12.1

Resposta em Frequência

12.1.1 Circuito RC

Considere-se o circuito RC de 1.ª ordem representado na Figura 12.1 e admita-se que o fasor da fonte de tensão sinusoidal é V_s=VÐ 0.

Figura 12.1 Circuito RC de 1.ª ordem

A aplicação da regra do divisor de tensão ao circuito permite obter o fasor da tensão aos terminais do condensador

(12.1)

a partir do qual se pode definir o cociente entre fasores

(12.2)

designado por resposta em frequência.

A resposta em frequência, H(jw), é uma função da frequência e dos parâmetros do circuito, definindo em geral um número complexo cuja representação se pode efectuar seja no formato rectangular, com parte real e parte imaginária, seja no formato polar, com amplitude e fase. Por exemplo, no formato polar

(12.3)

em que H(w) e f(w) representam, respectivamente, a amplitude e a fase da função complexa H(jw). Por exemplo, no caso do circuito RC considerado anteriormente

(12.4)

e

(12.5)

em que se define w_p=1/RC.

Um exemplo alternativo é a resposta em frequência do cociente entre os fasores da tensão aos terminais da resistência e da fonte de sinal

(12.6)

onde se inscrevem as funções amplitude e fase da resposta em frequência, respectivamente,

(12.7)

e

(12.8)

Na Figura 12.2 representam-se os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência definida pelas expressões (12.4) e (12.5).

Figura 12.2 Diagramas de amplitude (a) e de fase (b) da resposta em frequência (lineares)

Assim:

(i) à frequência angular w=0 rad/s a amplitude da resposta em frequência é unitária e a fase é nula;

(ii) à frequência angular w=w_p rad/s a amplitude decresce de um factor de 1/Ö 2, ao passo que a fase vale -p/4 radianos;

no limite quando w ® ¥ a amplitude tende para zero e a fase para -p/2 radianos.

Conclui-se, assim, que os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência dão uma indicação do modo como os sinais são transferidos entre os componentes (ou nós) considerados, em particular informação relativa à atenuação ou amplificação da amplitude e ao atraso ou avanço da fase da sinusóide. Recorrendo ao exemplo considerado na Figura 12.2, verifica-se que os sinais sinusoidais cuja frequência angular verifica a relação w<<w_p são transferidos quase na íntegra entre a fonte e os terminais do condensador (na amplitude e na fase), ao passo que aqueles que verificam a relação w>>w_p são atenuados e sofrem um atraso de fase crescente. Como tal, este circuito constitui um filtro de tipo passa-baixo, deixando passar os sinais de baixa frequência e atenuando os de alta frequência.

12.1.2 Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode de amplitude e de fase são representações em escala logarítmica das funções introduzidas na secção anterior. Para além do mais, a amplitude da resposta em frequência é

escalada de acordo com a expressão

dB, decibell

(12.9)

A vantagem da utilização de escalas logarítmicas, na variável w e na amplitude, é a de permitir representar no mesmo gráfico gamas de frequência e valores de amplitude cujas ordens de grandeza são muito distintas. Com efeito, é comum representar no mesmo diagrama gamas de frequência que diferem de 5, 6, ... até 10 ordens de grandeza (décadas), em simultâneo com gamas de amplitude que variam de cinco a seis ordens de grandeza, isto é, variam de 100 a 120 dB. Na tabela 12.1 resume-se a conversão entre unidades lineares e dB. Por exemplo, uma relação de 10 equivale a 20 dB, uma relação de 100 equivale a 40 dB, 1/10 equivale a -20 dB, 2 equivale a 6 dB, 4 equivale a 12, etc.

Tabela 12.1 Tabela de conversão entre unidades lineares e decibell (dB)

Na Figura 12.3 representam-se os diagramas de Bode de amplitude e de fase da resposta em frequência em (12.4) e (12.5). Os pontos notáveis são agora w=0 rad/s, amplitude 0 dB e fase nula; w=w_p, amplitude -3 dB e fase -p/4 radianos; e no limite, quando w ® ¥, uma amplitude de -¥ dB e uma fase de -p/2 radianos.

