega {1\over t}$$ (3-6.16)

mathend000#

temos finalmente por substituição em (3-6.15) que

$$\omega {\delta(t)\over 2} {j\over {2\pi t}}$$ (3-6.17)

mathend000#

Transformada de Fourier da função sinal (sgn)

A função ``sinal de'', ou sign em inglês, define-se por

$$\cases{-1 & $t < 0$\ \cr 0 & $t=0$\ \cr 1 & $t>0$.\cr}$$ (3-7.01)

mathend000#

Um forma simples de obter a TF de sgn(t) mathend000# é a de recordar que a função degrau unidade se pode escrever como

$${1\over 2} {1\over 2}$$ (3-7.02)

mathend000#

e tendo em conta (3-6.9) podemos concluir que

$${{-j}\over {\pi f}}$$ (3-7.03)

mathend000#

ou de forma equivalente em $\omega$ mathend000#, identificando com (3-6.14),

$${{-2j}\over\omega}$$ (3-7.04)

mathend000#

Como habitualmente vamos agora tratar o caso inverso, também interessante, da função sgn em frequência. Por analogia podemos escrever

$${1\over 2} {1\over 2}$$ (3-7.05)

mathend000#

e mais uma vez, utilizando (3-6.13), temos que

$${j\over {\pi t}}$$ (3-7.06)

mathend000#

ou o mesmo resultado em $\omega$ mathend000#, tendo em conta (3-6.18).

Transformada de Fourier de um sinal periódico

No caso de um sinal periódico s(t) mathend000#, de período T mathend000#, representável por (F-0.6) e (F-0.7), a sua transformada de Fourier escreve-se

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \pi \pi$$ (3-8.1)

mathend000#

onde, invertendo o somatório e o integral,

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \pi$$ (3-8.2)

mathend000#

O integral representa simplesmente a TF[1] (3-5.3) no ponto f = nf₀ mathend000# e portanto,

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (3-8.3)

mathend000#

de onde se deduz que a TF de um sinal periódico, de período T = 1/f₀ mathend000#, não é mais do que a repetição do espectro C_n mathend000# com o período f₀ mathend000#.

Exemplo:

transformada de Fourier de cos($\omega_{0}^{}$t) mathend000#. Trata-se neste caso de uma função que não é limitada no tempo, cuja TF pode ser obtida facilmente com a ajuda do Dirac. Assim

x(t) = cos$$\omega_{0}^{}$$t = $${1\over 2}$$e^{j$\omega_{0}$t} + $${1\over 2}$$e^{-j$\omega_{0}$t},

mathend000#

e

TF[x(t)] = $$\int$$$${1\over 2}$$e^{-j($\omega$-$\omega_{0}$)t}dt + $$\int$$$${1\over 2}$$e^{-j($\omega$+$\omega_{0}$)t}dt,

mathend000#

utilizando (3-5.3) temos que

TF[x(t)] = $$\pi$$[$$\delta$$($$\omega$$ - $$\omega_{0}^{}$$) + $$\delta$$($$\omega$$ + $$\omega_{0}^{}$$)],

mathend000#

o que indica que a energia da TF de x(t) mathend000# está concentrada nas duas frequências - $\omega_{0}^{}$ mathend000# e + $\omega_{0}^{}$ mathend000#.

Transformada de Fourier de um ``pente'' de Diracs

É frequente necessitarmos o cálculo de

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (3-9.1)

mathend000#

que é uma sucessão periódica, de período T₀ mathend000#, de Diracs, vulgarmente chamada ``pente'' de Diracs ou simplesmente ``função pente''. Sabendo que (F-0.7) para o impulso de Dirac se escreve

$${1\over T_0} \int_{{-T_0/2}}^{{T_0/2}} \delta \omega_{0} {1\over T_0}$$ (3-9.2)

mathend000#

temos que, por substituição em (3-8.3),

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}} \delta$$ (3-9.3)

mathend000#

o que dá o interessante resultado que a TF de um ``pente'' de Diracs no tempo é ainda um ''pente'' de Diracs em frequência.

