Pólos e zeros duma função

Quase todas as funções de variável $s$ que consideraremos podem ser colocadas sob a forma de fração racional

$$F(s) = {{N(s)}\over {D(s)}} = {{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + ... ...b_0}\over {a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}}.$$ (4-2.13)

De uma forma equivalente podemos exprimir os polinómios $N(s)$ e $D(s)$ em função das suas raízes,

$$F(s) = {{N(s)}\over {D(s)}} = A {{(s-s_{z1})(s-s_{z2}) \ldot... ...r {(s-s_{p1})(s-s_{p2}) \ldots (s-s_{pj}) \ldots (s-s_{pn})}},$$ (4-2.14)

onde $A=b_m/a_n$ é uma constante. A partir de (4-2.14) podemos fácilmente determinar as valores de $s$ (em geral complexos) para as quais $F(s)$ toma valores extremos, i.e., valores zero ou valores infinitos, consoante são raízes do numerador ou denominador, e são chamados pólos e zeros respectivamente.

Figura 4.5: localização de pólos e zeros no plano complexo: um pólo real (a), dois pólos e um zero reais (b) e dois pólos imaginários puros complexos conjugados (c).

Exemplos: vejamos alguns exemplos de TL e a sua representação no plano complexo com a respectiva localização de pólos e zeros.

A) $f(t) = e^{-\alpha t} u(t)$

temos que

$$F(s) = \int_{0^-}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-st} dt = [{{e^{-... ...ha)t}}\over {-(s+\alpha)}}]_{0^-}^{\infty}={1\over {s+\alpha}},$$

que tem apenas um pólo para $s=-\alpha$ como representado na figura 4.5(a).

B) $f(t) = (e^{-2t} + e^{-4t}) u(t)$

temos neste caso que

$$F(s) = \int_{0^-}^{\infty} e^{-(s+2)t}dt + \int_{0^-}^{\infty} e^{-(s+4)t}dt,$$

de onde utilizando o resultado anterior duas vezes com os devidos valores para $\alpha$,

$$F(s) = {1\over {s+2}} + {1\over {s+4}} = 2 {{s+3}\over {(s+2)(s+4)}},$$

com um zero em -3 e dois pólos: um em -4 e outro em -2, conforme representado na figura 4.5(b).

C) $f(t) = \cos(\omega_0 t) u(t)$

$$F(s) = \int_{0^-}^{\infty} \cos(\omega_0 t) e^{-st} dt$$

onde utilizando a forma de Euler,

$$F(s) = {1\over 2}\int_{0^-}^{\infty} e^{-(s+j\omega_0)t}dt + {1\over 2}\int_{0^-}^{\infty} e^{-(s-j\omega_0)t}dt$$

e utilizando mais uma vez o resultado anterior

$$F(s) = {{1/2}\over {s-j\omega_0}} + {{1/2}\over {s+j\omega_0}} = {s\over {(s-j\omega_0) (s+j\omega_0)}},$$

e neste caso teremos pólos complexos conjugados no eixo imaginário e um zero em $s=0$ que se encontram representados na figura 4.5(c).