Definição e existência

Começaremos pela sua definição no caso geral, que vem essencialmente da definição de Transformada de Fourier (TF), e que é

$$F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt,$$ (4-2.06)

que é denominada Transformada de Laplace (TL) bilateral, devido ao domínio de integração se estender de $-\infty$ a $+\infty$. Devido ao facto de, na prática, nos interessarmos quase exclusivamente pelas funções causais que são nulas apra $t \le 0$, seremos levados a utilizar mais frequentemente a TL unilateral que se escreve

$$F(s) = \int_{0^-}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt,$$ (4-2.07)

na qual devemos no entanto precisar que o limite inferior deste integral inclui o ponto de origem do eixo do tempo; em particular, um impulso de Dirac na origem deverá ser tido em conta na TL. A transformada inversa é obtida, sempre através da analogia com a TF, por

$$f(t) = {1\over {2\pi j}} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) e^{st} ds,$$ (4-2.08)

onde, neste caso, o integral é de variável complexa.

Uma das questões mais importante no cálculo da TL é, antes de mais, a da sua existência. Já sabemos, a partir da TF, que a TL existe quando o integral de definição converge no intervalo considerado. Em geral utiliza-se a noção de convergência no sentido absoluto, i.e., que

$$\int_{0^-}^{+\infty} \vert x(t) \vert dt, < \infty$$ (4-2.09)

que é uma noção mais exigente do que, se em vez de $\vert x(t) \vert$, utilizarmos apenas $x(t)$. Devido ao facto de que, em teoria de sinais, a maior parte das funções são de tipo exponencial para as quais

$$\vert x(t) \vert < e^{Ct} \qquad {\rm quando} \qquad t \to \infty,$$

onde $C$ é uma constante real, coloca-se a questão de convergência para este tipo de funções, para as quais é importante relembrar a noção de abcissa de convergência absoluta. Podemos escrever (4-2.7) como

$$F(s) = \displaystyle {\lim_{T \to \infty}} \int_{0^-}^T f(t) e^{-st} dt,$$ (4-2.10)

podendo demonstrar-se que se a função $f(t)$ for de tipo exponencial (4-2.10) converge sempre, i.e., a sua TL existe. Além disso podemos também dizer em geral que

$$\displaystyle {\lim_{s \to \infty}} F(s) =0.$$ (4-2.11)

Trata-se aqui de determinar o domínio do plano $s$ para o qual $F(s)$ existe, de forma a podermos calcular a TL inversa. Para cada caso específico trata-se de calcular um valor $\sigma_a$ real tal que

$$Re [F(s)] > \sigma_a,$$ (4-2.12)

neste caso $\sigma_a$ é chamada abcissa de convergência absoluta.

Exemplo: calcular a abcissa de convergência da função $f(t) = e^{\alpha t}$.

Temos então que

$$F(s) = \displaystyle {\lim_{T \to \infty}} \int_{0^-}^T e^{\alpha t} e^{-st} dt,$$

que se pode fácilmente calcular como sendo

$$F(s) = \displaystyle {\lim_{T \to \infty}} {{1-e^{(s-\alpha)T}}\over {s-\alpha}},$$

e torna-se neste caso claro que $F(s)$ só existe (ou só toma valores finitos) para $s > \alpha$, i.e.,

$$F(s) = \cases {{1\over {s-\alpha}} & $s > \alpha$;\cr \infty & $ s < \alpha$,\cr}$$

e por isso a abcissa de convergência absoluta é neste caso $\sigma_a=\alpha$.