5.3

Método das Malhas

Figura 5.14 Malhas (a) e caminhos fechados que não constituem malhas (b)

Como se afirmou anteriormente, o método das malhas permite obter as correntes em todas as malhas de um circuito. As correntes nas malhas não coincidem necessariamente com as correntes nos componentes do circuito, podendo no entanto ser obtidas por adição ou subtracção daquelas. No circuito representado na Figura 5.14.a, por exemplo, verifica-se que a corrente na resistência R₄, no sentido indicado, é dada pela diferença entre as correntes nas malhas-2 -3, designadamente i₄=(i₂-i₃).

A análise de um circuito com M malhas exige a obtenção e a resolução de M equações linearmente independentes. As equações resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas do circuito, que após substituição das características tensão-corrente dos componentes permitem obter um sistema de M equações a M incógnitas.

A aplicação do método das malhas baseia-se em quatro passos principais, a saber:

(i) determinação do número total de malhas do circuito e atribuição de um sentido às correntes respectivas;

(ii) aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões a cada uma das malhas;

(iii) substituição da característica tensão-corrente dos componentes ao longo da malha;

(iv) resolução do sistema de equações.

À semelhança do método dos nós, nesta sebenta optou-se por apresentar o método das malhas considerando quatro tipos básicos de circuitos: com fontes de tensão independentes apenas; com fontes de tensão e de corrente independentes; com fontes independentes e de tensão dependentes; e, finalmente, com os quatro tipos de fontes possíveis.

5.3.1 Fontes de Tensão Independentes

Na Figura 5.15 apresenta-se um circuito resistivo com uma fonte de tensão independente.

Figura 5.15 Método dos malhas

De acordo com os preceitos introduzidos anteriormente, a análise deste circuito com base no método das malhas segue os seguintes quatro passos:

Passo 1: o circuito possui duas malhas, M=2, e a sua resolução exige a obtenção de duas equações algébricas linearmente independentes. Os sentidos atribuídos às correntes nas malhas encontram-se indicados na própria figura.

Passo 2: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1 e -2 permite obter as seguintes duas equações algébricas:

malha-1

(5.60)

malha-2

(5.61)

Passo 3: a substituição das características tensão-corrente das resistências permite rescrever as equações (5.60) e (5.61) na seguinte forma:

malha-1

(5.62)

malha-2

(5.63)

Em conjunto (5.62) e (5.63) definem um sistema de duas equações algébricas cuja representação matricial é

(5.64)

Passo 4: A resolução do sistema de equações (5.64) permite obter as seguintes expressões para as correntes nas duas malhas:

(5.65)

na primeira malha, e

(5.66)

na segunda. As correntes nos diversos componentes do circuito podem agora ser determinadas em função das expressões (5.65) e (5.66). Por exemplo, as correntes nas resistência R₁, R₂ e R₃ são

(5.67)

(5.68)

e

(5.69)

respectivamente.

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.16, com três fontes de tensão independentes localizadas em outras tantas malhas. Repetindo a sequência de quatro passos do método das malhas, verifica-se que:

Figura 5.16 Método das malhas

Passo 1: o circuito possui três malhas, M=3, o que indica ser necessária a obtenção de três equações algébricas linearmente independentes para a sua resolução. O sentido atribuído às correntes nas malhas encontram-se indicados na figura.

Passos 2 e 3: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1, -2 e -3, e após substituição da Lei de Ohm nos termos relativos às resistências, permite obter as seguintes três equações algébricas:

malha-1

(5.70)

malha-2

(5.71)

malha-3

(5.72)

Em conjunto (5.70), (5.71) e (5.72) definem um sistema de três equações algébricas de representação matricial

(5.73)

Passo 4: a resolução do sistema (5.73) através da regra de Cramer permite obter as seguintes expressões para as correntes nas malha

(5.74)

(5.75)

e

(5.76)

em que D define o determinante da matriz [R], e D₁, D₂ e D₃ definem, respectivamente, os determinantes da matriz [R] quando a primeira, a segunda e a terceira colunas são substituídas, respectivamente, pelo vector das fontes de tensão independentes, [v_s]. Por exemplo, a expressão da corrente na malha-1 resulta da expansão do cociente entre determinantes

