Receptor óptimo em presença de ruído aditivo

Como já tivemos oportunidade de referir o filtro desmodulador no bloco receptor, constitui o elemento central do sistema de comunicações pois ele permite realizar, para além da colocação em banda base através de uma deslocação em frequência do sinal à saída do canal de transmissão, duas tarefas essenciais:

• eliminar, ou pelo menos diminuir, a ISI à entrada do amostrador e do decisor trabalhando em conjunto com o filtro emissor e a definição da ``função de pulso''.
• aumentar a relação sinal ruído à entrada do decisor e assim diminuir a probabilidade da escolha de um símbolo errado.

Já vimos igualmente que estas duas tarefas, apesar de não serem completamente contraditórias, necessitam o estabelecimento de um compromisso tendo em conta a complexidade prática dos sistema a implementar. O estudo aprofundado da igualização do canal de transmissão para a diminuição da ISI em canais de banda limitada vai ser deixado para a cadeira de Fundamentos de Telecomunicações II. Após a colocação do sinal em banda base, vamos abordar a questão da maximização da probabilidade de detecção à entrada do decisor assumindo que não existe ISI e que o canal é do tipo ruído aditivo Gaussiano e, nesse caso, vamos determinar qual o receptor óptimo. Veremos então que esse receptor óptimo pode ser implementado através do receptor-correlacionador ou filtro adaptado (matched filter).

Passagem em banda base

O primeiro bloco encontrado à entrada do receptor é o sistema de passagem do sinal recebido em banda base. Esta passagem em banda base é uma tarefa importante pois permite que todas as fases de processmento seguintes tenham lugar a uma velocidade de processamento muito mais baixa, o que trás uma economia de custos e de consumos a todos os níveis. A figura 8.1 mostra três formas clássicas de passagem do sinal recebido em banda base. Na figura 8.1(a) o sinal recebido y(t) mathend000# é primeiramente filtrado com um filtro passa-banda resultando daí  um sinal com duas bandas em torno a $\pm$f_c mathend000# e tem por objectivo eliminar sinais e ruídos que possam existir noutras bandas de frequcia. O bloco seguinte é um phase splitter que, como já foi dito anteriormente, tem por função cortar a parte negativa do espectro sendo que o multiplicador a seguir tem por função fazer o deslocamento em frequência de forma a deslocar o espectro de + f_c mathend000# para zero Hz. Na esquema (b) da mesma figura utiliza-se filtro passa-banda analítico que é o mesmo que dizer, um filtro passa-banda com apenas uma das bandas em torno a mais ou menos f_c mathend000#. Obviamente que este filtro passa-banda analítico é sempre seguido por um multiplicador para efectuar a translação em frequência de f_c mathend000# para zero Hz. Finalmente no esquema (c) utiliza-se uma forma alternativa às anteriores, na qual primeiro o sinal é deslocado de - f_c mathend000# Hz através do multiplicador e só depois é filtrado por um filtro passa-baixo. Este conjunto de operações encontra-se representado de forma esquematizada na figura 8.2. Esta última implementação tem a vantagem de permitir uma execução do filtro mais simples, por este se encontrar já no sinal em banda-base.

Figura 8.1: sistema de passagem em banda base: filtro passa banda -> splitter -> multiplicador (a), filtro-splitter -> multiplicador (b) e multiplicador -> filtro passa baixo (c).

Na prática, se o filtro receptor tiver uma resposta impulsiva f (t) mathend000# contido na banda [- W, W] mathend000#, então o filtro passa-banda deverá tmbém deixar passar uma banda |f|$\le$W mathend000# em torno a $\pm$f_c mathend000#. No caso da figura 8.1(b) o filtro e o phase splitter são agrupados num só bloco resultando num filtro passa banda (chamado filtro passa-banda analítico) de resposta impulsiva (complexa)

$$\sqrt{{2}} \pi$$ (8-1.01)

que só deixa passar as frequências positivas. Pode-se facilmente provar que a estrutura (c) é equivalente às precedentes usando por exemplo a comparação entre (c) e (b), e notando que

e-j$\omega_{c}$t$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}}$$y($$\tau$$)$$\sqrt{{2}}$$f (t-$$\tau$$)ej2$\pi$fc(t-$\tau$)d$$\tau$$	= $$\int_{{-\infty}}^{{\infty}}$$y($$\tau$$)e-j2$\pi$fc$\tau$$$\sqrt{{2}}$$f (t-$$\tau$$)d$$\tau$$
	= (e-j$\omega_{c}$ty(t)) * ($$\sqrt{{2}}$$f (t)).

(8-1.02)

Figura 8.2: operação de pasagem em banda base de um sinal PM seguida de filtragem passa-baixo (caso (c) da figura 8.1).

Até agora apenas temos focado o problema da desmodulação. O sinal obtido depois de passagem em banda base necessita igualmente de filtragem obtendo-se sempre um sinal em banda base. Assume-se que a partir daqui teremos um sistema como o da figura 7.1., composto de um amostrador, de um decisor e de um descodificador até recuperar uma estimativa da trama de bits transmitida. Porém existe uma diferença fundamental decorrente do sistema de modulação/desmodulação que é o facto de que o sinal em banda de base que sai do desmodulador é agora complexo enquanto à partida (no emissor) era real. Este facto irá necessitar no mínimo um amostrador/decisor/descodificador complexo ou então uma separação em quadratura para implementar separadamente a parte real e a parte imaginária.

