Notação complexa e impedâncias

O facto já mencionado anteriormente de que uma excitação sinusoidal a uma determinada pulsação $\omega$, tem como reposta em regime permanente ainda uma forma sinusoidal de mesma pulsação, e apenas com uma diferença de fase e de amplitude, motivou a introdução de uma noção simplificativa que é a noção de fasor.

Comecemos por considerar a família de excitações exponenciais complexas:

$$x(t) = \cases{\Re[\vec X] = \Re [\vert \vec X \vert e^{j\theta} e^{(\alpha+j\omega)t}]& t $>$ 0;\cr 0 & t $<$ 0,\cr}$$ (6-3.01)

onde $\vec X$ é um vector, possivelmente complexo, e onde $\Re [\cdot]$ é o operador ``parte real de''. Podemos ainda notar a equação (6-3.1) como

$$x(t) = \Re[\vec X]$$ (6-3.02)

$$= \Re[\vert X \vert e^{\alpha t} e^{j(\omega t + \theta)}]$$ (6-3.03)

$$= \vert X \vert e^{\alpha t} \cos (\omega t + \theta).$$ (6-3.04)

Este vector encontra-se representado na figura 6.3, onde podemos notar que $\theta$ é o ângulo inicial que o vector faz com o eixo das abcissas, ou termo de fase do sinal no domínio do tempo, $\omega$ representa a velocidade com a qual o vector gira em torno à origem quanto o tempo aumenta e $\alpha$ é um coeficiente de atenuação de amplitude. Trata-se portanto de uma família de funções que, segundo os valores de relativos de $\alpha$, $\omega$ e $\theta$ pode tomar as formas de exponencial pura (quando $\omega=0$), sinusoidal pura (quando $\alpha=0$) ou ainda sinusoidal amortecida, $\alpha \ne 0$ e $\omega \ne 0$.

Figura 6.3: representação do fasor.

A regime permanente sinusoidal obtem-se para $\alpha=0$ e nesse caso

$$x(t) = \Re \{ \vert \vec X \vert e^{j(\omega t+\theta)} \},$$ (6-3.05)

cuja interpretação é a de um vector $\vec X$ rodando no plano complexo no sentido anti-horário com uma pulsação $\omega$ como representado na figura 6.3. Este vector é chamado fasor ou vector de Fresnel. Se considerarmos a projeção deste vector no eixo real temos

$$x(t) = \vert \vec X \vert \cos (\omega t+\theta),$$ (6-3.06)

que não é mais do que uma função sinusoidal de amplitude $\vert \vec X \vert$ e pulsação $\omega$ como temos vindo a considerar ao longo deste capítulo. A hipótese simplificadora reside em considerar não o sinal real $x(t)$ mais sim a sua representação complexa $\vec X$ e realizar todo o cálculo em álgebra complexa sabendo de antemão que o resultado será a parte real de $\vert \vec X \vert \exp j(\omega t+\theta)$.

A título de exemplo, vamos refazer o cálculo efectuado para o circuito RL série do capítulo 6.2 usando agora a notação complexa. Observando a figura 6.1 podemos escrever o fasor $\vec V$ associado com a tensão $v(t)$ como

$$\vec V = R \vec I + j\omega L \vec I,$$ (6-3.07)

onde $\vec I$ é o fasor associado com a corrente $i(t)$ e a queda de tensão aos terminais da bobine $v_L(t) = L di(t)/dt$ é simplesmente substituida por $j\omega L \vec I$ visto que

$${d\over {dt}} \vec I = {d\over {dt}} \vert \vec I \vert e^{j\omega t+\theta}= j\omega \vec I,$$ (6-3.08)

e aqui reside toda a simplificação da notação complexa: as derivadas tornam-se multiplicações por $j\omega$ e os integrais tornam-se divisões por $j\omega$ e, como resultado, as equações diferenciais tornam-se equações algébricas em $j\omega$ !

Voltando a (6-3.7) escrevemos

$$\vec I = {{\vec V}\over {R+j\omega L}},$$ (6-3.09)

e a solução final encontra-se tomando a parte real de cada lado de (6-3.9) de onde se obtem

$$\Re \{ \vec I \} = \Re \Bigl\{ {{R-j\omega L}\over {R^2+\omega^2 L^2}} \vec V \Bigr\},$$ (6-3.10)

de onde substituindo $\vec V$ por $V_m e^{j\omega t}$ obtemos

$$i(t) = {{R V_m}\over {R^2+\omega^2 L^2}} \cos(\omega t) +{{\omega L V_m}\over {R^2+\omega^2 L^2}} \sin(\omega t),$$ (6-3.11)

e que é o resultado esperado se substituirmos (6-2.6) e (6-2.7) em (6-2.2).

Como antevisto em (6-3.8), em regime permanente sinusoidal e usando a notação complexa, a bobine tem uma queda de tensão

$$\vec V_L = j\omega L \vec I,$$ (6-3.12)

que é a forma da lei de Ohm em notação complexa e que introduz a noção de impedância $Z$ tal que $\vec V = Z \vec I$ e no exemplo acima a impedância da bobine é $Z_L=j\omega L$.

Fazendo o mesmo raciocínio com o condensador temos que,

$$v_C(t) = {1\over C} \int i(\tau) d\tau$$ (6-3.13)

permite-nos achar a representação em termos de fasores respectiva,

$$\vec V_C = {1\over C} \int \vert I \vert e^{j\omega \tau} d\tau$$ (6-3.14)

$$= {1\over C} {{\vec I}\over {j\omega}}$$ (6-3.15)

$$= Z_L \vec I$$ (6-3.16)

com a impedância equivalente

$$Z_C = {1\over {j\omega C}}.$$

Será fácil verificar que no caso de uma resistência $R$, a tensão e corrente sob forma de fasor se encontram ligados por uma impedância $Z_R = R$.