Teoremas simples da Transformada de Laplace

Na prática mais do que a própria definição, convém conhecer algumas das propriedades mais relavantes da TL, de modo a facilitar a sua aplicação à análise de circuitos.

Atraso no domínio temporal: o cálculo da TL de $g(t)=f(t-t_0)$ faz-se através de

$${\rm TL}[f(t-t_0)] = \int_{0^-}^{\infty} f(t-t_0) e^{-st} dt,$$

onde colocando $\tau=t-t_0$, e $d\tau = dt$ permite escrever

$${\rm TL}[f(t-t_0)] = \int_{-t}^{\infty} f(\tau) e^{-s(t_0+\tau)}d\tau,$$

e de onde notando que a função causal $f(t)=0$ para $t < 0$ permite deduzir o resultado final

$${\rm TL}[f(t-t_0)] = e^{-t_0s} F(s).$$ (4-2.15)

Diferenciação no domínio de Laplace: demonstra-se fácilmente calculando a derivada de

$$F(s) = \int_{0^-}^{\infty} f(t) e^{-st} dt,$$ (4-2.16)

em relação a $s$ que é

$$G(s) = {{dF(s)}\over {ds}} = \int_{0^-}^{\infty} [-t f(t)] e^{-st} dt,$$ (4-2.17)

e portanto temos o par

$${\rm TL}[t f(t)] = -{{dF(s)}\over {ds}}.$$ (4-2.18)

e por dedução à ordem $n$

$${\rm TL} [(-t)^n f(t)] = {{d^n F(s)}\over {ds^n}}.$$ (4-2.19)

Família de Diracs: a família de Diracs começa com o degrau unidade $u(t)=u_{-1}(t)$ para o qual se pode fácilmente calcular

$${\rm TL}[u_{-1}(t)] = {1\over s},$$ (4-2.20)

em seguida, utilizando (4-2.19)

$${\rm TL}[t^n u_{-1}(t)] = {{n!}\over {s^{n+1}}}.$$ (4-2.21)

Podemos agora generalizar à família de impulsos com a ajuda de (4-2.19)

$${\rm TL}[u_{-n} (t)] = s^{-n}.$$ (4-2.22)

Potência do tempo - função Gama: é um caso semelhante ao anterior no qual se pretende calcular a TL de uma potência do tempo, só que agora o expoente não é inteiro. Assim temos que

$${\rm TL}[t^{\alpha}] = {1\over {s^{\alpha+1}}} \int_{0^-}^{\... ...{\alpha} e^{-x} dx = {{\Gamma(\alpha+1)}\over {s^{\alpha+1}}},$$ (4-2.23)

onde a função Gama é definida por

$$\Gamma(\alpha+1) = \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} dx.$$ (4-2.24)

Diferenciação temporal: pode-se demonstrar que

$${\rm TL}[{{df(t)}\over {dt}}] = sF(s) - f(0^-),$$ (4-2.25)

onde $f(0^-)$ representa o valor da função temporal no instante inicial. A demonstração obtem-se fazendo

$$G(s) = {\rm TL}[{{df(t)}\over {dt}}] = \int_{0^-}^{\infty} {{df(t)}\over {dt}} e^{-st}dt,$$ (4-2.26)

de onde fazendo a mudança de variável $dv=df(t)$ e $u = e^{-st}$ e integrando por partes,

$$G(s) = [e^{-st} f(t)]_{0^-}^{\infty} - \int_{0^-}^{\infty} f(t) [-se^{-st}], dt$$ (4-2.27)

admitindo que $f(t)$ é de tipo exponencial temos que para o extremo superior ($\infty$) o primeiro termo dá zero e para $t=0^-$ dá $f(0^-)$. Em relação ao segundo termo é fácil ver que se trata de $sF(s)$ e por isso o resultado encontra-se como sendo

$$G(s) = -f(0^-) + sF(S).$$ (4-2.28)

As derivadas de ordem superior obtêm-se por extensão do caso precedente tal que

$${\rm TL}[{{d^n f(t)}\over {dt^n}}] = s^nF(S) -s^{n-1}f(0^-) - \ldots -f^{(n-1)}(0^-).$$ (4-2.29)

Integração temporal: podemos ver facilmente que

$${\rm TL}[\int_{0^-}^t f(\tau) d\tau ] = {{F(s)}\over s},$$ (4-2.30)

que se demonstra colocando

$$g(t) = \int_{0^-}^t f(\tau) d\tau,$$ (4-2.31)

o que implica $g(0^-)=0$. Como podemos escrever que a ${\rm TL}[dg(t)/dt]={\rm TL}[f(t)]=F(s)$, utilizando (4-2.28), podemos escrever que ${\rm TL}[dg(t)/dt]=sG(s)-g(0^-)$. Assim, visto que $g(0^-)=0$ podemos escrever que $F(s)=sG(s)$ e finalmente provar (4-2.30).

Teorema do valor inicial: prova-se que, para as funções sem descontinuidades na origem, podemos determinar o valor da função temporal para $t=0$ através de

$$f(0) = \displaystyle{\lim_{s \to \infty}} s F(s).$$ (4-2.32)

Teorema do valor final: prova-se igualmente que o valor final da função temporal se pode determinar através de

$$f(\infty) = \displaystyle{\lim_{t \to \infty}} f(t) = \displaystyle{\lim_{s \to 0}} s F(s).$$ (4-2.33)

Funções periódicas causais: é frequente na prática querermos determinar a TL de uma função periódica. Tomemos como exemplo o caso simples de uma função $g(t)=f(t) + f(t-T)$, resultante da repetição da função $f(t)$ com um intervalo $T$. Assim podemos directamente escrever

$$G(s) = {\rm TL}[g(t)] = {\rm TL}[f(t)] + {\rm TL}[f(t)]e^{-sT},$$

onde utilizámos (4-2.15). Ou ainda

$$G(s) = F(s)[1+e^{-sT}].$$ (4-2.34)

A partir deste caso simples deduzimos directamente o caso geral do sinal periódico causal onde se o sinal $g(t)$ se escrever

$$g(t) = \sum_{k=0}^{\infty} f(t-kT),$$ (4-2.35)

então, a partir de (4-2.34), temos que

$$G(s) = F(s)\sum_{k=0}^{\infty} e^{-kTs}$$

ou ainda, utilizando o desenvolvimento em série de $1/(1-x)$ para $\vert x\vert <1$ (ver A.2),

$$G(s) = [{1\over {1-e^{-Ts}}}] F(s)$$ (4-2.36)

Exemplo: queremos determinar a TL da função periódica causal e limitada no tempo dada por

$$g(t) = \sum_{k=0}^N f(t-kT)$$

A solução deste problema pode obter-se através da utilização de (4-2.36) tal que

$$g(t) = \sum_{k=0}^{\infty} f(t-kT) - \sum_{k=N+1}^{\infty} f(t-kT),$$

onde a TL do segundo termo é uma soma de termos de uma progressão geométrica de razão $e^{-Ts}$ e cujo primeiro termo é $e^{(N+1)Ts}$. Assim podemos escrever que

$${\rm TL}[g(t)] = {{F(s)}\over {1-e^{-Ts}}} - {{F(s) e^{-(N+1)Ts}}\over {1-e^{-Ts}}}$$

ou mais condensado

$$G(s) = {{1 - e^{-(N+1)Ts}}\over {1-e^{-Ts}}} F(s).$$

que é o resultado procurado.