Para além desta existe uma outra questão que é a do ruído. Vejamos o que se passa à saída Z(t) mathend000# de um filtro/desmodulador se aplicarmos à entrada um ruído branco e Gaussiano de densidade espectral S_N($\omega$) = N₀/2 mathend000#. Consideremos, a título de exemplo, a estrutura da figura 8.1b. A densidade espectral da saída do filtro analítico passa banda é

$$\omega \omega \omega_{c}^{} \vert^{2}_{}$$ (8-1.03)

e em seguida a passagem em banda base implica que

$$\omega \omega \omega_{c}^{} \omega \vert^{2}_{}$$ (8-1.04)

expressão que mais uma vez sugere a diminuição da largura de banda do filtro de recepção para minimizar a potência do ruído na saída.

Equivalente em banda base

Finalmente poderemos dar uma representação equivalente em banda base do transmissor/canal/receptor incluindo a parte de modulação/desmodulação.

Figura 8.3: esquema bloco do sistema equivalente em banda base. Z(t) mathend000# é o ruído n(t) mathend000# depois de filtrado pelo receptor e colocado em banda base.

Este canal equivalente encontra-se representado na figura 8.3 onde a_k mathend000# é a trama de símbolos (complexa) e p(t) mathend000# é o sinal à saída do filtro de recepção sendo todo o bloco emissor/canal/receptor representado por

$$\omega \omega \omega \omega_{c}^{} \omega$$ (8-2.01)

que é uma expressão semelhante ao equivalente banda base já encontrado anteriormente, só com a diferença que agora temos B($\omega$ + $\omega_{c}^{}$) mathend000# em vez de B($\omega$) mathend000# para indicar que se trata das propriedades do canal em torno a $\omega_{c}^{}$ mathend000# e não em banda base e também é preciso notar que as TF^-1 mathend000# das quantidades aqui representadas não são necessariamente funções reais e até na grande maioria dos casos, serão mesmo complexas. Como anteriormente, de forma a evitar/eliminar a ISI, deveremos escolher o filtro de recepção F($\omega$) mathend000# tal que

$$\omega \begin{cases} {{P(\omega)}\over {B(\omega+\omega_c)G(\omega)}... ...omega, ~{\rm quando}~ B(\omega+\omega_c)G(\omega)=0.\end{cases}$$ (8-2.02)

como anteriormente F($\omega$) mathend000# terá um ganho elevado para frequências com fracos valores de B($\omega$ + $\omega_{c}^{}$)G($\omega$) mathend000#, amplificando o ruído.

Será útil determinar a representação discreta equivalente ao total do sistema de comunicação PM em banda passante, eventualmente utilizando a representação em banda base equivalente ao bloco transmissor/canal/receptor (figura 8.3). Esta representação discreta equivalente encontra-se na figura 8.4 que se abstrai de toda a parte modulação/desmodulação incluindo-a num único bloco de entrada A_k mathend000# e saída p_k = p(kT) mathend000#

Figura 8.4: sistema PAM em banda passante: equivalente discreto.

Um receptor simples amostra o sinal à taxa de transmissão (assumida síncrona com o emissor, para simplificar) e compara as amostras obtidas com um nível e, a partir daí,  mathend000#decide qual dos símbolos se encontra presente. Este receptor simples é geralmente longe do óptimo porque ignora o filtro f (t) mathend000#, que deverá ser usado para filtrar as componentes fora da banda do canal de transmissão de forma a minimizar o ruído à entrada do amostrador/decisor. Assim f (t) mathend000# (e de alguma forma também g(t) mathend000#) tem um duplo objectivo: por um lado deverá assegurar uma forma de p(t) mathend000# que satisfaça ''razoavelmente'' o critério de Nyquist e que assegure uma ISI nula (ou baixa) e por outro lado que minimize a taxa de ruído. Estes dois objectivos nem sempre (ou quase nunca) podem ser atingidos a 100% e por vezes o tentar manter uma complexidade aceitável limita o desempenho de f (t) mathend000# de forma a tornar-se necessário encontrar um compromisso entre ISI e relação sinal/ruído à entrada do decisor. O problema coloca-se frequentemente em termos da dupla minimização do ruído e da ISI ou, alternativamente, na minimização do ruído mantendo uma ISI a um nível aceitável.

