10.2

Formulação das Equações

(i) representação na forma de uma equação diferencial linear escalar de 2.ª ordem

(10.1)

em que a e w_o² são duas constantes designadas por coeficiente de amortecimento e frequência angular de oscilação, f(t) representa o termo forçado pelas fontes independentes do circuito e x(t) define a variável (tensão ou corrente) cuja dinâmica se pretende estabelecer;

(ii) representação na forma de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem,

(10.2)

designadas no conjunto por equações de estado do circuito. Neste caso, x₁(t) e x₂(t) representam as variáveis associadas à energia nos elementos condensador e bobina, respectivamente a tensão e a corrente, f₁(t) e f₂(t) constituem o vector dos termos forçados pelas fontes independentes no circuito e, finalmente, a matriz A representa a topologia do circuito considerado. A forma (10.2) transporta consigo o potencial da simulação numérica da dinâmica temporal de um circuito.

As equações (10.1) e (10.2) podem ser obtidas por intermédio de três métodos alternativos: o método da substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. De seguida exemplifica-se a aplicação de cada um destes métodos alternativos a diversos circuitos de 2ª ordem.

Figura 10.3 Representações simplificadas de quatro circuitos de 2.ª ordem

10.2.1 Método da Substituição

O método da substituição é geralmente utilizado na análise de circuitos de reduzida complexidade. Dois exemplos de circuitos deste tipo são as redes representadas na Figura 10.4.

Figura 10.4 Aplicação do método da substituição

Considere-se então o circuito RLC-série sem fontes independentes representado na Figura 10.4.a. A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha do circuito permite escrever a igualdade

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, se pode reescrever como

(10.4)

em que i(t) e v_C(t) definem, respectivamente, a corrente na bobina (e no condensador) e a tensão no condensador. No entanto, por substituição da característica tensão-corrente do condensador, i(t)=Cdv_C(t)/dt, obtém-se

(10.5)

ou ainda

(10.6)

Caso o objectivo da análise consistisse na determinação da equação diferencial que governa a corrente na bobina, i_L(t), então a passagem entre as equações (10.4) e (10.5) deveria ter sido efectuada recorrendo à característica inversa do condensador,

(10.7)

isto é, através da escrita de (10.4) na forma (i_L=i_C=i)

(10.8)

Neste caso, a aplicação do operador derivada às partes esquerda e direita da igualdade (10.8)

(10.9)

conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.10)

cuja forma é idêntica àquela estabelecida anteriormente para a tensão aos terminais do condensador.

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se neste método os seguintes passos:

(i) obtenção de uma equação que contém as variáveis relativas aos dois elementos armazenadores de energia, designadamente a tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina;

(ii) substituição da variável não desejada, neste caso recorrendo às características tensão-corrente do condensador ou da bobina;

(iii) quando necessário, derivação de ambos os termos da equação diferencial de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem.

Considere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 10.4.b e admita-se que se pretende determinar a equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v_C(t). A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X permite escrever a igualdade

(10.11)

ou seja,

(10.12)

Neste caso, a substituição da característica tensão-corrente da bobina

(10.13)

permite rescrever (10.12) na forma

(10.14)

que, após derivação, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.15)

10.2.2 Método do Operador-s

O método do operador-s pode ser aplicado a dois níveis essencialmente distintos: ao nível do sistema de equações resultante da aplicação do método dos nós ou das malhas, ou directamente ao nível das características tensão-corrente dos elementos condensador e bobina.

Considere-se o circuito RLC representado na Figura 10.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar a equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v_C(t).

Figura 10.5 Aplicação do método do operador-s

A análise deste circuito pode ser feita com base no método das malhas, útil por exemplo para determinar as correntes no condensador e na bobina, ou por intermédio do método dos nós (Figura 10.5.b). Neste último caso, a aplicação sucessiva da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as igualdades

(10.16)

que, por substituição das relações v₁(t)=v_L(t)=Ldi_L(t)/dt e v₂(t)=v_C(t), conduzem ao sistema de duas equações diferenciais de 1.ª ordem

(10.17)

O método do operador-s consiste basicamente em substituir o operador derivada por uma variável algébrica

(10.18)

seguido da resolução do sistema de equações e da reconversão da variável algébrica no operador derivada de acordo com a regra

(10.19)

No caso particular do sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, expresso em (10.17),

(10.20)

cuja representação sob a forma matricial é

(10.21)

A resolução do sistema de equações em ordem à variável v_C conduz à expressão

(10.22)

ou seja,

(10.23)

Assim, a reconversão da variável algébrica no operador derivada conduz à equação diferencial de 2ª ordem

(10.24)

cuja forma canónica é

(10.25)

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se no método do operador-s os seguintes cinco passos:

(i) obtenção de um sistema de equações diferenciais em função da tensão no condensador, da corrente na bobina e das respectivas derivadas;

(ii) conversão do operador derivada numa variável algébrica, d/dt® s;

(iii) resolução do sistema de equações algébricas em ordem à variável desejada;

(iv) rearranjo da expressão na forma xD(s) =N(s), em que x representa a variável desejada;

(v) e, finalmente, reconversão da variável algébrica s no operador derivada de acordo com a regra s^k® d^k/dt^k.

