Regime permanente sinusoidal

Nos capítulos anteriores estudámos a resposta transitória de alguns circuitos com condensadores, bobines e resistências. Vimos que essa resposta transitória correspondia, em termos das soluções das equações diferenciais dos circuitos, à solução sem excitação. Esta solução também é chamada resposta natural ou não forçada. A introdução do sinal de excitação no segundo membro dava origem a uma solução particular e ao regime permanente quando $t \to \infty$.

Vamos agora estudar a resposta forçada sem nos interessarmos do regime transitório quando o sinal de excitação é uma onda sinusoidal. A resposta forçada dá, neste caso, origem ao regime permanente sinusoidal.

Como exemplo vamos considerar o circuito RL série da figura 6.1 quando $v(t)= V_m \cos(\omega t)$.

Figura 6.1: circuito RL série em regime sinusoidal.

Neste caso, depois de passado o regime transitório, no qual intervem a indução inicial na bobine, o circuito deverá obedecer à seguinte equação

$$v(t) = Ri(t) + L {{di(t)}\over {dt}},$$ (6-2.01)

sabendo à partida que a solução da equação terá também uma forma sinusoidal podemos procurar soluções do tipo

$$i(t) = I_1 \cos(\omega t) + I_2 \sin (\omega t),$$ (6-2.02)

derivando e substituindo em (6-2.1) obtemos

$$(RI_2-L\omega I_1) \sin (\omega t) + (RI_1 - V_m + L\omega I_2) \cos(\omega t) = 0,$$ (6-2.03)

que só se verifica se

$$RI_2 - L\omega I_1 = 0$$ (6-2.04)

$$RI_1-V_m+L\omega I_2 = 0$$ (6-2.05)

visto que uma função seno e coseno de mesma pulsação nunca se anulam simultâneamente. Resolvendo em relação a $I_1$ e $I_2$ permite obter

$$I_1 = {{RV_m}\over {R^2+\omega^2 L^2}}$$ (6-2.06)

$$I_2 = {{\omega L V_m}\over {R^2+\omega^2 L^2}},$$ (6-2.07)

de onde podemos substituir em (6-2.2) e fazendo

$$\cos(\phi_0) = {R\over {\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}}}$$ (6-2.08)

$$\sin(\phi_0) = {{\omega L}\over {\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}}}$$ (6-2.09)

escrever a forma final para a corrente

$$i(t) = I_0 \cos(\omega t - \phi_0),$$ (6-2.10)

com a amplitude

$$I_0={{V_m}\over {\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}},$$ (6-2.11)

e o termo de fase

$$\phi_0 = \tan^{-1} \Bigl({{\omega L}\over R}\Bigr).$$ (6-2.12)

Figura 6.2: $v(t)$, $i(t)$ e $v_L(t)$ no circuito da figura 6.1.

Poderíamos ainda deduzir a tensão $v_L(t)$ aos terminais da bobine que seria neste caso

$$v_L(t) = L {{di(t)}\over {dt}} = - V_{L0} \sin(\omega t -\phi_0),$$ (6-2.13)

onde $V_{L0} = L\omega I_0$. Usando a relação $-\sin \theta = \cos (\theta+\pi/2)$ podemos notar que,

$$v_L(t) = V_{L0} \cos (\omega t - \phi_0 +{{\pi}\over 2}),$$ (6-2.14)

o que nos permite determinar que $v_L(t)$ se encontra adiantado de $\pi/2$ em relação à corrente $i(t)$. A figura 6.2 representa a tensão $v(t)$, a corrente $i(t)$ e a tensão $v_L(t)$ para $V_m=3$ v, $R=100 \Omega$, $L=0.1$ H e $f_0=100$ Hz.

De uma forma alternativa poderíamos empregar a TL para resolver este circuito utilizando directamente as ferramentas do cálculo simbólico. Assim podemos escrever directamente

$$V(s) = RI(s) + LsI(s),$$ (6-2.15)

e por isso

$$I(s) = {{V(s)}\over {R+Ls}},$$ (6-2.16)

com $V(s)={\rm TL}[v(t)]=V_m s/(s^2+\omega^2)$. Substituindo em (6-2.16) e decompondo a fração em $s$,

$$I(s) = {{V_m s}\over {(s^2+\omega^2)(R+Ls)}} = {A\over {s+R/L}} + {B\over {s-j\omega}} + {{B^{\ast}}\over {s+j\omega}},$$ (6-2.17)

com

$$A = -{{V_m R}\over {R^2+L^2\omega^2}},$$

$$B = {{V_m}\over {2(R+j\omega L)}}.$$

Podemos então deduzir a corrente $i(t)$

$$i(t) = -{{V_m R e^{-R/L t}}\over {R^2+L^2\omega^2}} + {V_m\over {\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}} \cos(\omega t - \phi_0),$$ (6-2.18)

onde $\phi_0 = \tan^{-1}(\omega L/R)$. A análise da expressão (6-2.18) mostra-nos que a solução do problema é formada por dois termos: o primeiro diz respeito ao regime transitório com a constante de tempo $\tau=L/R$, como encontrado nos exemplos do capitulo 5, e o segundo diz respeito ao regime permanente sinusoidal e é idêntico à solução (6-2.10) com (6-2.11) e (6-2.12).