Podemos então escrever para o sinal p(t) mathend000# à saída do filtro receptor

$$\omega \omega \omega \omega$$ (8-2.03)

e portanto temos que para o filtro F($\omega$) mathend000#

$$\omega \begin{cases} {{P(\omega)}\over {B(\omega)G(\omega)}},& \fora... ... \forall \omega,~{\rm quando}~ B(\omega)G(\omega)=0.\end{cases}$$ (8-2.04)

O facto de forçar F($\omega$) mathend000# a zero para toda uma gama de frequências não é restritivo pois nessa mesma gama de frequências B($\omega$)G($\omega$) = 0 mathend000# o que quer dizer que o sinal à saída seria zero de qualquer forma. Geralmente a forma de G($\omega$) mathend000# é determinada por questões de custo e por isso F($\omega$) mathend000# desempenhará todo o papel na filtragem do ruído e na minimização da ISI. Mais à frente estudaremos quais as implicações do ruído na taxa de erro do decisor, por enquanto não ficaremos surprendidos se admitirmos que a taxa de erro cresce monotonamente com a diminuição da relação sinal/ruído. Retomando a expressão (7-4.29) do sinal q(t) mathend000# à saída do filtro temos que no caso com ISI nula no qual

Q_k = A_k + u_k, (8-2.05)

onde A_k mathend000# é a amostra desejada e u_k mathend000# é o ruído u(t) = f (t)*n(t) mathend000# filtrado e discretizado, de variância $\sigma_{u}^{2}$ mathend000#. Assim podemos escrever a SNR à saída do filtro

$${{E[\vert A_k \vert^2]}\over {\sigma_u^2}}$$ (8-2.06)

É corrente assumir que os símbolos se encontram normalizados, de tal forma que E[|A_k$\vert^{2}_{}$] = 1 mathend000# e por isso temos que

$${1\over {\sigma_u^2}}$$ (8-2.07)

Em resumo, podemos dizer que, tendo fixado a forma do pulso G($\omega$) mathend000#, por um lado F($\omega$) mathend000# terá que compensar (igualizar) o canal B($\omega$) mathend000#, segundo (8-2.4), e por outro terá que diminuir a variância do ruído à sua saída, segundo (8-2.7), de forma a aumentar a relação SNR e assim diminuir a taxa de erro. Como já dissemos estes dois objectivos podem ser contraditórios, o que se pode facilmente perceber, por exemplo, para valores de $\omega$ mathend000# nos quais B($\omega$)G($\omega$) mathend000# tenha valores próximos de 0, e assim F($\omega$) mathend000# tome valores muito elevados para os quais o ruído se encontrará fortemente amplificado à saída aumentando assim a probabilidade de erro. O compromisso ISI vs. SNR é um eterno quebra-cabeças no desenho de equalizadores. Em FTEL II estudaremos um tipo de igualizadores chamado igualizador de Viterbi, para o qual se demonstra que permite minimizar, ou por vezes eliminar, esta amplificação do ruído. Este tipo de igualizadores são altamente não lineares.

Tendo em conta o que foi dito nos últimos capítulos poderemos agora introduzir um novo modelo equivalente ao sistema da figura 7.1 no qual o filtro de transmissão, canal e filtro de recepção se encontram juntos num único bloco caracterizado através da sua entrada, a sequência de símbolos A_k mathend000# e da sua saída p_k mathend000#. Este novo modelo equivalente encontra-se representado na figura 8.5. De notar que visto que tanto a entrada como a saída deste novo filtro são discretos, todo o modelo passa a ser completamente discreto, tanto que

p_k = p(kT) = [g(t) * b(t) * f (t)]_t=kT, (8-2.08)

e a sequência de ruído filtrado (não branco)

u_k = u(kT) = [n(t) * f (t)]_t=kT. (8-2.09)

Figura 8.5: sistema discreto equivalente ao sistema PAM em banda base.

O receptor óptimo

Como já foi dito acima, supôr que o sistema não tem ISI é equivalente a supôr que cada pulso (por exemplo num sistema de modulação PM) é recebido isoladamente e não tem relação com o seguintes, numa palavra, trata-se de um sistema sem memória. De um modo geral o que se pretende é que dado um determinado sinal recebido

r(t) = s_m(t) + w(t), (8-3.01)

onde w(t) mathend000# é o ruído assumido branco, estacionário, Gaussiano de média nula e de variância $\sigma_{w}^{2}$ mathend000#, e cuja versão discreta num determinado intervalo de tempo pode ser escrita sob forma vectorial $\bf r$ = $\bf s_{m}^{}$ + $\bf w$ mathend000#⁷, a probabilidade que seja tomada a decisão correcta, de que o sinal s_m(t) mathend000# se encontra presente, seja máxima. Vamos notar essa probabilidade como P[$\bf s_{m}^{}$|$\bf r$] mathend000# que, por palavras é a probabilidade condicional para que o sinal $\bf s_{m}^{}$ mathend000# seja escolhido quando o sinal $\bf r$ mathend000# é observado sabendo que $\bf s_{m}^{}$ mathend000# foi emitido. Esta probabilidade é normalmente designada por probabilidade à posteriori. O critério que consiste em maximizar a probabilidade à posteriori (e que veremos corresponde a minimizar a probabilidade de erro) é denomidado o maximum a posteriori probability (MAP) criterium. Utilizando a lei de Bayes podemos escrever

$$\bf s_{m}^{} \bf r {{P[{\bf r} \vert {\bf s}_m] P[{\bf s}_m]}\over {P[{\bf r}]}}$$ (8-3.02)

