13.1

Bobinas Acopladas

13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.3.a e admitam-se as seguintes condições de funcionamento:

(i) aos terminais da bobina-1 encontra-se aplicada uma fonte de tensão, v₁(t), da qual resulta uma corrente eléctrica i₁(t) no enrolamento e um fluxo magnético F₁(t) no núcleo. A bobina-1 é constituída por N₁ espiras e caracteriza-se por um coeficiente de auto-indução L₁;

(ii) a bobina-2 é constituída por N₂ espiras, caracteriza-se por um coeficiente de auto-indução L₂ e os seus terminais encontram-se em aberto. A corrente na bobina-2 e o fluxo magnético gerado são ambos nulos;

(iii) apenas uma parte F₁₂(t) do fluxo magnético gerado pela bobina-1 atravessa as espiras da bobina-2, sendo o cociente

(13.1)

designado por coeficiente de acoplamento magnético entre enrolamentos.

Figura 13.3 Fenómeno da indução mútua

A Lei de Faraday estabelece que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-1 é, no sentido indicado,

(13.2)

aqui expressa em função do fluxo magnético no núcleo e do número de espiras da bobina, ou então

(13.3)

neste caso expressa em função da corrente na bobina e do respectivo coeficiente de auto-indução. Das relações (13.2) e (13.3) resulta a igualdade

(13.4)

A Lei de Faraday estabelece, também, que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-2 é, no sentido indicado,

(13.5)

em que F₁₂(t) representa a porção do fluxo magnético gerado pela bobina-1 que atravessa as espiras da bobina-2. Substituindo as relações (13.1) e (13.4) na expressão (13.5), obtém-se

(13.6)

em que se define

H, henry

(13.7)

como o coeficiente de indução mútua entre as duas bobinas acopladas.

Considere-se agora o caso oposto em que a fonte de tensão é aplicada aos terminais da bobina-2 e a bobina-1 é deixada em aberto (Figura 13.3.b). Trocando as siglas 1->2 e 2->1 nas expressões (13.2) a (13.7), obtém-se

(13.8)

e

(13.9)

respectivamente para as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas-2 e -1, das quais resulta uma nova expressão para o coeficiente de indução mútua

(13.10)

A igualdade entre os coeficientes de indução mútua M₁₂ e M₂₁ permite obter as relações

(13.11)

e

(13.12)

entre o número de espiras nos enrolamentos (N₁ e N₂), os coeficientes de auto-indução (L₁ e L₂), o coeficiente de acoplamento magnético (k) e o coeficiente de indução mútua (M).

13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4, e admita-se que ambas são percorridas pela mesma corrente, i(t), e que os sentidos dos enrolamentos são concordantes em (a) e discordantes em (b).

Figura 13.4 Associação em série de bobinas acopladas magneticamente

A concordância ou discordância entre os sentidos dos enrolamentos representa-se com base num conjunto de pontos colocados num dos extremos das bobinas. Se os sentidos das correntes nas duas bobinas forem positivos do ponto para a outra extremidade (ou então da outra extremidade para o ponto), os fluxos magnéticos gerados no núcleo comum serão concordantes e o acoplamento dito positivo (vejam-se os casos das Figuras 13.5.a e 13.5.b). Pelo contrário, se os sentidos das correntes forem contrários entre si, tendo sempre como referência a extremidade onde se localiza o ponto, então os fluxos gerados são discordantes, subtraem-se no núcleo e o acoplamento entre as bobinas é dito negativo (vejam-se os casos representados nas Figuras 13.5.c e 13.5.d).

Figura 13.5 Fluxos magnéticos gerados por bobinas acopladas

Retomem-se então as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4. Uma vez que ambos os enrolamentos são percorridos por uma corrente, então ambas as bobinas são sede de fluxo magnético e de força electro-motriz induzida. Por exemplo, no caso representado na Figura 13.4.a as forças electro-motrizes induzidas aos terminais das bobinas-1 e -2 são, respectivamente,

(13.13)

e

(13.14)

das quais resultam a força electro-motriz total

(13.15)

e a indutância total do conjunto de bobinas acopladas e associadas em série

(13.16)

Pode facilmente demonstrar-se que no caso em que os enrolamentos das bobinas apresentam sentidos discordantes, como é o caso representado na Figura 13.4.b, a indutância total do conjunto é expressa pela soma das seguintes três parcelas

(13.17)

Em particular, se o acoplamento magnético entre as bobinas for perfeito, k=1, e as bobinas iguais, então L_-=0 (esta é uma das técnicas utilizadas na construção de resistências bobinadas).

13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente

O comportamento electromagnético de um conjunto de bobinas acopladas pode ser modelizado com base apenas em elementos eléctricos. Por exemplo, o comportamento electromagnético das duas bobinas acopladas representadas na Figura 13.6.a é descrito pelas duas equações de malha

(13.18)

Figura 13.6 Modelo eléctrico equivalente de duas bobinas acopladas magneticamente

que no caso particular do regime forçado sinusoidal se podem representar como

(13.19)

Na Figura 13.6.b representa-se o modelo eléctrico correspondente ao sistema de equações (13.19).

Admita-se agora que aos terminais da bobina-2 se liga uma impedância cuja natureza é capacitiva, Z=(R-jX), conforme à Figura 13.7.

Figura 13.7 Reflexão de impedâncias entre bobinas acopladas

Neste caso, para além das equações em (13.19) o circuito deve também verificar a igualdade

(13.20)

cuja resolução conjunta conduz à expressão da impedância vista dos terminais da bobina-1

(13.21)

A parcela Z_refl em (13.21) designa-se por impedância acoplada e representa a reflexão para os terminais da bobina-1 da indutância da bobina-2 e dos componentes a ela ligados (neste caso a carga Z). Multiplicando e dividindo este termo pelo conjugado do denominador, obtém-se

(13.22)

ou ainda

(13.23)

É o seguinte o significado de cada uma das parcelas na expressão (13.23): a primeira representa a indutância da própria bobina-1, e as segunda e terceira representam, respectivamente, as reflexões para o lado da bobina-1 dos componentes indutivos, capacitivos e resistivos localizadas do lado da bobina-2. Por exemplo, à frequência de ressonância da parte do circuito do lado da bobina-2, isto é quando X=wL₂, a impedância acoplada é resistiva pura

(13.24)