Figura 12.3 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b)

Duas aproximações de grande utilidade na representação da amplitude e da fase da resposta em frequência são os designados diagramas de Bode assintóticos. Considerem-se então as expressões (12.4) e (12.5), respectivamente

(12.10)

para a amplitude da resposta em frequência, e

(12.11)

para a fase. Por exemplo, no caso da amplitude verifica-se que

(12.12)

expressão que para w<<w_p se pode aproximar por

(12.13)

definindo uma assíntota horizontal, e para w>>w_p por

(12.14)

definindo neste caso uma assíntota com declive -20 dB por década da frequência angular, ou então -6 dB por oitava. Na Figura 12.3 representa-se o diagrama de Bode de amplitude definido pelas assíntotas (12.13) e (12.14).

Considere-se agora a fase da resposta em frequência definida pela expressão (12.11). Neste caso verifica-se que para w<w_p/10

radianos

(12.15)

que para w=w_p

radianos

(12.16)

e que para w>10w_p

radianos

(12.17)

A fase varia de -p/2 radianos em duas décadas de frequência, centradas na frequência w_p, portanto com um declive de -p/4 radianos por década. Na Figura 12.3.b representa-se o diagrama de Bode de fase definido pelas assíntotas (12.15)-(12.17).

Figura 12.4 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b) assintóticos

A principal vantagem dos diagramas de Bode assintóticos é o permitirem representar de forma quase imediata a amplitude e fase da resposta em frequência. A representação da amplitude em escala logarítmica converte o produto e o cociente de factores em somas e subtracções, respectivamente, portanto na soma gráfica das assíntotas respectivas. Por exemplo, no caso da resposta em frequência do cociente entre os fasores das tensões aos terminais da resistência e da fonte, Figura 12.1 e expressões (12.7) e (12.8), verifica-se que o diagrama de Bode de amplitude resulta da soma de duas parcelas

(12.18)

das quais se conhece já as assíntotas relativas à segunda parcela. À primeira parcela

(12.19)

corresponde uma única assíntota com declive 20 dB/década, da qual se sabe, também, que para w=w_p a amplitude vale 0 dB. Na Figura 12.4.a representam-se as assíntotas de cada uma das parcelas em (12.18), em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas. A resposta em frequência é, neste caso, de tipo passa-alto.

Considere-se agora a expressão da fase da resposta em frequência. A fase do produto (cociente) entre números complexos é por si só dada pela soma (diferença) das fases respectivas (eq.(12.8))

(12.20)

Na Figura 12.4.b representam-se as assíntotas de cada um dos termos em (12.20), em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas.

12.1.3 Exemplo de Aplicação

Considere-se o circuito RC representado na Figura 12.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar e representar graficamente os diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos da resposta em frequência do cociente entre os fasores V e V_s.

Figura 12.5 Diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos

A aplicação da regra do divisor de tensão permite obter a resposta em frequência

(12.21)

em que w_z=1/R₂C e w_p=1/(R₁+ R₂)C. A amplitude e a fase da resposta em frequência são expressas pelo cociente

(12.22)

e pela diferença

(12.23)

respectivamente. O diagrama de Bode de amplitude resulta da diferença entre as seguintes duas parcelas

(12.24)

cujas assíntotas se encontram representadas na Figura 12.5.d. A existência de dois patamares na amplitude da resposta em frequência, designadamente para as baixas e para as altas frequências, explicam-se a partir das Figuras 12.5.b e 12.5.c: à frequência angular w=0 radianos o condensador apresenta uma impedância infinita, que conduz à igualdade V=V_s, ao passo que no limite, quando a frequência angular tende para infinito, a impedância do condensador tende para zero e transforma o circuito num divisor resistivo puro. Neste caso, o cociente entre as amplitudes é dado por 20log₁₀[R₂/( R₂+ R₁)]=-40 dB.

No que respeita à fase da resposta em frequência, trata-se de adicionar graficamente as assíntotas correspondentes às duas parcelas em (12.23). A fase do termo no numerador varia de p/2 radianos em duas décadas centradas em w_z, enquanto o termo no denominador varia de -p/2 radianos nas duas décadas centradas em w_p. Na Figura 12.5.e representa-se o diagrama de Bode de fase assintótico.