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Circuitos Ressonantes
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12.2.1 Circuito Ressonante SérieConsidere-se o circuito RLC representado na Figura 12.6.a, cuja fonte de sinal se admite ser de tipo sinusoidal (Vs=VÐ 0º).
Figura 12.6 Circuitos ressonantes série (a) e paralelo (b) O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente
em que XL=wL e XC=1/wC. A corrente no circuito é máxima quando se verifica a igualdade XL=XC, isto é, quando
ou, ainda,
designada por frequência de ressonância. A esta frequência verifica-se a igualdade
a qual implica uma diferença de fase nula entre os fasores da tensão e da corrente no circuito. Considerem-se os fasores das tensões aos terminais de cada um dos componentes (R, L e C) à frequência de ressonância,
e
em que
define o factor de qualidade do circuito. O somatório dos fasores das tensões aos terminais do condensador e da bobina é, por definição de ressonância, nulo
apesar de a tensão aos terminais de cada um em separado poder atingir amplitudes muito superiores à da própria fonte de sinal. Por exemplo, se ao circuito representado na Figura 12.6.a se atribuírem os valores V=1V, R=10W, L=1mH e C=1nF, portanto Qs=100, então à frequência w=106 rad/s a amplitude da tensão aos terminais dos componentes L e C atinge valores tão elevados quanto 100 V. Um outro aspecto a ter em conta na ressonância é a dissipação e as trocas de energia que ocorrem nos e entre os componentes do circuito. Considerando ainda o circuito RLC-série da Figura 12.6.a, constata-se que a potência média dissipada pela resistência na ressonância é
e que as potências reactivas médias acumuladas na bobina e no condensador são, respectivamente,
e
ambas Qs vezes superiores à potência dissipada por efeito de Joule na resistência. Pode também dizer-se que o factor de qualidade de um circuito é o cociente entre a potência média acumulada nos elementos reactivos e a potência média dissipada por efeito de Joule no componente resistivo (na ressonância)
Na ressonância, o condensador e a bobina trocam entre si as energias acumuladas, e não com a fonte. Considere-se ainda o circuito RLC-série em conjunto com a expressão do fasor da corrente respectiva
A corrente no circuito é máxima à frequência de ressonância (XL=XC), e tende para zero nos limites quando a frequência se aproxima de zero ou de infinito. Como se indica na Figura 12.7, este comportamento em frequência indica tratar-se de um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância. Designam-se por frequências de corte do filtro os valores de w para os quais a amplitude da resposta em frequência decresce de um factor de Ö 2 relativamente ao valor máximo (na figura indicadas pelas siglas w1 e w2), e por largura de banda a diferença
Figura 12.7 Resposta em frequência de um circuito RLC-série ressonante As frequências de corte ocorrem quando se verifica a igualdade
ou seja
A frequência de corte w2 ocorre quando
isto é,
Por outro lado,
que em conjunto com (12.42) conduz à largura de banda
A frequência de ressonância e as frequências de corte verificam a igualdade
Na Figura 12.8 ilustra-se o efeito da variação dos parâmetros R, L e C sobre a selectividade da resposta em frequência do circuito ressonante série. No primeiro caso, Figura 12.8.a, mantêm-se fixas a capacidade do condensador e a indutância da bobina e varia-se o valor da resistência, isto é, mantém-se fixa a frequência central da banda de passagem e varia-se o factor de qualidade, a largura de banda e o valor da corrente na resistência. No segundo caso, representado em 12.8.b, varia-se o cociente L/C e mantêm-se fixos os valores do produto LC e da resistência, ou seja, mantêm-se fixos a frequência de ressonância e o valor máximo da corrente na resistência, e varia-se o factor de qualidade e a largura de banda respectiva.
Figura 12.8 Efeito dos parâmetros do circuito sobre a selectividade da resposta em frequência Um outro aspecto característico do circuito ressonante série é a amplitude da resposta em frequência das funções de transferência da entrada para os terminais da resistência, do condensador e da bobina. Por exemplo, no caso da tensão aos terminais da resistência obtém-se
a qual coincide na forma com a resposta em frequência da corrente. Pelo contrário, nos casos das tensões aos terminais do condensador e da bobina, obtém-se, respectivamente,
e
Como se pode verificar na Figura 12.9.a., os valores máximos das tensões aos terminais do condensador e da bobina não ocorrem exactamente à frequência de ressonância. No entanto, e como se indica na Figura 12.9.b, quando o factor de qualidade é superior a 10, as frequências de máximo são praticamente coincidentes com a frequência de ressonância do circuito. Por outro lado, verifica-se ainda que:
Figura 12.9 Comparação das respostas em frequência das tensões aos terminais da resistência, do condensador e da bobina 12.2.2 Circuito Ressonante ParaleloConsidere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 12.10, aos terminais do qual se admite aplicada uma fonte de corrente sinusoidal cujo fasor é I=IÐ 0.
Figura 12.10 Circuito RLC-paralelo ressonante Este circuito apresenta um conjunto de características em tudo semelhantes às do circuito RLC-série, designadamente no que respeita à frequência de ressonância, ao factor de qualidade, à resposta em frequência e à largura de banda. Por exemplo, a admitância do circuito
caracteriza-se pela frequência de ressonância
à qual a impedância do circuito é máxima. Pode facilmente demonstrar-se que o factor de qualidade e a largura de banda são expressos por
e por
respectivamente, ao passo que as frequências de corte do filtro passa-banda correspondente são
Na prática, a análise do circuito RLC-paralelo deve ter em conta a resistência de perdas do enrolamento da bobina, RL, conforme se indica na Figura 12.11.a. Apesar de esta topologia ser aparentemente distinta daquela considerada anteriormente, podem facilmente calcular-se os valores da bobina e da resistência equivalente que o reconduzem à rede paralela anterior (Figura 12.11.b).
Figura 12.11 Circuito RLC-paralelo ressonante com resistência de perdas na bobina Assim, uma vez que
a multiplicação do numerador e do denominador pelo complexo conjugado (R-jwL) conduz ao resultado
Note-se, no entanto, que a resistência equivalente de perdas é uma função da frequência angular, e que a indutância equivalente é uma função da resistência de perdas. O circuito equivalente representado na Figura 12.11.b apresenta duas frequências características essencialmente distintas: a frequência de ressonância, à qual a parte imaginária da admitância do circuito é nula e a frequência de admitância mínima. Estas duas frequências não coincidem necessariamente, pois neste circuito a resistência e a indutância equivalentes são ambas uma função da frequência. A frequência de ressonância é tal que verifica a igualdade
portanto
ou ainda
A frequência de máxima impedância do circuito é obtida igualando a zero a derivada da expressão (12.57) que, após simplificação, conduz a
portanto, à conclusão de que wr>wZmax. O factor de qualidade deste circuito é dado pelo cociente da resistência pela impedância da bobina equivalente (ou da capacidade) à frequência de ressonância (ver Figura 12.11.b)
Contudo, na maior parte dos casos práticos verifica-se que RLeq<<Rs e, portanto,
coincide com o factor de qualidade da própria bobina. Na Tabela 12.2 resumem-se as principais equações que caracterizam os circuitos ressonantes série, paralelo ideal e paralelo real.
Tabela 12.2 Equações características dos circuitos ressonantes série, paralelo ideal e paralelo real |
