Função Seno integral - Si(x mathend000#)

A função seno integral Si(x) mathend000# é definida como

Si(x) = $\displaystyle \int_{0}^{x}$$\displaystyle {{\sin t}\over t}$dt. (E.-0.01)
mathend000#
Esta função faz intervir fundamentalmente a nossa conhecida função

f (x) = $\displaystyle {{\sin x}\over x}$, (E.-0.02)
mathend000#
cuja principal propriedade é de que $ \lim_{{x\to 0}}^{}$f (x) = 1 mathend000#. A primeira coisa que podemos notar em f (x) mathend000# é que contrariamente a sin x mathend000#, f (x) mathend000# é uma função par e é uma função tal que $ \lim_{{\vert x\vert \to \infty}}^{}$f (x) = 0 mathend000#. O outro ponto interessante aparece quando calculamos os seus extremos que são encontrados quando f'(x) = 0 mathend000#, i.e., quando

f'(x) = $\displaystyle {{x\cos x -\sin x}\over {x^2}}$ = 0, (E.-0.03)
mathend000#
o que implica

tan x = x. (E.-0.04)
mathend000#
Dado que tan x mathend000# é uma função periódica vamos ter uma infinidade de valores para os quais tan x mathend000# é igual à bissectriz y = x mathend000#. Esses valores não se calculam de forma trivial. A seguir a x0 = 0 mathend000#, obtemos os valores seguintes que são x1 = 2.68$ \pi$/2 mathend000#, x2 = 4.92$ \pi$/2 mathend000#, x3 = 6.94$ \pi$/2 mathend000#, etc...Os zeros de f (x) mathend000# por seu lado são fáceis de calcular e são dados por xn = ±k$ \pi$ mathend000#.

Voltemos agora a Si(x) mathend000#. O que acontece com este função é que não existe uma forma fechada para a primitiva de f (x) mathend000#. Não quer dizer que ela não exista ! Apenas não pode ser colocada sob forma analítica. No entanto uma forma aproximada de calcular este integral, com uma aproximação arbitrária, é de substituir sin x mathend000# pelo seu desenvolvimento em série e dividir por x mathend000#, calculando em seguida o integral. Assim podemos escrever que

Si(x) $\displaystyle \approx$ x - $\displaystyle {{x^3}\over {3 \cdot 3!}}$ + $\displaystyle {{x^5}\over {5\cdot 5!}}$ - +..., (E.-0.05)
mathend000#
que é uma série que converge para todo o x mathend000#. Um valor particular do seno integral obtem-se quando x$ \to$$ \infty$ mathend000#, que é

Si($\displaystyle \infty$) = $\displaystyle \int_{0}^{{\infty}}$$\displaystyle {{\sin x}\over x}$dx = $\displaystyle {\pi\over 2}$ (E.-0.06)
mathend000#
conhecido como o integral de Dirichlet. Um resultado interessante do integral de Dirichlet é que

2/$\displaystyle \pi$$\displaystyle \int_{0}^{{\infty}}$$\displaystyle {{\sin kx}\over x}$dx = $\displaystyle \cases{1 & para $k > 0$\cr 0 & para $ k=0$\cr -1& para $k<0$.\cr}
$ (E.-0.07)
mathend000#
O gráfico do seno integral e do seu limite quando x$ \to$$ \infty$ mathend000# encontra-se na figura E.1. truemm
Figura E.1: função seno integral Si(x).
\includegraphics[height=70mm]{figs/si_x.eps}


Sergio Jesus 2008-12-30