9.4 Exemplos de Aplicação

9.4.1 Exemplo de Aplicação-1

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.9.a e admita-se que os interruptores S₁, S₂ e S₃ comutam de posição nos instantes de tempo t=0, t=t₁ e t=t₂, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra na posição indicada em (a) desde t = (- ¥). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tensão e da corrente no condensador.

Figura 9.9 Exemplo de aplicação-1: descarga de um condensador

Resolução: A corrente no condensador no instante t=0 é nula (Figura 9.10.b) e a tensão respectiva é

(9.74)

O circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.9.c em t=0, após a qual o condensador inicia a sua descarga através da resistência R₂. A tensão aos terminais do condensador é

0<t<t₁

(9.75)

e a corrente respectiva

0<t<t₁

(9.76)

Após t=t₁ o condensador encontra-se em aberto (Figura 9.9.d). A constante de tempo de descarga é neste caso infinita (R=¥), e a tensão e a corrente são dadas, respectivamente, por

t₁<t<t₂

(9.77)

e por

t₁<t<t₂

(9.78)

Para t>t₂ a constante de tempo de descarga é t=R₁C (Figura 9.9.e), e

t>t₂

(9.79)

t > t₂

(9.80)

Nas Figuras 9.9 f e g representam-se as expressões da tensão e da corrente no condensador.

9.4.2 Exemplo de Aplicação-2

Considere-se o circuito RL representado na Figura 9.10.a e admita-se que os interruptores S₁ e S₂ comutam de posição nos instantes de tempo t=0 e t=t₁, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra na posição indicada em (a) desde t = (- ¥). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tensão e da corrente na bobina.

Figura 9.10 Exemplo de aplicação-2: descarga de uma bobina

Resolução: A corrente na bobina no instante t=0 é definida pelo cociente (Figura 9.10.b)

(9.81)

No instante t=0 o circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.10.c, em cuja sequência a bobina inicia a sua descarga através da resistência R₂. Nesta situação são válidas as expressões

0<t<t₁

(9.82)

0<t<t₁

(9.83)

respectivamente para a corrente e para a tensão na bobina. Em t=t₁, os terminais da bobina encontram-se em curto-circuito (d). Neste caso, a constante de tempo de descarga da bobina é infinitamente elevada (R=0), razão pela qual se verificam as igualdades

t>t₁

(9.84)

t>t₁

(9.85)

respectivamente, para a corrente e para a tensão na bobina.

Nas Figuras 9.10.e e 9.10.f representam-se as expressões da corrente e da tensão na bobina.

9.4.3 Exemplo de Aplicação-3

Considere-se o circuito RC da Figura 9.11 e admita-se que o sinal v_s(t) define um degrau com origem em t=0 e amplitude V_s. Admita-se ainda que a tensão inicial aos terminais do condensador é v_C(0)=V_o>V_s. Pretende-se estabelecer a expressão da tensão aos terminais do condensador, v_C(t), para t>0.

Figura 9.11 Exemplo de aplicação-3: descarga de um condensador

Resolução: As soluções natural e forçada do circuito podem ser calculadas recorrendo aos diagramas simplificados representados nas Figuras 9.11.b e 9.11.c, respectivamente. A constante de tempo do circuito é dada pelo produto (b)

(9.86)

ao passo que o regime forçado é expresso pelo divisor de tensão (c)

(9.87)

A solução completa para a tensão aos terminais do condensador é, então,

(9.88)

cuja representação gráfica em função do tempo se ilustra na Figura 9.11.d.

Este exercício podia ter sido resolvido recorrendo ao método convencional de obtenção da equação diferencial, de resolução da mesma, e de imposição das condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do condensador. Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X permite escrever a igualdade (Figura 9.11.a)

(9.89)

a qual, por substituição das características v_x=v_C=v_R2 e i_C=Cdv_C/dt, permite obter a equação diferencial

(9.90)

em que t=(R₁//R₂)C define a constante de tempo do regime natural do circuito. Após resolução do integral (9.42) obtêm-se as soluções natural e forçada

(9.91)

(9.92)

respectivamente. A constante A é determinada por imposição das condições inicial e de continuidade da tensão no condensador

(9.93)

da qual resulta

(9.94)

e a solução final

(9.95)