onde P[$\bf r$|$\bf s_{m}^{}$] mathend000# é a probabilidade condicional de receber a sequência $\bf r$ mathend000# condicionada no sinal $\bf s_{m}^{}$ mathend000#. Por oposição, P[$\bf s_{m}^{}$] mathend000# que é a probabilidade do sinal s_m(t) mathend000#, é normalmente denominada probabilidade à priori. A resolução do problema requer o conhecimento da probabilidade à priori P[$\bf s_{m}^{}$] mathend000#. No caso de sinais equiprováveis (frequente na prática), onde P[$\bf s_{m}^{}$] = 1/M;m = 1,..., M mathend000#, substituindo em (8-3.2) permite obter

$$\bf s_{m}^{} \bf r {1\over M} {{P[{\bf r} \vert {\bf s}_m]}\over {P[{\bf r}]}}$$ (8-3.03)

de onde se vê que o problema de encontrar $\bf s_{m}^{}$ mathend000# que maximiza a probabilidade à posteriori é idêntico ao de maximizar a densidade de probabilidade condicional P[$\bf r$|$\bf s_{m}^{}$] mathend000#, dado que P[$\bf r$] mathend000# não depende de $\bf s_{m}^{}$ mathend000#. É interessante verificar que o critério MAP conduz à maximização da mesma densidade de probabilidade do máximo de verosímilhança, neste sentido P[$\bf r$|$\bf s_{m}^{}$] mathend000# é denominada função de verosímilhança (ou likelihood function). A maximização da função de verosimilhança conduz ao critério de máxima verosímilhança (maximum likelihood (ML) criterion). Neste caso, no qual os sinais $\bf s_{m}^{}$ mathend000# são equiprováveis, os critérios MAP e ML conduzem ao mesmo resultado. Considerando que o ruído aditivo introduzido pelo canal segue uma distribuição gaussiana, podemos notar que cada amostra r_k mathend000# do sinal r(t) mathend000# tem média s_mk mathend000# dado que o ruído é de média nula. Assim a probabilidade da amostra recebida no instante k mathend000# escreve-se⁸ como a densidade de probabilidade marginal

$${1\over {\sqrt{\pi \sigma^2}}} \left[\vphantom{- {{\vert r_k-s_{mk}\vert^2}\over {\sigma^2}} }\right. {{\vert r_k-s_{mk}\vert^2}\over {\sigma^2}} \left.\vphantom{- {{\vert r_k-s_{mk}\vert^2}\over {\sigma^2}} }\right]$$ (8-3.04)

onde $\sigma^{2}_{}$ = 2$\sigma_{w}^{2}$ mathend000#. Notando que $\bf r$ mathend000# é formado por N mathend000# amostras não correlacionadas, podemos escrever a densidade de probabilidade conjunta do vector $\bf r$ mathend000# como o produto das densidades de probabilidade marginais,

$$\bf r \bf s_{m}^{} \prod_{{k=1}}^{N}$$ =

$${1\over {(\pi \sigma^2)^{N/2}}} \left[\vphantom{- \sum_{k=1}^N {{(r_k-s_{mk})^2}\over {\sigma^2}} }\right. \sum_{{k=1}}^{N} {{(r_k-s_{mk})^2}\over {\sigma^2}} \left.\vphantom{- \sum_{k=1}^N {{(r_k-s_{mk})^2}\over {\sigma^2}} }\right]$$ = (8-3.05)

A partir deste ponto torna-se conveniente escrever a função de verosímilhança utilizando uma função monótona da densidade de probabilidade como por exemplo o logaritmo. O logaritmo de (8-3.5) é frequentemente chamada log-likelihood function) e é uma forma clássica de ultrapassar o problema colocado pela maximização da exponencial. A partir da equação precedente temos que o log da função de verosímilhança se pode escrever

$$\bf r \bf s_{m}^{} {N\over 2} \pi \sigma^{2}_{} {1\over {\sigma^2}} \sum_{{k=1}}^{N}$$ =

$${N\over 2} \pi \sigma^{2}_{} {1\over {\sigma^2}} \bf r \bf s_{m}^{}$$ = (8-3.06)

onde foi utilizado o facto de que a norma de um vector, isto é, o seu comprimento é simplesmente igual à soma dos quadrados das suas coordenadas. No segundo membro de (8-3.6) o primeiro termo é constante, independente de $\bf s_{m}^{}$ mathend000# e pode ser descartado. A maximização da expressão em relação a $\bf s_{m}^{}$ mathend000#, é equivalente à minimização do segundo termo, por causa do sinal - antes do somatório. Este segundo termo escreve-se (deprezando a constante multiplicativa),

$$\bf r \bf s_{m}^{} \bf r \bf s_{m}^{}$$ =

$$\bf r \vert^{2}_{} \bf r \bf s_{m}^{} \bf s_{m}^{} \vert^{2}_{}$$ = (8-3.07)

sendo que o primeiro termo do segundo membro também não depende de $\bf s_{m}^{}$ mathend000# e mais uma vez a minimização de C($\bf r$,$\bf s_{m}^{}$) mathend000# é equivalente à maximização de C'($\bf r$,$\bf s_{m}^{}$) mathend000# dada por

$$\bf r \bf s_{m}^{} \bf r \bf s_{m}^{} \bf s_{m}^{} \vert^{2}_{}$$ (8-3.08)

onde {$\bf r$ ^. $\bf s_{m}^{}$;m = 1,..., M} mathend000# é o produto escalar entre os dois vectores $\bf r$ mathend000# e $\bf s_{m}^{}$ mathend000# para todos os valores de m mathend000# ou, por outras palavras, a projecção de $\bf r$ mathend000# no sub espaço vectorial gerado pelos vectores {$\bf s_{m}^{}$;m = 1,..., M} mathend000# e onde o segundo termo |$\bf s_{m}^{}$$\vert^{2}_{}$ mathend000# representa a energia contida em cada um dos sinais s_m(t) mathend000#. O valor de cada uma destas projecções pode ser visto como a correlação entre o sinal recebido r(t) mathend000# e cada um dos possíveis sinais emitidos s_m(t) mathend000#, e assim C' mathend000# pode ser dado por um (chamado) receptor-correlacionador

$$\bf r \bf s_{m}^{} \int_{0}^{T} \mathcal {E}$$ (8-3.09)

onde a função de correlação é calculada para o ponto $\tau$ = 0 mathend000# e em seguida é selecionado o sinal s_m mathend000# para o qual C($\bf r$,$\bf s_{m}^{}$) mathend000# é máximo. O receptor óptimo correspondente encontra-se representado na figura 8.6.

Figura 8.6: receptor correlacionador para M mathend000# sinais {s_m(t);m = 1,..., M} mathend000#.

O filtro adaptado como receptor óptimo

A maximização da relação sinal/ruído à saída de um filtro é um problema clássico em teoria do sinal e pode ser transposto para o caso da recepção de mensagens num sistema de comunicações considerando primeiramente que: o sistema se encontra em banda base (ou seu equivalente) e que apenas um símbolo é transmitido, o que significa que não existe ISI. O sinal recebido pode ser então

y(t) = A₀h(t) + n(t), (8-4.01)

onde A₀ mathend000# é o símbolo transmitido, h(t) mathend000# é a forma de pulso depois de passada no canal e n(t) mathend000# é o ruído suposto aditivo branco e Gaussiano. Neste caso o sinal à saída do filtro de recepção de resposta impulsiva f (t) mathend000# escreve-se

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau$$ (8-4.02)

O sinal q(t) mathend000# encontra-se depois amostrado ao instante t = 0 mathend000# (para retirar o símbolo A₀ mathend000#) e então

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau$$ (8-4.03)

Substituindo agora (8-4.1) em (8-4.3) temos

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau$$ (8-4.04)

na qual o primeiro termo corresponde ao sinal e o segundo corresponde ao ruído. Intuitivamente o desempenho do nosso decisor será tanto melhor quanto maior for o primeiro termo em relação ao segundo, i.e., quanto maior for a relação SNR à saída do filtro⁹. Esta relação SNR escreve-se

$${{\rm energia~sinal}\over {\rm energia~ruido}}$$ SNR_out =

$${E_s\over E_{n_o}}$$ = (8-4.05)

onde ambas as energias são medidas à saída do filtro. A energia do sinal E_s mathend000# é dada pelo valor esperado do primeiro termo de do segundo membro de (8-4.4), i.e.,

$$\left[\vphantom{A_0\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) f(-\tau) d\tau}\right. \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau \left.\vphantom{A_0\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) f(-\tau) d\tau}\right]$$ E_s =

$$\sigma_{A}^{2} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau \vert^{2}_{}$$ = (8-4.06)

enquanto a energia do ruído (suposto estacionário e ergódico) à saída do filtro, E_no mathend000#, é dada pelo valor da função de autocorrelação no ponto $\tau$ = 0 mathend000# por (2-3.12) onde a densidade espectral de potência é dada segundo (2-3.18) por

$$\vert^{2}_{}$$ (8-4.07)

e assim a energia do ruído de saída escreve-se

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \vert^{2}_{}$$ (8-4.08)

onde < . > mathend000# indica média temporal e onde o ruído branco P_n(f )= cte = N₀ mathend000# e por isso, utilizando de novo o teorema de Parseval

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau$$ (8-4.09)

Substituindo (8-4.6) e (8-4.9) em (8-4.5) o problema agora é determinar de forma única o filtro f (t) mathend000# que maximize

$${\displaystyle {\sigma_A^2 \vert \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)f... ...\tau\vert^2} \over \displaystyle {N_0 \int_{-\infty}^{\infty} f^2(\tau) d\tau}}$$ (8-4.10)

A demonstração mais simples passa pela utilização da desigualdade de Schwartz que diz que

$$\int_{a}^{b} \vert^{2}_{} \le \left[\vphantom{ \int_a^b \vert g_1(x)\vert^2 dx }\right. \int_{a}^{b} \vert^{2}_{} \left.\vphantom{ \int_a^b \vert g_1(x)\vert^2 dx }\right] \left[\vphantom{ \int_a^b \vert g_2(x)\vert^2 dx }\right. \int_{a}^{b} \vert^{2}_{} \left.\vphantom{ \int_a^b \vert g_2(x)\vert^2 dx }\right]$$ (8-4.11)

onde a igualdade só é verificada quando g₂(x) = Kg₁(x) mathend000#, K mathend000# constante. Portanto, utilizando (8-4.11) no numerador de (8-4.10) chegamos à conclusão que

$${\displaystyle {\sigma_A^2 \vert \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)f... ...\tau\vert^2} \over \displaystyle {N_0 \int_{-\infty}^{\infty} f^2(\tau) d\tau}} \le {\displaystyle {\sigma_A^2 \int_{-\infty}^{\infty} \vert h(\tau)\... ... \over \displaystyle {N_0 \int_{-\infty}^{\infty} \vert f(\tau) \vert^2 d\tau}}$$ (8-4.12)

onde a igualdade só é verificada (e por isso o valor máximo do SNR) quando

f (t) = Kh(- t). (8-4.13)

