11.4

Teoremas Básicos em Notação Fasorial

11.4.1 Transformação de Fonte

Uma fonte de tensão sinusoidal não ideal, expressa por um fasor de tensão (V_s) e por uma impedância (Z_s), pode ser transformada numa fonte de corrente sinusoidal por aplicação da transformação

(11.60)

e

(11.61)

Figura 11.11 Transformação de fonte em notação fasorial

Na Figura 11.12 representam-se alguns exemplos de fontes às quais se aplicou o teorema da transformação de fonte.

Figura 11.12 Transformação de fonte em notação fasorial

Por exemplo, no caso (b) verifica-se que

(11.62)

e que

(11.63)

em que q_s representa a fase na origem da fonte de tensão e j_s o ângulo do número complexo representativo da impedância da fonte.

11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton

A metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto de procedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos no Capítulo 6, para os circuitos resistivos puros. Na Figura 11.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial.

Figura 11.13 Equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial

No circuito da Figura 11.13.a, o fasor da tensão de Thévenin coincide com a tensão em aberto medida entre os terminais a-b,

(11.64)

ao passo que a impedância de Thévenin é expressa por

(11.65)

No caso de 11.13.b, a fonte de corrente de Norton é

(11.66)

e a impedância

(11.67)

Finalmente, nos circuitos de 11.13.c e 11.13.d obtêm-se, respectivamente, os equivalentes de Thévenin

(11.68)

(11.69)

e

(11.70)

11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A generalização do teorema da sobreposição das fontes à análise fasorial do regime forçado sinusoidal - ou seja, a adição dos fasores associados a fontes sinusoidais distintas - só pode efectuar-se nos casos em que se verifique uma mesma frequência angular. Na Figura 11.14 visualiza-se a causa desta limitação da aplicação do teorema da sobreposição das fontes: os fasores associados a frequências angulares distintas reportam-se a planos complexos distintos, em particular devido à diferente velocidade angular com que cada plano é suposto girar. Por outro lado, frequências angulares distintas conduzem a valores também distintos para as impedâncias dos elementos condensador e bobina, devendo as contribuições de cada uma das fontes reportar-se aos seus parâmetros próprios.

Figura 11.14 Fasores de sinais sinusoidais com frequências angulares distintas

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.15.a e admita-se que as duas fontes independentes sinusoidais se caracterizam pela mesma frequência angular.

Figura 11.15 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com idêntica frequência angular)

De acordo com o teorema da sobreposição das fontes (em notação fasorial), o fasor da tensão V₂ é expresso pelo somatório

(11.71)

em que (Figura 11.15.b)

(11.72)

e (Figura 11.15.c)

(11.73)

ou seja,

(11.74)

O fasor em (11.74) corresponde à expressão no domínio do tempo

(11.75)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal são sinusoidais, mas apresentam frequências angulares distintas, w_1¹ w₂.

Figura 11.16 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com frequências angulares distintas)

As consequências desta diferença são basicamente duas:

(i) as impedâncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada;

(ii) os fasores relativos a cada uma das fontes não podem ser adicionados entre si, sendo necessário convertê-los primeiramente para o domínio do tempo.

Assim, no caso da fonte V_s (Figura 11.16.b) o fasor da tensão V₂ é

(11.76)

subjacente ao qual se encontra a frequência w₁=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte I_s (Figura 11.16.c) o fasor é

(11.77)

em que w₂=10000 rad/s. No domínio do tempo a tensão v₂(t) é expressa por

(11.78)

um resultado distinto daquele obtido em (11.75).

11.4.4 Teorema de Millman

A generalização do teorema de Millman é consequência da validade da transformação de fonte no regime forçado sinusoidal. Como a Figura 11.17 indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação em série de fontes de corrente. A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.

Figura 11.17 Teorema de Millman

11.4.5 Teorema de Miller

Considere-se o circuito da Figura 11.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedância equivalente à direita dos terminais a-b.

Figura 11.18 Teorema de Miller

A particularidade deste circuito consiste no facto de a impedância Z se encontrar ligada a dois terminais entre os quais existe uma relação de ganho, conseguido pela fonte dependente -aV_x. A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à única malha do circuito permite escrever a igualdade

(11.79)

na qual se inscreve a impedância à direita dos terminais a-b

(11.80)

A relação (11.80) indica que a impedância Z é dividida pelo factor (1+a), indicativo da tensão que na realidade se encontra aplicada aos terminais.

Um resultado de particular interesse inscrito na relação (11.80) é o designado efeito de Miller sobre a capacidade dos condensadores. Como se indica na Figura 11.19, nos casos em que a impedância Z é definida por um condensador, Z=(jwC)^-1, o valor aparente da capacidade é amplificado de um factor (1+a)

(11.81)

O efeito de Miller é amplamente utilizado na compensação da resposta em frequência de amplificadores operacionais e na redução do efeito de injecção do sinal de relógio em circuitos amostradores-retentores de sinal.

Figura 11.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador