10.4

Solução Forçada

(10.78)

A solução é composta por duas parcelas

(10.79)

em que x_n(t) e x_f(t) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente das condições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos.

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos

10.4.1 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem a forma de um degrau com origem em t=0, i_s(t)=I_s.u(t). Admita-se ainda que as condições iniciais do circuito são v_C(0) e i_L(0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador para t>0.

Figura 10.13 Regime forçado constante

Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80)

e em que a, w_o e Q são, respectivamente,

(10.81)

(10.82)

e

(10.83)

A solução natural é neste caso criticamente amortecida,

t>0

(10.84)

em que A₁ e A₂ são duas constantes.

Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial com termo forçado é neste caso

(10.85)

cuja solução é

t>0

(10.86)

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87)

ou seja,

(10.88)

A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.88),

t>0

(10.89)

cujas constantes A₁ e A₂ são tais que

(10.90)

isto é,

(10.91)

Portanto,

t>0

(10.92)

cujo limite quando t ® ¥ é RI_s, e

t>0

(10.93)

que neste caso tende para zero quando t ® ¥. Estes resultados indicam que a totalidade da corrente fornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t ® ¥ , o circuito se comporta como se os terminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivamente (veja-se a Figura 10.13.d).

Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos em que o termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobre-amortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluções forçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobina são sempre nulas).

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constante

Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série

10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a fonte de corrente é de tipo sinusoidal, i_s(t)=u(t).I_scos(wt). A equação diferencial que rege o funcionamento do circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94)

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo a =w_o)

(10.95)

As constantes B_c e B_s são tais que

(10.96)

isto é,

(10.97)

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98)

cuja resolução conduz às soluções

(10.99)

Finalmente, as constantes A₁ e A₂ são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100)

de onde resultam

(10.101)

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série