Este valor do filtro f (t) mathend000# é chamado filtro adaptado ou matched filter. Mais, quando f (t) mathend000# é o matched filter então obtemos o valor máximo do SNR que é

$${{\sigma_A^2\sigma_h^2}\over {N_0}}$$ (8-4.14)

onde $\sigma_{h}^{2}$ mathend000# é a energia na função de pulso recebida

$$\sigma_{h}^{2} \int_{{-\infty}}^{{\infty}} \vert^{2}_{}$$ (8-4.15)

O matched filter tem como resposta impulsiva a forma do sinal de entrada revertida no tempo (time-reversed), h(- t) mathend000# e a sua TF é H ^* ($\omega$) mathend000# isto é o conjugado da forma do sinal de entrada. Podemos assim perceber que a resposta do filtro adaptado igualiza (ou compensa) exactamente a fase do sinal de entrada resultando numa saída que é real e igual a |H($\omega$)$\vert^{2}_{}$ mathend000#. O valor do sinal de saída do filtro adaptado escreve-se a partir de (8-4.3) como

$$\int_{{-\infty}}^{{\infty}} \tau \tau \tau$$ (8-4.16)

o que não é mais do que o valor da função de correlação entre a entrada e a forma de pulso esperada para o instante t = 0 mathend000#. Por isso filtro adaptado é por vezes também chamado receptor-correlador.

Demonstrámos que o filtro adaptado constitui o receptor óptimo de um único impulso em ruído branco e Gaussiano. Este resultado pode ser facilmente generalizado ao caso de uma sucessão de impulsos desde que não exista ISI. Para que tal aconteça é necessário e suficiente que cada impulso h(t) mathend000# do sinal recebido esteja contido num e só num intervalo de símbolo.

O receptor óptimo em banda base

Sinalização em banda base

A transmissão de uma trama de bits requer, a escolha dos sinais representativos dos símbolos '0' e '1' - chama-se a isto o processo de sinalização. Vamos supôr que é feita a seguinte sinalização

$$\rightarrow$$ 0 s₀(t)

$$\rightarrow$$ 1 s₁(t)

no intervalo 0$\le$t$\le$T_b mathend000# onde T_b mathend000# é o intervalo de amostragem da trama de bits, i.e., T_b = 1/f_b mathend000#, onde f_b mathend000# é a cadência de amostragem da trama de bits. A sequência temporal obtida é modulada, transmitida e na recepção deverá ser efectuada uma detecção, de cada sinal s_i(t) mathend000# enviado e a ele associado um bit i mathend000#. Vamos supôr que o canal de transmissão é de tipo aditivo e que o ruído pode ser representado por uma sequência aleatória estacionária, branca, Gaussiana e de média nula. Assim, o sinal recebido y(t) mathend000# pode-se escrever

y(t) = s_i(t) + n(t), (8-5.01)

O problema no receptor consiste em, com o mínimo erro possível, e partindo de {y(t), 0$\le$t$\le$T_b} mathend000# determinar se um bit '0' ou um bit '1' foi emitido.

O receptor correlacionador

No caso do problema exposto acima, o receptor óptimo é o receptor-correlacionador ou 'matched-filter'. O receptor-correlacionador é constituido por dois blocos: um multiplicador e um integrador. O receptor-correlacionador (que no caso binário é constituido por dois correlacionadores) implementa a seguinte operação no sinal de entrada

$$\int_{0}^{t} \tau \tau \tau \le \le$$ (8-5.02)

Quando o sinal s₀(t) mathend000# é transmitido obtem-se

r₀(t) = A + n₀

r₁(t) = A₁₂ + n₁, (8-5.03)

e quando s₁(t) mathend000# é transmitido

r₀(t) = A₁₂ + n₀

r₁(t) = A + n₁, (8-5.04)

onde se supõe

$$\int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}}$$ (8-5.05)

e ainda que

$$\int_{0}^{{T_b}}$$ (8-5.06)

Dado que n(t) mathend000# é uma sequência aleatória, branca, Gaussiana de média nula e de variância $\sigma^{2}_{}$ mathend000#, temos que n_i mathend000# será também branca e Gaussiana com média

$$\int_{0}^{{T_b}}$$ (8-5.07)

e variância

$$\sigma_{i}^{2}$$ = E[n_i²]

$$\int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}} \tau \tau \tau$$ =

$$\sigma^{2}_{} \int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}} \tau \delta \tau \tau$$ =

$$\sigma^{2}_{} \int_{0}^{{T_b}}$$ =

$$\sigma^{2}_{}$$ = (8-5.08)

e assim, temos que as densidades de probabilidade de r₀ mathend000# e r₁ mathend000# quando, por exemplo s₀(t) mathend000# é transmitido, se escrevem

$${1\over {\sqrt {2\pi A}\sigma}} \sigma^{2}_{}$$ p(r₀/s₀) =

$${1\over {\sqrt {2\pi A}\sigma}} \sigma^{2}_{}$$ p(r₁/s₀) =

respectivamente, e que estão representadas na figura 8.7.