Processo de amostragem ideal: como aplicação interessante da TF do ``pente de Diracs'', podemos referir a representação do processo de amostragem ideal no domínio da frequência. Consideremos o sinal x(t) mathend000# amostrado à taxa de amostragem de T<sub>s</sub> mathend000# segundos. O sinal amostrado escreve-se então, considerando a função de amostragem ideal, ou ``pente de Diracs'',

$$\hat{x} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta$$ =

= x(t) ^. s(t), (3-9.4)

expressão já utilizada anteriormente e onde a função de amostragem ideal s(t) mathend000# é dada por

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta$$ (3-9.5)

mathend000#

Calculemos agora a representação do sinal amostrado no domínio da frequência, calculdando $\hat{X}$(f )= TF[$\hat{x}$(t)] mathend000#,

$$\hat{X} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \hat{x} \pi$$ =

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta \pi$$ = (3-9.6)

invertendo a ordem entre o integral e o somatório e fazendo sair do integral as grandezas que não dependem do tempo t mathend000#, temos

$$\hat{X} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \delta \pi$$ =

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \delta \tau \pi \tau \tau$$ =

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \pi$$ = (3-9.7)

visto que a TF[$\delta$(t)] = 1 mathend000#. Esta expressão diz-nos simplesmente que a TF do sinal amostrado é igual à TF do sinal discreto no tempo definida em (3-3.5). Alternativamente, partindo de (3-9.4) podemos dizer que

$$\hat{x}$$ = TF[x(t) ^. s(t)]

= TF[x(t)] * TF[s(t)]

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta$$ = (3-9.8)

de onde, em virtude da propriedade de sifting, temos que

$$\hat{x} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$ (3-9.9)

mathend000#

ou seja, a TF do sinal amostrado - igualmente a TF do sinal discreto no tempo - é uma repetição periódica (de período igual à frequência de amostragem f_s mathend000#) do espectro X(f ) mathend000# do sinal.

Transformada de Fourier de sistemas lineares

Já tivemos ocasião de referir que um sistema linear invariante no tempo pode ser representado por um sistema de equações diferenciais de coeficientes constantes do tipo (2-7.1). É útil, na análise de sistemas lineares, calcular a TF de ambos os membros da eq. (2-7.1)

$$\left[\vphantom{\sum_{i=0}^N a_i {{d^i y(t)}\over {dt^i}}}\right. \sum_{{i=0}}^{N} {{d^i y(t)}\over {dt^i}} \left.\vphantom{\sum_{i=0}^N a_i {{d^i y(t)}\over {dt^i}}}\right] \left[\vphantom{\sum_{l=0}^M b_l {{d^l x(t)}\over {dt^l}}}\right. \sum_{{l=0}}^{M} {{d^l x(t)}\over {dt^l}} \left.\vphantom{\sum_{l=0}^M b_l {{d^l x(t)}\over {dt^l}}}\right]$$ (3-10.01)

mathend000#

utilizando recursivamente a propriedade da derivada podemos escrever a partir de (3-10.1)

$$\sum_{{i=0}}^{N} \pi \sum_{{l=0}}^{M} \pi$$ (3-10.02)

mathend000#

onde X(f ) mathend000# e Y(f ) mathend000# são as TF's de x(t) mathend000# e y(t) mathend000# respectivamente. Observando (3-10.2) pode-se constatar que através da TF as derivadas deixam lugar a simples multiplicações e que podemos reduzir a expressão que liga a TF de x(t) mathend000# à TF de y(t) mathend000# a

$${{Y(f)}\over {X(f)}} {{\sum_{l=0}^M (-1)^{l+1} b_l (j2\pi f)^l}\over {\sum_{i=0}^N (-1)^{i+1} a_i (j2\pi f)^i}}$$ (3-10.03)

mathend000#

O segundo membro desta última equação é uma função de f mathend000# à qual se chama função de transferência que se nota H(f ) mathend000# e que permite ligar a entrada e a saída do sistema através de

$${{Y(f)}\over {X(f)}}$$ (3-10.04)

mathend000#

Dada a propriedade que permite afirmar que o produto de convolução no tempo é equivalente a um produto simples no domínio da frequência, podemos então dizer que a entrada x(t) mathend000# e a saída y(t) mathend000# de um sistema linear estão ligados entre si por uma relação de convolução através da resposta impulsiva h(t) mathend000#, ou que y(t) = x(t) * h(t) mathend000#.

