Equações diferenciais com condições iniciais

A utilização prática da TL na análise e síntese de sistemas lineares passa essencialmente pelas seguintes propriedades:

$${\rm TL}[\sum_i a_i f_i(t)] = \sum_i a_i F_i(s),$$ (4-3.01)

e

$${\rm TL}[f^{(n)}(t)] = s^nF(s) -s^{n-1}f(0)- \ldots -s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0),$$ (4-3.02)

com as quais as equações diferenciais em $t$ se tornam equações algébricas em $s$. Na prática o problema é quase sempre dividido em cinco etapas sucessivas:

1) transformar a equação diferencial numa equação algébrica utilizando (4-3.2)

2) resolver a equação resultante para a grandeza de saída $Y(s)$

3) desenvolver $Y(s)$ em frações racionais

4) encontrar o inverso $y(t) = {\rm TLI} [Y(s)]$

5) verificar o resultado

Exemplos:

A) Seja a seguinte equação diferencial de primeira ordem

$$a{{dy}\over {dt}} + by = x(t),$$

com $x(t) = e^{-ct} u(t)$. Podemos desde já escrever a passagem para o domínio $s$,

$$a[sY(s) - y(0)] +bY(s) = X(s) = {1\over {s+c}},$$

isto é

$$Y(s) = {{a(s+c)y(0)+1}\over {a(s+b/a)(s+c)}},$$

ou também, decompondo em fracções racionais

$$Y(s) = {{A_1}\over {s+b/a}} + {{A_2}\over {s+c}},$$

com

$$A_1 = {{(ac-b)y(0) +1}\over {ac-b}} \qquad A_2={{-1}\over {ac-b}},$$

e de onde se pode deduzir o resultado

$$y(t) = [A_1 e^{-bt/a} + A_2 e^{-ct}] u(t).$$

A verificação do resultado faz-se, óbviamente, inserindo $y(t)$ na equação diferencial inicial. Alternativamente poderíamos utilizar os teoremas dos valores inicial e final, (4-2.32) e (4-2.33), respectivamente, para verificar o comportamento assimptótico da solução obtida.

B) seja agora a equação diferencial de segunda ordem

$$i''(t) + 7 i'(t) + 10 i(t) = 6 e^{-3t} u(t),$$

com $i(0)=3$ A e $i'(0) = 3$ A/s. Podemos então escrever, calculando a TL de ambos os termos,

$$s^2 I(s) - si(0) - i'(0) + 7sI(s) - 7 i(0) + 10 I(s) = {6\over {s+3}},$$

de onde, resolvendo em relação a $I(s)$,

$$I(s) = {{3(s^2 + 11 s + 26)}\over {(s+2)(s+3)(s+5)}} = {8\over {s+2}} - {3\over {s+3}} - {2\over {s+5}},$$

e portanto a solução final

$$i(t) = 8e^{-2t} - 3e^{-3t} -2 e^{-5t}, \qquad t>0.$$

Na prática somos levados a considerar frequentemente, não uma equação única para determinar uma das variáveis do circuito, mas sim um conjunto de equações com várias variáveis, em geral ligadas entre elas, e por isso temos que colocar o problema sob a forma de um sistema de equações.

Exemplo: considere o seguinte sistema de equações diferenciais,

$${2\over 3} {{dx}\over {dt}} + x - {1\over 3} {{dy}\over {dt}} = f(t) = 2u(t)$$

$$-{1\over 3} {{dx}\over {dt}} + {2\over 3} {{dy}\over {dt}} + y = 0,$$

com condições iniciais nulas, i.e., $x(0)=y(0)=0$. Aplicando a TL nos dois membros de cada uma das equações acima obtemos,

$$({2\over 3} s + 1) X(s) - {1\over 3} s Y(s) = F(s) = {2\over s}$$

$$-{1\over 3} s X(s) + ({2\over 3} s + 1 ) Y(s) = 0,$$

das quais podemos deduzir por substituição

$$X(s) = {{2(2s+3)}\over {s(s+1)(s+3)}} = {2\over s} - {1\over {s+1}} - {1\over {s+3}}$$

$$Y(s) = {2\over {(s+1)(s+3)}} = {1\over {s+1}} - {1\over {s+3}},$$

e finalmente aplicando a TLI,

$$x(t) = (2-e^{-t} - e^{-3t}) u(t),$$

$$y(t) = (e^{-t} - e^{-3t})u(t),$$

de onde podemos facilmente verificar as condições iniciais.