Uma metodologia alternativa à apenas descrita consiste em converter o operador derivada na variável algébrica directamente ao nível das características tensão-corrente dos elementos condensador e bobina. Com efeito, uma vez que

(10.26)

e

(10.27)

pode efectuar-se directamente a conversão

(10.28)

e

(10.29)

Como se indica nas Figura 10.6.b e 10.6.c, estas relações são tais que os elementos condensador e bobina podem ser encarados como ´resistências´ cujo valor é 1/sC e sL, respectivamente, podendo a partir de então ser aplicados os mesmos métodos de análise considerados durante o estudo dos circuitos resistivos puros (em capítulos posteriores ver-se-á que estes parâmetros coincidem com as impedâncias dos elementos escritas na forma de Laplace).

Figura 10.6 Aplicação do método do operador-s

Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito representado na Figura 10.6.c permite escrever o sistema de equações (v₂=v_C)

(10.30)

cuja resolução em ordem à variável v₂=v_C conduz à expressão

(10.31)

ou ainda

(10.32)

a qual coincide com aquela obtida em (10.22). A obtenção da equação diferencial de 2.ª ordem a partir de (10.32) baseia-se nos mesmos passos estabelecidos anteriormente.

10.2.3 Método das Variáveis de Estado

O método das variáveis de estado tem como finalidade a obtenção de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, uma por cada condensador e bobina irredutível existente no circuito. As variáveis de estado de um circuito coincidem com as grandezas associadas à energia armazenada nos condensadores e nas bobinas, respectivamente a tensão e a corrente eléctricas. Apesar da sua importância para a simulação numérica de circuitos eléctricos, as equações de estado de um circuito podem sempre ser condensadas numa única equação diferencial, cuja ordem coincide com o número de equações diferenciais de 1.ª ordem contidas no sistema.

Considere-se o circuito RC de 2.ª ordem representado na Figura 10.7.a, constituído por dois condensadores irredutíveis entre si.

Figura 10.7 Aplicação do método das equações de estado

As variáveis de estado do circuito são, por definição, as tensões aos terminais dos condensadores C₁ e C₂, respectivamente v_C1(t) e v_C2(t). Apesar de não ser estritamente necessário para a aplicação do método, aconselha-se sempre o redesenhar do circuito pondo em evidência a ligação dos dois elementos armazenadores de energia a um diporto constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente (Figura 10.7.b). Uma vez que as variáveis de estado são ambas tensões, opta-se por aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes aos nós de ligação dos condensadores ao diporto (nós-1 e -2). No presente caso obtêm-se as duas equações

(10.33)

que, por substituição da característica do condensador, se podem reescrever na

(10.34)

cujas forma canónica e representação sob a forma matricial são

(10.35)

e

(10.36)

respectivamente.

Podem fazer-se as seguintes considerações relativamente à relação matricial (10.36):

(i) as variáveis de estado, , as respectivas derivadas,, as fontes independentes e a topologia do circuito encontram-se compiladas em vectores e matrizes distintas;

(ii) as derivadas das variáveis de estado, entenda-se o ritmo de variação no tempo das variáveis de estado, são dadas em cada instante pelo valor actual das próprias variáveis de estado adicionadas dos efeitos das fontes independentes do circuito.

O ponto (ii) justifica a grande importância dada às equações de estado na simulação numérica em computador de circuitos eléctricos. Esta formulação indica que se num dado instante de tempo (t_o) forem conhecidas as condições iniciais das variáveis de estado do circuito, no presente caso as tensões v_C1(t_o) e v_C2(t_o), então as derivadas expressas pela relação matricial (10.36) permitem calcular numericamente as variáveis de estado num instante de tempo imediatamente seguinte, t₁=t_o+Dt, através da aproximação

(10.37)

A iteração deste procedimento permite determinar a evolução no tempo das variáveis de estado.

As equações de estado expressas por (10.36) permitem obter uma equação diferencial escalar de 2.ª ordem. Por exemplo, por conversão do operador derivada (em ordem ao tempo) numa variável algébrica obtém-se

(10.38)

que, após re-arranjo dos seus termos, permite escrever a relação matricial

(10.39)

cuja forma é semelhante àquela obtida por aplicação do método do operador-s. Por exemplo, a resolução deste sistema de equações em ordem à variável v_C1 conduz ao cociente de polinómios na variável-s

(10.40)

ou seja,

(10.41)

que, após reconversão da variável algébrica no operador derivada, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.42)