9.2

Solução Forçada

9.2.1 Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC (com fonte independente) representado na Figura 9.5.a.

Figura 9.5 Circuitos RC e RL de 1.ª ordem com fontes independentes

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever a igualdade

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, conduz à equação diferencial com termo forçado

(9.33)

Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito RL representado na Figura 9.5.b permite escrever a igualdade

a qual, por sua vez, conduz à equação diferencial com termo forçado

(9.35)

As equações diferenciais (9.33) e (9.35) apresentam a forma comum

(9.36)

em que t=RC ou t=L/R, consoante o circuito seja de tipo RC ou RL, respectivamente.

9.2.2 Soluções Natural e Forçada

A equação diferencial (9.36) resolve-se por aplicação do método dos factores de integração. Este método consiste em multiplicar ambas as partes da equação diferencial pelo termo e^t/t

(9.37)

e verificar que

(9.38)

ou seja, que (9.36) se pode escrever na forma

(9.39)

Assim, após integração de ambas as partes verifica-se que

(9.40)

ou seja, que

(9.41)

em que A é uma constante de integração a determinar por imposição das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos condensador ou bobina.

A solução (9.41) contém duas parcelas essencialmente distintas: a parcela

(9.42)

que coincide na forma com a solução da equação diferencial homogénea, atrás designada por solução natural, e a parcela

(9.43)

que se designa por solução forçada. A forma da parcela (9.43) é geral e define explicitamente a solução forçada do circuito. Para além do mais, o seu cálculo é independente das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

9.2.3 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.6.a e admita-se que a fonte de tensão v_s(t) define um sinal em degrau com origem em t=0 e amplitude V_s, ou seja, v_s(t)= V_s.u(t). Admita-se ainda que no instante de tempo t=0 a tensão aos terminais do condensador é v_C(0)=V_o.

Figura 9.6 Solução forçada constante de um circuito RC

De acordo com estes dados, a solução forçada do circuito é expressa por

t>0

(9.44)

que, em conjunto com a solução natural, conduz à solução completa

t>0

(9.45)

Por outro lado, a imposição das condições inicial e de continuidade

(9.46)

permite obter o valor da constante de integração

t>0

(9.47)

e escrever a solução final (Figura 9.6.b)

t>0

(9.48)

Considere-se agora a expressão da corrente no condensador, i_C(t). Uma vez que

(9.49)

então

t>0

(9.50)

cuja amplitude tende para zero quando t ® ¥ . Como se indica na Figura 9.6.c, quando t = ¥ , o circuito comporta-se como se os terminais do condensador se encontrassem em aberto (i_C(¥ )=0), situação à qual corresponde a tensão v_C(¥ )=V_s. Por conseguinte, a tensão aos terminais do condensador pode ser expressa na forma

t>0

(9.51)

indicativa de que a dinâmica temporal de um circuito RC (RL) pode ser determinada recorrendo apenas aos valores inicial e final da tensão (corrente) aos terminais do condensador (bobina). Com efeito, pode concluir-se que:

(i) nos circuitos RC, o valor final da tensão aos terminais do condensador é dado pela respectiva tensão em aberto (i_C=0) (Figura 9.6.c);

(ii) nos circuitos RL, o valor final da corrente na bobina é dado pela respectiva corrente de curto-circuito.

9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se o circuito RC figurado em Figura 9.7.a e admita-se que a fonte de sinal é de tipo sinusoidal, v_s(t)=u(t).V_s.cos(wt).

Figura 9.7 Solução natural e forçada sinusoidal de um circuito RC: (b) w=0.1 rad/s, R=1 W, C=1 F, v_C(0)= -1 V, v_s(t) = V_s.u(t).cos(wt); (c)w=1 rad/s, R=1 W, C=1 F, v_C(0)= -1 V, v_s(t) = V_s.u(t).cos(wt)

A equação diferencial característica do circuito é, neste caso,

(9.52)

cuja solução após aplicação do integral (9.41) é

t>0

(9.53)

em que B_c, B_s e A são constantes a determinar como adiante se indica. A solução (9.53) pode ainda ser expressa na forma

(9.54)

em que

(9.55)

As constantes B_c, B_s e A podem ser determinadas de dois modos essencialmente distintos:

(i) no caso de B_c e B_s, directamente por aplicação do integral (9.41) e, no caso de A, por imposição à solução total das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos condensador ou bobina;

(ii) ou então determinar as constantes B_c e B_s através da imposição da condição de que a resposta forçada constitua, por si só, solução da equação diferencial, e determinar a constante A impondo as condições inicial e de continuidade à solução total já com B_c e B_s definidos.

Por exemplo, no caso da segunda metodologia, o cálculo das constantes B_c e B_s passa por substituir a solução forçada na equação diferencial (9.51)

(9.56)

e verificar que a igualdade entre as partes esquerda e direita da mesma conduzem ao sistema de equações

(9.57)

em cuja solução se inscrevem as duas constantes

(9.58)

A substituição das constantes B_c e B_S na solução completa permite escrever (a menos da constante A)

(9.59)

ou, em alternativa,

(9.60)

Finalmente, por imposição das condições inicial e de continuidade

(9.61)

obtém-se a expressão da constante A

(9.62)

e a solução final

(9.63)

Nas Figuras 9.7 b e c representam-se as dinâmicas temporais de um circuito RC de 1.ª ordem com condição inicial distinta de zero e termo forçado sinusoidal (mais propriamente um Coseno). A frequência do sinal forçado é w = (10RC)^-1 em (b) e w = (RC)^-1 em (c). Nesta figura são patentes três características fundamentais do regime forçado sinusoidal:

(i) após a extinção da solução natural, a tensão aos terminais do condensador segue a forma sinusoidal da fonte independente, designadamente a mesma frequência;

(ii) existe uma diferença entre as amplitudes das sinusóides aplicada e medida aos terminais do condensador, que se constata depender da relação entre a frequência da sinusóide e os parâmetros R e C do circuito;

(iii) existe uma diferença de fase entre as sinusóides aplicada e medida aos terminais do condensador, que mais uma vez se constata ser uma função da relação entre a frequência da sinusóide e os parâmetros R e C do circuito.

Adiante se verá que estas três características constituem o ponto de partida para a análise dos circuitos no domínio da frequência.