Figura 8.7: densidades de probabilidade para r₀ mathend000# e r₁ mathend000# quando s₀(t) mathend000# é transmitido e com A₁₂ mathend000#=0.25, A = 1 mathend000# e $\sigma^{2}_{}$ mathend000#=0.05.

Obviamente no caso contrário, em que s₁(t) mathend000# é transmitido, temos que r₀ mathend000# terá média A₁₂ mathend000# e r₁ mathend000# média A, sendo ambas as distribuições de variância $\sigma^{2}_{}$A mathend000#.

O filtro adaptado (matched-filter)

O filtro adaptado do sinal {s(t), 0$\le$t$\le$T_b} mathend000# é um sistema cuja resposta impulsiva é s(T_b - t) mathend000#. Assim, a resposta do filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000# é a convolução de s(t) mathend000# com s(T_b - t) mathend000#, i.e.,

$$\int_{0}^{t} \tau \tau \tau$$ x(t) =

$$\int_{0}^{t} \tau \tau \tau$$ = (8-5.09)

Se a saída de x(t) mathend000# for amostrada no instante T_b mathend000#, temos que

$$\int_{0}^{{T_b}} \tau \tau$$ (8-5.10)

podendo-se concluir que a saída do filtro adaptado amostrado à cadência da trama de bits é igual à saída do receptor-correlacionador.

O detector

O detector é um dispositivo que observa a saída do receptor-correlacionador ou filtro adaptado e decide qual dos dois símbolos, '0' ou '1', foi transmitido. Pretende-se, obviamente, que este processo de decisão tenha o menor erro possível. A probabilidade de erro, P_e mathend000#, quando p.ex. s₀ mathend000# é transmitido, escreve-se como sendo a probabilidade de decidir que s₁(t) mathend000# foi recebido quando na realidade foi s₀(t) mathend000#, assim podemos dizer que

P_e = Prob(r₁ > r₀) = Prob(n₁ + A₁₂ > A + n₀) = Prob(n₁ - n₀ > A - A₁₂), (8-5.11)

e como n₁ mathend000# e n₀ mathend000# são variáveis aleatórias Gaussianas, de média nula, a sua diferença, x = n₁ - n₀ mathend000# também é Gaussiana de média nula. A variância de x mathend000# pode-se calcular através de

E[x²] = E[(n₁ - n₀)²] = E[n₁²] + E[n₂²] - 2E[n₁n₀], (8-5.12)

onde E[n_i²] = A$\sigma^{2}_{}$ mathend000# e

$$\int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}} \tau \tau \tau$$ E[n₁n₀] =

$$\sigma^{2}_{} \int_{0}^{{T_b}} \int_{0}^{{T_b}} \tau \delta \tau \tau$$ =

$$\sigma^{2}_{} \int_{0}^{{T_b}}$$ =

$$\sigma^{2}_{}$$ = (8-5.13)

Finalmente

$$\sigma_{x}^{2} \sigma^{2}_{}$$ (8-5.14)

de onde, utilizando (8-5.11), podemos escrever a probabilidade de erro como

P_e = Prob(x > A - A₁₂) (8-5.15)

onde X = n₁ - n₀ mathend000#. Dado que n₁ mathend000# e n₀ mathend000# são distribuídos de acordo com uma lei Normal de média nula e de mesma variância $\sigma^{2}_{}$ mathend000#, então X mathend000# também vai seguir uma lei Normal de média nula e de variância $\sigma_{x}^{2}$ = 2$\sigma^{2}_{}$ mathend000#. Assim podemos escrever

$${1\over {{\sqrt {2\pi}}\sigma_x}} \int_{{A-A_{12}}}^{{+\infty}} \sigma_{x}^{2}$$ (8-5.16)

fazendo a mudança de variável u = x/$\sigma_{x}^{}$ mathend000# obtemos

$${1\over {\sqrt {2\pi}}} \int_{{\sqrt {{A-A_{12}}\over {2\sigma^2}}}}^{{+\infty}} \Bigl( \sqrt{{{A-A_{12}}\over {2\sigma^2}}} \Bigr)$$ (8-5.17)

onde Q( ^. ) mathend000# é a função ``cauda de Gauss'', normalmente chamada Q function (Matlab qfunc) e que é definida por

$${1\over {2\pi}} \int_{x}^{{+\infty}}$$ (8-5.18)

Para os valores de A₁₂ mathend000#, A mathend000# e $\sigma^{2}_{}$ mathend000# da figura 8.7 a probabilidade de erro toma o valor P_e = 0.0013 mathend000#. É comum representar-se o desempenho de um sistema de comunicação como a taxa de erro por bit (BER bit error rate) em função da relação sinal ruído por bit (signal to noise ratio per bit - SNRB). A SNRB é normalmente definida como sendo a energia contida num bit ( $\mathcal {E}$_b mathend000#) dividida pela energia do ruído. Assim para o caso ASK (ou PAM)

$${{\int_0^{T_b} \vert g(t) \vert^2 dt}\over {2\sigma^2}}$$ (8-5.19)

onde o factor 2 é devido à relação (2-2.62). A figura 8.8 representa a BER (em dB) em função da SNRB para o caso binário com sinais não ortogonais nem antipodais.

