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Séries de Fourier

Um sinal periódico é definido pela relação intuitiva

$\displaystyle \exists$ T0 < $\displaystyle \infty$        tal que        s(t) = s(t + nT0), (F.-0.01)
mathend000#
onde T0 mathend000# é chamado período do sinal e n mathend000# é um número inteiro.

Pode-se demonstrar que todas as funções periódicas que

  1. sejam uniformes
  2. sejam finitas ou com discontínuidades absolutamente integráveis, i.e., que

    $\displaystyle \int_{t}^{{t+T_0}}$|s(u)|du < $\displaystyle \infty$

    mathend000#

  3. tenham um número finito de discontínuidades
  4. tenham um número finito de máximos e mínimos num período

podem ser representadas por uma combinação linear arbitrária de funções sinusoidais de frequências crescentes. Assim, todo sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier

s(t) = $\displaystyle {{a_0}\over 2}$ + $\displaystyle \sum_{{n=1}}^{{\infty}}$(ancos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$t + bnsin n$\displaystyle \omega_{0}^{}$t), (F.-0.02)
mathend000#
onde

an = $\displaystyle {2\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-{{T_0}\over 2}}}^{{{T_0}\over 2}}$s(t)cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt, (F.-0.03)
mathend000#
e

bn = $\displaystyle {2\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-{{T_0}\over 2}}}^{{{T_0}\over 2}}$s(t)sin n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt, (F.-0.04)
mathend000#
onde T0 mathend000# é o período do sinal s(t) mathend000# e $ \omega_{0}^{}$ mathend000# é a pulsação definida por $ \omega_{0}^{}$ = 2$ \pi$/T0 mathend000#. Outra forma equivalente do desenvolvimento em série de Fourier de s(t) mathend000# é

s(t) = $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{\infty}}$Ancos(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$t + $\displaystyle \phi_{n}^{}$). (F.-0.05)
mathend000#

Exercício: utilizando F-0.3 e F-0.4 demonstrar que na relação F-0.5 temos

A0 = $\displaystyle {a_0\over 2}$,

mathend000#

An = $\displaystyle \sqrt{{a_n^2 + b_n^2}}$,

mathend000#

$\displaystyle \phi_{n}^{}$ = arctan(- $\displaystyle {b_n\over a_n}$).

mathend000#

Finalmente a terceira forma, chamada forma complexa, da série de Fourier escreve-se

s(t) = $\displaystyle \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}}$Cnejn$\scriptstyle \omega_{0}$t, (F.-0.06)
mathend000#
com

Cn = $\displaystyle {1\over {T_0}}$$\displaystyle \int_{{-{T_0\over 2}}}^{{+{T_0\over 2}}}$s(t)e-jn$\scriptstyle \omega_{0}$tdt. (F.-0.07)
mathend000#

Exercício: demonstrar a relação F-0.7.

Exemplo 1:

calcular o desenvolvimento em série de Fourier da onda quadrada, periódica, de valor médio nulo, de período T0 mathend000# e amplitude E mathend000# representada na figura F.1.

truemm

Figura F.1: onda quadrada.
\includegraphics[height=60mm]{figs/onda-quadrada.ps}

Observando o sinal da figura F.1 podemos desde já determinar que a0 = 0 mathend000# pois este coeficiente é proporcional ao valor médio do sinal que neste caso é nulo. Por outro lado, visto que o sinal representado é uma função par, temos que o desenvolvimento em série deverá ser também uma função par e que portanto bn = 0 mathend000#. Calculemos então an mathend000#. Utilizando F-0.3

an = - $\displaystyle {{2}\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-T_0/2}}^{{-T_0/4}}$cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt + $\displaystyle {{2}\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-T_0/4}}^{{T_0/4}}$cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt - $\displaystyle {{2}\over T_0}$$\displaystyle \int_{{T_0/4}}^{{T_0/2}}$cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt,

mathend000#

com T0 = 2 mathend000#. Integrando o coseno nos devidos intervalos e pondo em factor 1/n$ \omega_{0}^{}$ mathend000# obtem-se

an = - $\displaystyle {1\over {n\pi}}$[- sin(n$\displaystyle \pi$/2) + sin(n$\displaystyle \pi$) - sin(n$\displaystyle \pi$/2) - sin(n$\displaystyle \pi$/2) + sin(n$\displaystyle \pi$) - sin(n$\displaystyle \pi$/2)],

mathend000#

sabendo que sin n$ \pi$ = 0 mathend000# e juntando os termos em sin(n$ \pi$/2) mathend000#

an = $\displaystyle {{4}\over {n\pi}}$sin$\displaystyle {{n\pi}\over 2}$.