(5.77)

Os dois exemplos considerados permitem derivar as regras de construção sistemática da relação matricial:

(i) as variáveis do circuito definem um vector coluna

(5.78)

(ii) as fontes independentes agrupam-se num vector coluna

(5.79)

cujos termos são dados pela soma das fontes independentes ao longo das malhas respectivas

(iii) as resistências agrupam-se numa matriz quadrada

(5.80)

designada por matriz de resistências do circuito. Os elementos da diagonal principal da matriz (R_jj) são dados pelo somatório das resistências ao longo da malha j, enquanto os restantes elementos (R_ij com i¹ j) resultam da adição das resistências comuns às malhas i e j, afectada de um sinal negativo. A matriz é simétrica sempre que os circuitos integrem apenas fontes independentes.

5.3.2 Fontes de Corrente Independentes

A presença de fontes de corrente num circuito tem como principal consequência a redução do número de equações linearmente independentes cuja obtenção exige a aplicação da LKT. A razão desta redução é simples: uma fonte de corrente define a corrente numa malha ou a relação entre as correntes em duas malhas. Por conseguinte, é comum distinguir três tipos de ligação das fontes de corrente: pertencentes a uma só malha (Caso 1); comuns a duas malhas (Caso 2); e ligadas em paralelo com uma resistência, definindo, juntas, uma fonte com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Independentes Pertencentes a Uma Só Malha

Considere-se na Figura 5.17 um circuito que integra no seu seio uma fonte de corrente independente, pertencente a uma só malha.

Figura 5.17 Método das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 1)

A resolução do circuito pelo método das malhas passa pela obtenção das correntes nas malhas-1 e -2, que na secção anterior resultavam da aplicação da LKT. No entanto, neste caso a corrente na malha-2 é definida directamente pela própria fonte de corrente independente, i_s, não constituindo, portanto, uma variável do método. Com efeito, para cada uma das duas malhas do circuito podem escrever-se as igualdades

malha-1

(5.81)

e

malha-2

(5.82)

esta última já resolvida. Assim, e após substituição de (5.82) em (5.81), obtém-se a expressão da corrente na malha-1

(5.83)

Caso 2: Fontes de Corrente Independentes Comuns a Duas Malhas

Na Figura 5.18 considera-se um circuito com uma fonte de corrente comum a duas malhas (malhas-2 e -3).

Figura 5.18 Método das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 2)

Esta particularidade indica existir uma relação entre as correntes i₂ e i₃, designadamente

(5.84)

As malhas-2 e 3 definem uma super-malha. O método das malhas resume-se à aplicação da LKT à malha-1 e à super-malha-2-3 (indicada a tracejado na Figura 5.18), respectivamente

(5.85)

e

(5.86)

a qual, tendo em conta (5.84), se pode escrever na forma

(5.87)

As equações algébricas (5.85) e (5.85) definem um sistema de equações cuja representação matricial é

(5.88)

Caso 3: Fontes de Corrente com Resistência Interna

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.19.a, neste caso integrando numa das suas malhas uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo. De acordo com as regras da transformação de fonte, este conjunto de elementos pode ser substituído por uma fonte de tensão com uma resistência em série, facto que reduz directamente para um o número total de malhas do circuito (Figura 5.19.b).

Figura 5.19 Método das malhas: circuito com fonte de corrente com resistência interna (Caso 3)

Por isso, a aplicação da LKT à malha permite obter a expressão da corrente

(5.89)

Na Figura 5.20 considera-se um circuito que integra uma fonte de corrente independente ligada nas condições anteriormente definidas. O circuito possui três malhas (M=3), mas apresenta a particularidade de as malhas-1 e -3 definirem uma super-malha (Caso-2).