Figura 8.8: taxa de erro de bit (BER) em função da relação sinal ruído por bit (SNRB) em dB para o caso binário (M mathend000#=2), sinais não ortogonais nem antipodais e nas condições da figura 8.7.

Sinais ortogonais, antipodais e on-off

No processo de sinalização vários conjuntos de sinais podem ser utilizados e as características dos receptor-correlacionador/matched-filter serão em cada caso diferentes. Dois sinais s₀(t) mathend000# e s₁(t) mathend000# são ditos ortogonais no intervalo [0, T] mathend000# se

$$\int_{0}^{T}$$

Dois sinais são ditos antipodais se

$$\le \le$$

O tipo de codificação on-off é tal que, p.ex., sejam associados os seguintes sinais

$$\rightarrow$$ 0 sem sinal

$$\rightarrow$$ 1 s(t),

o que significa que o sinal recebido é do tipo

$$\begin{cases} n(t) & {\rm um~0~foi~transmitido}\\ s(t)+n(t) & {\rm um~1~foi~transmitido.}\end{cases}$$ (8-5.20)

Se um sistema de transmissão utilizar sinais ortogonais temos que A₁₂ = 0 mathend000# o que implica que as médias das densidades de probabilidade p(r₁/s₀) mathend000# e p(r₀/s₁) mathend000# são ambas nulas. No caso dos sinais antipodais temos que essas mesmas densidades são de média - A mathend000# e por isso a diferença média entre as duas densidades é aumentada. As funções de erro são modificadas da mesma forma.

Se em vez disso utilizarmos uma sinalização on-off, temos que as distribuições são semelhantes às do caso dos sinais ortogonais, a probabilidade de erro é portanto mais elevada do que no caso antipodal mas temos a considerar que existe um ganho de 2 na potência a transmitir, visto que só é transmitido um sinal em cada 2 bits, em média se um bit '0' tiver a mesma probabilidade que um bit '1'.

Sinalização multinível

A técnica mais utilizada em transmissão de informação através de modulação de impulsos (PM), é chamada sinalização multinível e tem como particularidade utilizar uma única forma de impulso que toma um nível diferente (dentro de um número de níveis finito possíveis) para cada símbolo a transmitir. No caso geral temos um sinal do tipo

$$\le \le$$ (8-5.21)

onde as amplitudes A_m mathend000# são dadas por

g(t) mathend000# é um impulso rectangular e o número de níveis M mathend000# é dado por M = 2^k mathend000#, k mathend000# inteiro. O período T_s mathend000# é geralmente chamado taxa de símbolo (ou symbol rate) enquanto a taxa de bit (ou bit rate) T_b mathend000# é dada por T_b = T/k mathend000#, i.e., a sinalização multiníveis permite enviar k mathend000# vezes mais informação do que um método de sinalização binário. O que nos interessa aqui porém, é a forma do sistema detector óptimo, se ele existe. Na verdade existe, pelo menos para o caso de ruído branco e Gaussiano, e é dado pelo receptor-correlacionador tal como no caso do nível simples. É fácil de provar que a saída do receptor-correlacionador para o sinal de nível s_i(t) mathend000# é

r(t) = A_i + n(t), (8-5.22)

enquanto a densidade de probabilidade se escreve

$${1\over {\sqrt{2\pi} \sigma}} \sigma^{2}_{}$$ (8-5.23)

onde A_i mathend000# é um dos valores de entre os M mathend000# possíveis. Prova-se neste caso que a probabilidade de erro do detector óptimo de M mathend000# níveis se escreve

$${{2(M-1)}\over M} \Bigl[ \sqrt{{{(6\log_2 M) A_{avg}}\over {(M^2-1)\sigma^2}}} \Bigr]$$ (8-5.24)

onde A_avg mathend000# é a energia média de um bit de informação. A curva da BER em função da SNRB encontra-se na figura 8.9.

Figura 8.9: taxa de erro de bit (BER) em função da relação sinal ruído por bit (SNRB) em dB para ASK e vários valores de M mathend000#.

Resumo do capítulo 8:

O receptor é abordado do ponto de vista do seu carácter óptimo, começando pelo desmodulador , depois pela representação em banda base. A derivação formal do receptor óptimo a partir da maximização da probabilidade à posteriori (MAP) de obter um determinado sinal em ruído Gaussiano aditivo, sabendo que ele foi emitido, leva directamente ao receptor - correlacionador. Desmonstra-se ainda que o resultado é idêntico aquele obtido pelo critério de máxima verosimílhança (ML) - no caso Gaussiano. Por último demonstra-se que o mesmo resultado pode ser obtido / implementado por um filtro adaptado que ele é indenpendente da distribuição do ruído. Finalmente estabelece-se um caso de aplicação simples (depois revisto em TP) a partir da sinalização - ortogonal, antipodal e on-off - o receptor óptimo, densidade de probabilidade de detecção e de erro para cada caso.