mathend000#

O desenvolvimento de s(t) mathend000# escreve-se então

s(t) = $\displaystyle {4\over \pi}$(cos$\displaystyle \omega_{0}^{}$t - $\displaystyle {1\over 3}$cos 3$\displaystyle \omega_{0}^{}$t + $\displaystyle {1\over 5}$cos 5$\displaystyle \omega_{0}^{}$t +...+ $\displaystyle {1\over n}$sin n$\displaystyle {\pi\over 2}$cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$t +...),

mathend000#

com $ \omega_{0}^{}$ = 2$ \pi$/T0 = $ \pi$ mathend000#.

truemm

Figura F.2: sinal sinusoidal.
\includegraphics[height=60mm]{figs/sinusoide.ps}

Exemplo 2:

calcular o desenvolvimento em série de Fourier da onda sinusoidal, de valor médio nulo, periódica, de período T0 mathend000# e amplitude unidade representada na figura F.2. Como no exemplo anterior, trata-se de um sinal par, de valor médio nulo e portanto a0 = bn = 0 mathend000#. Assim

an = $\displaystyle {2\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-T_0/2}}^{{T_0/2}}$cos$\displaystyle \omega_{0}^{}$t cos n$\displaystyle \omega_{0}^{}$tdt,

mathend000#

com T0 = 2 mathend000#. Sabendo que cos a cos b = 1/2[cos(a + b) + cos(a - b)] mathend000# (ver anexo) obtemos fácilmente, após integração,

an = $\displaystyle {{\sin(n+1)\pi}\over {(n+1)\pi}}$ + $\displaystyle {{\sin(n-1)\pi}\over {(n-1)\pi}}$,

mathend000#

ou numa forma mais compacta

an = $\displaystyle \cases {1& $n=\pm 1$\cr 0.& $n \ne \pm 1$\cr}$

mathend000#

Utilizando F-0.2 obtemos (como aliás seria evidente desde o início)

s(t) = cos$\displaystyle \omega_{0}^{}$t.

mathend000#

O coeficiente Cn mathend000# da equação F-0.7 é uma função de ordem n mathend000# da variável discreta n$ \omega_{0}^{}$ mathend000# (harmónica n mathend000# de s(t) mathend000#) e dá uma representação (discreta) do sinal s(t) mathend000# no domínio da frequência. Por essa razão é geralmente chamado espectro do sinal periódico s(t) mathend000#. Cn mathend000# é em geral uma função complexa e contém, nesse caso, a informação de amplitude e de fase das componentes (harmónicas) de s(t) mathend000# que se pode escrever sob a forma

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle \Vert$Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$)$\displaystyle \Vert$ej$\scriptstyle \phi_{n}$(n$\scriptstyle \omega_{0}$), (F.-0.08)
mathend000#
onde $ \Vert$Cn(n$ \omega_{0}^{}$)$ \Vert$ mathend000# é o espectro de amplitude e $ \phi_{n}^{}$(n$ \omega_{0}^{}$) mathend000# é o espectro de fase de s(t) mathend000#.

Exercício:

demonstrar que

$\displaystyle \Vert$Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$)$\displaystyle \Vert$ = $\displaystyle \Vert$C-n(- n$\displaystyle \omega_{0}^{}$)$\displaystyle \Vert$ = $\displaystyle {1\over 2}$$\displaystyle \sqrt{{a_n^2 + b_n^2}}$ = $\displaystyle {1\over 2}$An, (F.-0.09)
mathend000#
e que

$\displaystyle \phi_{n}^{}$(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = arctan(- $\displaystyle {{b_n}\over {a_n}}$) = $\displaystyle \phi_{n}^{}$, (F.-0.10)
mathend000#
e

$\displaystyle \phi_{{-n}}^{}$(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = arctan($\displaystyle {{b_n}\over {a_n}}$) = - $\displaystyle \phi_{n}^{}$. (F.-0.11)
mathend000#

Exemplo 3:

calcular o espectro Cn(n$ \omega_{0}^{}$) mathend000# da onda quadrada da figura F.1. Verificar o resultado utilizando as relações entre Cn mathend000#, an mathend000# e bn mathend000#.