Figura 5.20 Exemplo de aplicação do método das malhas

Assim, uma vez que

(5.90)

a equação da super-malha,

(5.91)

e a da malha-2,

(5.92)

permitem obter o sistema de duas equações algébricas

(5.93)

5.3.3 Fontes de Tensão Dependentes

As fontes dependentes acarretam alterações na matriz de resistências. Este resultado deve-se ao facto de as fontes dependentes poderem ser expressas em função das correntes nas malhas.

Considere-se o circuito representado na Figura 5.21.a, tendo uma fonte de tensão controlada.

Figura 5.21 Método das malhas: circuito com de fonte de tensão dependente

Uma das sequências possíveis para a aplicação do método das malhas é a seguinte:

Passo 1: anulam-se as fontes dependentes (Figura 5.21.b) e analisa-se o circuito de acordo com os preceitos introduzidos nas secções anteriores. Obtém-se

(5.94)

Passo 2: seguidamente introduzem-se os efeitos devidos às fontes dependentes. Uma vez que a fonte dependente pertence apenas à malha-3, apenas esta equação deve ser rescrita. Assim,

que, substituída em (5.94), conduz a

(5.95)

Como se pode constatar em (5.95), a inclusão da fonte dependente no circuito acarreta apenas alterações na matriz [R], mais concretamente na linha correspondente à malha e nas colunas relativas às variáveis que a controlam.

5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes

A análise de circuitos com fontes de corrente dependentes integra aspectos comuns às metodologias estabelecidas anteriormente para os circuitos com fontes de corrente independentes e fontes de tensão dependentes: cada fonte de corrente dependente reduz de uma unidade o número de malhas às quais é necessário aplicar a LKT, mas os seus efeitos integram apenas a matriz [R]. Tal como nas fontes independentes, temos três tipos de ligação das fontes de corrente dependentes: fontes numa só malha (Caso 1); fontes comuns a duas malhas (Caso 2); e fontes ligadas em paralelo com uma resistência (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Dependentes Pertencentes a Uma Só Malha

Considere-se o circuito figurado em 5.22, possuindo uma fonte de corrente controlada no seio de uma das suas malhas.

Figura 5.22 Método das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 1)

A inspecção do circuito permite constatar que a corrente na malha-4 se encontra relacionada com a da malha-1, designadamente

(5.96)

não constituindo, portanto, uma das variáveis do método. Por conseguinte, a aplicação da LKT às malhas-1, -2 e -3 permite obter três equações algébricas

malha-1

(5.97)

malha-2

(5.98)

malha-3

(5.99)

nas quais se substituíram já as expressões relativas às fontes dependentes. O sistema definido pelas equações (5.97) a (5.99) pode então representar-se na forma matricial

(5.100)

Caso 2: Fontes de Corrente Dependentes Comuns a Duas Malhas

No circuito representado na Figura 5.23, as correntes nas malhas-2 e -3 encontram-se relacionadas

(5.101)

Figura 5.23 Método das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 2)

Por conseguinte, a aplicação do método passa pela obtenção das equações algébricas relativas às malhas 1, 2, 3 e 4, respectivamente

(5.102)

(5.103)

(5.104)

cuja representação matricial é

(5.105)

Caso 3: Fontes de Corrente com Resistência Interna

O circuito representado na Figura 5.24.a possui uma fonte de corrente dependente em paralelo com uma resistência. Estes dois elementos podem ser convertidos numa fonte de tensão com resistência interna, o que desde logo permite reduzir para três o total de malhas do circuito (Figura 5.24.b). O circuito possui ainda uma outra fonte de corrente com resistência interna, definida pelos elementos i_s e R₁, que em princípio permitia eliminar da análise mais outra malha. No entanto, sendo que a corrente no elemento R₁ coincide com a variável de controlo da fonte de tensão dependente, é aconselhável reduzir o número de aplicações da LKT através da super-malha-1-3.

Figura 5.24 Método das malhas: circuito com fonte de corrente com resistência interna (Caso 3)

Como resultado destas simplificações, podem obter-se as duas equações algébricas do circuito, designadamente

(5.106)

a partir da super-malha 1-3, e

(5.107)

a partir da malha-2. Neste caso, a relação matricial característica do circuito é

(5.108)