10.3 Solução Natural

10.3.1 Soluções Naturais Alternativas

A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.43)

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente,

(10.44)

(10.45)

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem.

As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (a >w_o); reais e iguais (a =w_o); complexas conjugadas(a <w_o); ou imaginárias puras (a =0).

(a) sobre-amortecida

(b) criticamente amortecida

(d) oscilatória

Figura 10.8 Soluções naturais alternativas

Por conseguinte, a solução natural da equação diferencial pode apresentar uma de quatro formas básicas, a saber (ver Figura 10.8):

(i) sobre-amortecida (a >w_o), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura 10.8.a),

(10.46)

em que, e A₁ e A₂ são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de continuidade;

(ii) criticamente amortecida (a =w_o), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função linear (Figura 10.8.b),

(10.47)

(iii) sub-amortecida (a <w_o), constituída em particular pelo somatório de duas exponenciais complexas conjugadas (Figura 10.8.c),

(10.48)

(iv) oscilatória (a=0), dada pelo somatório de duas exponenciais imaginárias puras (Figura 10.8.d),

(10.49)

e à qual correspondem oscilações sinusoidais de frequência w_o.

A distinção entre as diversas soluções alternativas pode ser efectuada com base apenas no cociente

(10.50)

designado por factor de qualidade. De acordo com esta definição, as quatro soluções alternativas caracterizam-se pelos seguintes factores de qualidade:

(i) sobre-amortecida: a >w_o Û 0<Q<0.5;

(ii) criticamente-amortecida: a =w_o Û Q=0.5;

(iii) sub-amortecida: a <w_o Û Q>0.5;

(iv) oscilatória: a=0 Û Q=¥ .

10.3.2 Solução Sobre-amortecida

Considere-se o circuito RLC-série representado na Figura 10.9,

Figura 10.9 Solução natural sobre-amortecida

em conjunto com as equações diferenciais de 2.ª ordem que governam a tensão aos terminais do condensador, v_C(t), e a corrente na bobina, i_L(t),

(10.51)

(10.52)

respectivamente. Admita-se ainda que o factor de qualidade do circuito é inferior a 1/2,

(10.53)

isto é, que as raízes do polinómio característico são reais, negativas e distintas

(10.54)

A dinâmica da tensão aos terminais do condensador tem a forma

(10.55)

cujas constantes A₁ e A₂ são determinadas por imposição das condições inicial e de continuidade das energias armazenadas no condensador e na bobina,

(10.56)

ou seja,

(10.57)

Na Figura 10.9 representa-se a solução natural sobre-amortecida de um circuito RLC-série (as duas curvas ilustradas referem-se a valores distintos do factor de qualidade, admitindo sempre nula a corrente inicial na bobina, i_L(0)=0).

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

10.3.3 Solução Criticamente Amortecida

Considere-se de novo o circuito RLC-série e admita-se que os parâmetros R, L e C são tais que o factor de qualidade do circuito é Q=1/2, ou seja,

(10.58)

As raízes do polinómio característico são reais, negativas e iguais,

(10.59)

e a tensão aos terminais do condensador é

(10.60)

cujas constantes A₁ e A₂ verificam as relações

(10.61)

de onde resultam as igualdades

(10.62)

Na Figura 10.10 representa-se a solução natural de um circuito RLC-série criticamente amortecido (as curvas representadas referem-se a pares distintos de condições iniciais, ).

Figura 10.10 Solução natural criticamente amortecida

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

10.3.4 Solução Sub-amortecida

A solução natural sub-amortecida caracteriza-se pela relação a <w_o, portanto Q>0.5,

(10.63)

à qual correspondem as raízes complexas conjugadas

(10.64)

Considerando o mesmo circuito RLC-série dos exemplos anteriores, verifica-se então que a tensão aos terminais do condensador é expressa por

(10.65)

ou, em alternativa,

(10.66)

em que A₁e A₂, ou A₃ e q, se obtêm a partir das condições iniciais no condensador e na bobina. Conforme se ilustra na Figura 10.11, a solução (10.66) apresenta oscilações de frequência angular w_d=(w_o²-a²)^1/2.

Figura 10.11 Solução natural sub-amortecida

As condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina permitem determinar as constantes A₁ e A₂ em (10.65) ou, em alternativa, as constantes A₃ e q em (10.66). Por exemplo, as constantes A₃ e q obtém-se a partir do sistema de equações

(10.67)

cuja solução é

(10.68)

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

10.3.5 Solução Oscilatória

No regime oscilatório as raízes do polinómio característico da equação diferencial são imaginárias puras

(10.69)

verificando-se em particular R=0, a=0 e Q=¥ . A solução é expressa pelo somatório de duas exponenciais complexas

(10.70)

que também se podem escrever na forma

(10.71)

Por exemplo, no caso das constantes A₃ e q, verifica-se que

(10.72)

de onde resultam

(10.73)

Na Figura 10.12 representam-se duas soluções oscilatórias possíveis, correspondentes a condições iniciais distintas.

Figura 10.12 Solução natural oscilatória

A solução oscilatória apresenta diversas particularidades cuja importância convém desde já referir: as oscilações mantêm-se com amplitude constante ao longo de um intervalo de tempo indefinido, o que permite classificar este circuito como um oscilador sinusoidal; a energia é trocada entre o condensador e a bobina. Com efeito, se se calcular a corrente na bobina,

(10.74)

verifica-se que a energia armazenada no condensador

(10.75)

e a energia armazenada na bobina

(10.76)

somam um valor constante

(10.77)

Os pontos de máximo da energia armazenada no condensador coincidem com os pontos de mínimo (zero) da energia acumulada na bobina, e vice-versa.