Para a onda quadrada da figura F.1

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {1\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-T_0/2}}^{{T_0/2}}$s(t)e-jn$\scriptstyle \omega_{0}$tdt.

mathend000#

Integrando a exponencial nos mesmos intervalos que no exercício anterior obtemos

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = - $\displaystyle {1\over {jn\omega_0 T_0}}$[2e-jn$\scriptstyle \omega_{0}$T0/4 -2ejn$\scriptstyle \omega_{0}$T0/4 + ejn$\scriptstyle \omega_{0}$T0/2 - e-jn$\scriptstyle \omega_{0}$T0/2],

mathend000#

utilizando a conhecida forma sin x = (1/2j)(ejx - e-jx) mathend000# obtemos a partir da relação anterior

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {{2}\over {jn\omega_0 T_0}}$[2j sin(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$T0/4)] - $\displaystyle {1\over {jn\omega_0 T_0}}$[2j sin(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$T0/2)];

mathend000#

simplificando por j mathend000# e sabendo que o segundo termo é nulo temos que

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {{\sin(n\omega_0 T_0/4)}\over {n\omega_0 T_0/4}}$ = $\displaystyle {{\sin n\pi /2}\over {n\pi /2}}$.

mathend000#

A figura F.3 mostra uma representação gráfica de Cn(n$ \omega_{0}^{}$) mathend000# para -10 < n < 10 mathend000#.

truemm

Figura F.3: espectro de amplitude discreto Cn mathend000#.
\includegraphics[height=60mm]{figs/espectro-Cn.ps}

Utilizando os valores de an mathend000# e bn mathend000# do exercício anterior e sabendo que |Cn|= 1/2$ \sqrt{{a_n^2 + b_n^2}}$ mathend000# e que $ \phi$(n$ \omega_{0}^{}$) = $ \phi_{n}^{}$ = 0 mathend000# obtem-se fácilmente o resultado acima.

Exemplo 4:

calcular o espectro Cn(n$ \omega_{0}^{}$) mathend000# do sinal da figura F.2. Aplicando a forma geral

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {1\over T_0}$$\displaystyle \int_{{-T_0\over 2}}^{{T_0\over 2}}$cos($\displaystyle \omega_{0}^{}$t)e-jn$\scriptstyle \omega_{0}$tdt.

mathend000#

Utilizando a forma exponencial do coseno,

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {1\over {2T_0}}$$\displaystyle \int_{{-T_0\over 2}}^{{T_0\over 2}}$ej$\scriptstyle \omega_{0}$t(1-n) + e-j$\scriptstyle \omega_{0}$t(1+n)dt,

mathend000#

integrando no devido intervalo e voltando a substituir a forma exponencial da função seno

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {1\over {\omega_0 T_0}}$[$\displaystyle {1\over {1-n}}$sin[$\displaystyle \omega_{0}^{}$(1 - n)$\displaystyle {T_0\over 2}$] + $\displaystyle {1\over {1+n}}$sin[$\displaystyle \omega_{0}^{}$(1 + n)$\displaystyle {T_0\over 2}$]];

mathend000#

pondo sob a forma habitual de sin x/x mathend000#,

Cn(n$\displaystyle \omega_{0}^{}$) = $\displaystyle {1\over 2}$$\displaystyle {{\sin [\omega_0 (1-n){T_0\over 2}]}\over {\omega_0(1-n){T_0\over 2}}}$ + $\displaystyle {1\over 2}$$\displaystyle {{\sin [\omega_0 (1+n){T_0\over 2}]}\over {\omega_0(1+n){T_0\over 2}}}$ = $\displaystyle {1\over 2}$$\displaystyle {{\sin (1-n)\pi}\over {(1-n)\pi}}$ + $\displaystyle {1\over 2}$$\displaystyle {{\sin(n+1)\pi}\over {(n+1)\pi}}$,

mathend000#

esta função é sempre nula para qualquer valor de n mathend000# salvo para n = - 1 mathend000# e n = 1 mathend000# onde toma o valor 1/2. Podemos então desenhar o seu espectro de amplitude

Figura F.4: espectro de amplitude discreto Cn mathend000# de uma sinusoide.
\includegraphics[height=60mm]{figs/espectro-sin.ps}

Sergio Jesus 2008-12-30