9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise da dinâmica temporal dos circuitos RC, RL e RLC. Este teorema afirma que a dinâmica de um circuito com condensadores, bobinas e múltiplas fontes independentes pode ser determinada calculando uma a uma a resposta forçada devida a cada fonte considerada isoladamente. Por exemplo, a solução de um circuito RC ou RL com N fontes independentes é composta por (N+1) parcelas, das quais a primeira é a solução natural do circuito e as restantes N as respostas forçadas pelas fontes.

Considere-se então o circuito RC com duas fontes independentes, representado na Figura 9.8.a.

Figura 9.8 Teorema da sobreposição das fontes

Admita-se que ambas as fontes são constantes no tempo para t>0, ou seja, v_s(t)=V_s.u(t) e i_s(t)=I_s.u(t), e que a tensão inicial aos terminais do condensador é v_C(0)=V_o. A aplicação do teorema da sobreposição das fontes a este circuito exige que se apliquem consecutivamente os seguintes quatro passos:

(i) primeiramente, anulam-se as fontes independentes e determina-se a solução natural (9.8.b);

(ii) seguidamente, anula-se a fonte de corrente e determina-se a solução forçada pela fonte de tensão (por exemplo, coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensão respectiva, Figura 9.8.c);

(iii) anula-se a fonte de tensão e determina-se a solução forçada pela fonte de corrente (coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensão respectiva; Figura 9.8.d);

(iv) determina-se a constante da solução natural, A, neste caso impondo à solução total as condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do condensador.

A resposta natural do circuito é obtida através do cancelamento de todas as fontes independentes presentes no circuito (Figura 9.8.b). No caso presente, a constante de tempo é dada pelo produto da capacidade do condensador pela resistência vista dos seus terminais

t = R₁C

(9.65)

e, portanto,

v_C-n (t) = Ae^-t/^t

(9.66)

A determinação da resposta forçada pela fonte de tensão, v_s(t), exige que se cancele a fonte de corrente (Figura 9.8.c). Neste caso,

(9.67)

Pelo contrário, o cálculo da parcela imposta pela fonte de corrente exige que se anule a fonte de tensão independente (Figura 9.8.d), que neste caso impõe o valor final

(9.68)

A solução total para a tensão aos terminais do condensador é dada pela soma das parcelas (9.66), (9.67) e (9.68)

(9.69)

à qual a aplicação das condições inicial e de continuidade

(9.70)

conduz ao valor da constante A da solução natural

(9.71)

e à solução final

(9.72)

Mais uma vez se verifica que a solução total (natural mais forçada) de um circuito RC (ou RL) segue a forma geral

(9.73)

em que, neste caso, v_C(¥) resulta da aplicação do método da sobreposição das fontes ao circuito.