9.4.4 Exemplo de Aplicação-4

Considere-se o circuito RC da Figura 9.12.a e admita-se que a forma de onda definida pela fonte de tensão v_s(t) é quadrada, com origem em zero e amplitude 5 V (Figura 9.12.b). Admita-se ainda que a tensão inicial aos terminais do condensador é v_c(0)=0 V. Pretende-se determinar e representar a expressão da tensão v_c(t) nos seguintes intervalos de tempo:

(i) nos dois primeiros intervalos de tempo de duração DT=T/2, nos casos em que T/2>>t , T/2=t e T/2<<t;

(ii) em dois intervalos de tempo consecutivos para os quais t>>T, nos casos em que T/2>>t, T/2=t e e T/2<<t.

Figura 9.12 Exemplo de aplicação-4

Resolução: Durante o primeiro intervalo de tempo, 0<t<T/2, a tensão aos terminais do condensador é forçada a 5 V pela fonte de tensão. Como tal, a tensão aos terminais do condensador varia de acordo com a expressão

0<t<T/2

(9.96)

em que t=RC. Nos casos em que T/2>>t verifica-se que (Figura 9.12.c)

(9.97)

resultado que indica que a tensão atinge praticamente o valor de 5 V imposto pela fonte. Por outro lado, no caso de igualdade T/2=t (Figura 9.12.d),

(9.98)

e a tensão atinge um valor que é apenas aproximadamente 2/3 do valor imposto pela fonte. Finalmente, quando T/2<<t, pode efectuar-se a aproximação da exponencial pela sua derivada na origem

(9.99)

e admitir que no intervalo de tempo 0<t<T/2 o crescimento da tensão é aproximadamente linear:

0<t<T/2

(9.100)

isto é, que em t=T/2 se verifica a igualdade (Figura 9.12.e)

(9.101)

Considere-se agora o circuito durante o intervalo de tempo T/2<t<T. Neste caso o termo forçado é nulo e

T/2<t<T

(9.102)

A constante A é determinada com base na condição inicial em t=T/2. Por exemplo, no caso em que T/2>>t, a condição inicial é v_C(t=T/2)=5 V e (Figura 9.12.c)

T/2<t<T

(9.103)

isto é,

(9.104)

Por outro lado, havendo igualdade T/2=t, a condição inicial é v_c(t=T/2)=5(1-1/e) e, portanto,

T/2<t<T

(9.105)

ou seja (Figura 9.12.d),

(9.106)

Finalmente, sempre que T/2<<t, a condição inicial é v_C(t=T/2) » 5T/(2RC), ou seja, (Figura 9.12.e)

T/2<t<T

(9.107)

isto é,

(9.108)

As expressões (9.106) e (9.108) indicam que o ponto de partida para o próximo troço ascendente (T<t<3T/2) é superior àquele verificado em t=0. Troços ascendentes e descendentes consecutivos tendem inicialmente a deslocar-se no sentido vertical, atingindo todavia um regime de equilíbrio durante o qual os troços ascendentes e descendentes se equivalem. Como se verá de seguida, as oscilações da tensão v_C(t) tendem a efectuar-se em torno da tensão média de 2.5 V.

Considere-se agora o caso de dois intervalos de tempo consecutivos tais que t>>T e t=T/2 (Figura 9.12.g). Quando o equilíbrio é atingido, os troços exponenciais ascendentes e descendentes encontram-se compreendidos entre dois valores limite designados por V_sup e V_inf. Podem então escrever-se as expressões

nT<t<(n+1/2)T

(9.109)

(n+1/2)T<t<(n+1)T

(9.110)

respectivamente para os troços ascendentes e descendentes. Uma vez que no fim de cada um dos troços se verificam as igualdades

(9.111)

(9.112)

podem facilmente obter-se os valores de V_sup e V_inf

(9.113)

cujo valor médio é, como se previu anteriormente, 2.5 V.

Recorrendo a um procedimento semelhante ao apenas utilizado, pode demonstrar-se que no caso em que T/2<<t os valores superior, inferior e médio dos troços são, aproximadamente,

(9.114)

Na Figura 9.12.h representa-se a forma de onda correspondente à expressão (9.114).