11.5

Potência

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AjudaCapítulo 12Capítulo 10Secção 11.4Sumário

11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L

Considere-se o circuito representado na Figura 11.20 e admita-se que o fasor da fonte de tensão é Vs=VÐ 0.

Figura 11.20 Potência dissipada numa resistência no regime forçado sinusoidal

Dada a natureza real da resistência, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tensão

(11.82)

Em valores instantâneos,

(11.83)

e

(11.84)

que em conjunto conduzem à expressão da potência instantânea

(11.85)

Uma vez que a potência instantânea é periódica no tempo, e em particular com período duplo daqueles característicos da corrente e da tensão (Figura 11.21.b), o valor médio respectivo é dado pelo integral

(11.86)

ou seja,

(11.87)

ou ainda

(11.88)

A potência média dissipada numa resistência pode ainda ser expressa em função do valor eficaz da tensão ou da corrente (também designado valor rms, do inglês root mean square)

(11.89)

valor que no caso dos sinais sinusoidais é dado por

(11.90)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.21, cujos fasores da tensão e da corrente se encontram desfasados de p/2 radianos,

(11.91)

ou seja,

(11.92)

e

(11.93)

respectivamente. A potência instantânea fornecida ao condensador (Figura 11.21.b) é expressa pelo produto

(11.94)

cujo valor médio no tempo é nulo,

(11.95)

O resultado em (11.105) indica que o condensador não dissipa energia eléctrica, pelo contrário é um elemento capaz de armazenar e restituir energia à fonte de alimentação. É facilmente demonstrável que a potência média dissipada numa bobina é identicamente nula.

Figura 11.21 Potência acumulada num condensador no regime forçado sinusoidal

11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC da Figura 11.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potências instantânea e média fornecida pela fonte.

Figura 11.22 Potência dissipada num circuito RC

De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito é expresso pelo cociente

(11.96)

em que j=artg(-1/wRC). As expressões da tensão e da corrente no domínio do tempo são, respectivamente,

(11.97)

e

(11.98)

A potência instantânea fornecida ao circuito pela fonte é expressa pelo produto

(11.99)

ou ainda

(11.100)

cujo valor médio no tempo é

(11.101)

ou

(11.102)

ou ainda

(11.103)

em que Z define o módulo da impedância do conjunto RC. Observando o triângulo das impedâncias da Figura 11.22.b verifica-se que

(11.104)

isto é, que a potência fornecida pela fonte ao circuito coincide na íntegra com aquela dissipada na resistência

(11.105)

O resultado expresso por (11.105) concorda com a conclusão obtida anteriormente para as potências médias dissipadas pelos elementos resistência e condensador. A potência fornecida pela fonte é, assim, composta por duas parcelas:

(i) uma parcela relativa à energia dissipada por efeito de Joule na resistência, que constitui um processo irreversível;

(ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituída pelo condensador à fonte. Estas trocas de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude máxima da corrente no circuito.

Pode facilmente demonstrar-se que a potência fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aquela estabelecida em (11.105).

11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente

Considere-se o circuito representado em 11.23.a, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal e uma impedância Z=R+jX (Figuras 11.23 a e b).

Figura 11.23 Potências aparente, activa e reactiva

Admita-se ainda que a parte imaginária da impedância é positiva (hipótese que equivale a considerar a carga como um circuito RL), que o fasor da tensão aplicada é

(11.106)

e que, portanto, o fasor da corrente no circuito é (Figura 11.23.c)

(11.107)

O produto

VA, volt-ampere (11.108)

define a potência aparentemente fornecida ao circuito pela fonte, potência que inclui seja a fracção dissipada na parte resistiva da impedância, seja a parte trocada com a parte imaginária. Por outro lado, designa-se por potência reactiva o produto

VAr, volt-ampere reactivo (11.109)

que representa a potência alternadamente trocada entre a fonte de tensão e o elemento acumulador de energia. As potências aparente, reactiva e activa (activa no sentido de potência dissipada por efeito de Joule sobre as resistências) definem o triângulo das potências representado na Figura 11.23.d. As potências activa e reactiva definem os catetos do triângulo, em direcções perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do mesmo define a potência aparente. O cociente entre a potência dissipada por efeito de Joule e a potência aparente

(11.110)

é designado por factor de potência da carga e constitui uma medida da eficácia com que a potência é transferida da fonte para a carga. Quando o factor de potência é inferior à unidade, a corrente no circuito encontra-se acima do valor estritamente necessário para transferir a potência que na realidade se transfere, ocorrendo perdas de energia desnecessárias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuição.

A correcção do factor de potência é uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras de energia eléctrica. Com efeito, os consumidores de energia eléctrica, sejam eles os motores das fábricas, os electrodomésticos nas casas etc., conduzem em geral a impedâncias com carácter indutivo, isto é, a cargas cuja parte imaginária é positiva. Nestes casos, o factor de potência pode ser aumentado introduzindo, em paralelo com a carga, um condensador de compensação, conduzindo assim à redução da parte reactiva da potência.

11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

No âmbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto é, quando a carga e a resistência de saída da fonte apresentam valores idênticos. Este teorema pode ser generalizado ao âmbito da análise fasorial do regime forçado sinusoidal, concluindo-se neste caso que a máxima transferência de potência ocorre quando as impedâncias da fonte e da carga são complexas conjugadas.

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.24, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal com impedância de saída Zs=Rs+jXs, e por uma carga complexa, Z=R+jX.

Figura 11.24 Teorema da máxima transferência de potência

O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(11.111)

cujo módulo é

(11.112)

De acordo com os resultados obtidos na secção anterior, o valor médio da potência activa (de Joule) efectivamente dissipada pela carga é

(11.113)

Independentemente das partes resistivas da impedância de saída da fonte e da carga, Rs e R respectivamente, ambas positivas, o máximo da transferência de potência ocorre certamente quando

(11.114)

dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expressão da potência média em (11.113) simplifica-se para

(11.115)

expressão que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no âmbito da análise dos circuitos resistivos puros. A determinação do máximo de (11.115) conduz então ao resultado

(11.116)

o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condição de máxima transferência de potência

(11.117)

Na Figura 11.25 ilustra-se o significado prático da adaptação de impedâncias entre fonte e carga: a igualdade X=-Xs equivale a cancelar a parte reactiva do conjunto de impedâncias formado pela fonte e pela carga, ou seja, a reconduzir o circuito à forma encontrada na análise das redes resistivas puras (Figura 11.25.b). Convém, no entanto, salientar o facto de a adaptação de impedâncias se verificar apenas para uma frequência angular bem definida. Significa isto que a escolha da impedância de carga deve ser feita em função da frequência para a qual se pretende maximizar a transferência de potência.

Figura 11.25 Adaptação de impedâncias