No caso da equação de diferenças (2-7.4) somos levados a utilizar a TF discreta no tempo, assim

$$\sum_{{i=0}}^{N} \sum_{{l=0}}^{M}$$ (3-10.05)

mathend000#

ou ainda

$$\sum_{{i=0}}^{N} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \pi \sum_{{l=0}}^{M} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \pi$$ (3-10.06)

mathend000#

onde já foi invertida a ordem dos somatórios em i mathend000# e l mathend000# com os somatórios da TF em n mathend000#. Fazendo agora uma mudança de variável k = n - i mathend000# no primeiro membro e m = n - l mathend000# no segundo, permite escrever

$$\sum_{{i=0}}^{N} \pi \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \pi$$

$$\sum_{{l=0}}^{M} \pi \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \pi$$ (3-10.07)

e agora

$$\sum_{{i=0}}^{N} \pi \sum_{{l=0}}^{M} \pi$$ (3-10.08)

mathend000#

e, como no caso contínuo,

$${{Y(f)}\over {X(f)}} {{\sum_{l=0}^M b_l \exp{(-j2\pi fl)}}\over {\sum_{i=0}^N a_i \exp{(-j2\pi fi)}}}$$ (3-10.09)

mathend000#

Veremos mais tarde que a definição de um novo espaço de variável z = e^j2$\pi$f mathend000#, permite definir uma nova transformada, denominada Transformada em Z (TZ)

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$$ (3-10.10)

mathend000#

onde frequentemente T = 1 mathend000#. A partir de (3-10.9) podemos escrever directamente a TZ de h[n] mathend000# como

$${{\sum_{l=0}^M b_l z^{-l}}\over {\sum_{i=0}^N a_i z^{-i}}}$$ (3-10.11)

mathend000#

Neste equação podemos notar que tanto o denominador como o numerador da fração são polinómios em z. As raízes do denominador, chamados pólos, são muito importantes para a determinação da estabilidade do sistema. As raízes do numerador são chamados os zeros do sistema.

Exemplo 1:

calcular o espectro de potência normalizado da função

$${{\sin \omega_ct}\over {\pi t}}$$ (3-10.12)

mathend000#

A potência normalizada é a potência dissipada numa resistência de 1 $\Omega$ mathend000#. Trata-se portanto de calcular o espectro de f (t) = g²(t) mathend000# que não é mais do que a TF dum produto temporal g(t)g(t) mathend000#. Portanto

$$\omega {1\over {2\pi}} \omega \omega$$ (3-10.13)

mathend000#

usando a TF da função (sin x)/x mathend000#,

$$\omega {\omega\over {2\omega_c}}$$ (3-10.14)

mathend000#

o integral de convolução torna-se numa convolução de duas funções rectangulares obtendo-se evidentemente uma função triangular da forma

$$\omega \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} {\omega_c\over {\pi}} - {{\... ...rt < 2\omega_c;\\ 0, & \vert \omega \vert > 2\omega_c. \end{array} }\right. \begin{array}{ll} {\omega_c\over {\pi}} - {{\vert \omega \vert} ... ...omega \vert < 2\omega_c;\\ 0, & \vert \omega \vert > 2\omega_c. \end{array}$$ (3-10.15)

mathend000#

Exemplo 2:

calcular o espectro da função f (t) mathend000# formada pela série de Diracs definida por

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0, & t<-\alpha T,\\ \del... ...-kT_0), & -\alpha T <t < \alpha T;\\ 0, & t > \alpha T \end{array} }\right. \begin{array}{ll} 0, & t<-\alpha T,\\ \delta(t-kT_0), & -\alpha T <t < \alpha T;\\ 0, & t > \alpha T \end{array}$$ (3-10.16)

mathend000#

Comecemos por considerar a seguinte série infinita de Diracs,

$$\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta$$ (3-10.17)

mathend000#

da qual se conhece a transformada de Fourier que não é outra senão uma série de Diracs em frequência,

$$\omega \omega_{0}^{} \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \delta \omega \omega_{0}^{} \omega_{0}^{} \pi$$ (3-10.18)

mathend000#

Agora podemos multiplicar a função temporal g(t) mathend000# por uma janela rectangular de tal modo a obter f (t) = m(t)g(t) mathend000#,

$${t\over D}$$ (3-10.19)

mathend000#

Nesse caso temos que F($\omega$) = ${1\over {2\pi}}$M($\omega$) * G($\omega$) mathend000# o que é relativamente fácil de calcular, visto que M($\omega$) = Dsinc(D${\omega\over {2\pi}}$) mathend000#, e a convolução de qualquer função com um Dirac tem por efeito de não modificar essa função, a não ser um atraso (temporal ou frequencial) equivalente à posição do Dirac. Neste caso o espectro de f (t) mathend000# será uma série

$$\omega \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}} \bigl[ {D\over {2\pi}} \omega \omega_{0}^{} \bigr]$$ (3-10.20)

mathend000#

Podemos observar que como propriedade fundamental uma função limitada no tempo dá origem a uma transformada ilimitada em frequência. O recíproco também é verdade.