12.3

Notação de Laplace

12.3.1 Função de Transferência

Considere-se o circuito RL na Figura 12.12.a e admita-se que a fonte de sinal é sinusoidal.

Figura 12.12 Circuito RL no domínio do tempo (a), em notação fasorial (b) e na notação de Laplace (c)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões ao circuito permite escrever, no domínio do tempo,

(12.63)

e em notação fasorial (Figura 12.12.b)

(12.64)

Por exemplo, em notação fasorial pode definir-se a resposta em frequência

(12.65)

que, neste caso, expressa a admitância do circuito vista a partir dos terminais da fonte. Contudo, a aplicação da transformada de Laplace à igualdade (12.63), admitindo condições iniciais nulas (Figura 12.12.c), permite escrever

(12.66)

em que s=s+jw define uma variável no plano complexo. O cociente

(12.67)

designa-se por função de transferência entre as variáveis tensão na entrada e corrente no circuito.

A relação entre a resposta em frequência e a função de transferência é

(12.68)

isto é, a resposta em frequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário (recorde-se que s é uma variável complexa). Esta igualdade permite escrever as impedâncias dos elementos resistência e bobina na notação de Laplace

(12.69)

podendo facilmente demonstrar-se que no caso do condensador se obtém

(12.70)

Na Tabela 12.3 indicam-se as características da resistência, do condensador e da bobina no domínio do tempo, em notação fasorial e na notação de Laplace.

COMPONENTE	DOMÍNIO TEMPO	NOTAÇÃO FASORIAL	NOTAÇÃO LAPLACE	IMPEDÂNCIA FAS./LAPLA.
resistência	v(t)=R.i(t)	V=RI	V(s)=RI(s)	R
condensador		I=jwCV	I(s)=sCV(s)
bobina		V=jwLI	V(s)=sLI(s)	jwL sL

Tabela 12.3 Características dos elementos resistência, condensador e bobina

As funções de transferência são em geral definidas por um cociente de dois polinómios

(12.71)

que, por sua vez, podem ser escritos na forma de um produto de factores

(12.72)

As raízes dos polinómios no numerador (-z_i) e no denominador (-p_i) designam-se por zeros e pólos da função da transferência, respectivamente, raízes que dependem dos parâmetros do circuito e são, no caso geral, números complexos.

Considerem-se então os três circuitos representados nas Figuras 12.13.a, 12.13.b e 12.13.c.

Figura 12.13 Diagrama de pólos e zeros

No primeiro caso, Figura 12.13.a, a função de transferência entre as variáveis V_s(s) e V_C(s) é expressa pelo cociente

(12.73)

e apresenta um pólo real negativo em -1/RC. Por outro lado, no caso do circuito RLC representado na Figura 12.13.b, a função de transferência entre a fonte de sinal e a tensão aos terminais do condensador é dada pelo cociente

(12.74)

cuja representação na forma de um produto de factores é

(12.75)

em que

(12.76)

Os pólos em (12.76) podem ser reais, negativos e distintos (Q<0.5); reais, negativos e iguais (Q=0.5); ou ainda complexos conjugados (Q>0.5). Finalmente, no caso do circuito da Figura 12.13.c, a função de transferência entre os terminais da fonte de sinal e os terminais da resistência e da bobina é

(12.77)

ou seja,

(12.78)

em que z₁=0, z₂=R/L=w_o/Q e p₁ e p₂ são dados pela expressão (12.76) anterior. Neste caso, e como indicado na Figura 12.13.c, a função de transferência é composta por dois zeros, um dos quais na origem, e dois pólos, neste caso considerados como reais, negativos e distintos (Q<0.5).

Uma das vantagens da notação de Laplace, e em particular da escrita da função de transferência na forma de um produto de factores, é a possibilidade de a partir do diagrama de pólos e zeros ser possível identificar o andamento da amplitude e da fase da resposta em frequência correspondente. Considere-se então a função de transferência

(12.79)

neste caso com um zero real negativo e dois pólos complexos conjugados (Figura 12.14.a). A resposta em frequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário

(12.80)

cuja representação em formato polar é

(12.81)

Como se vê nas Figuras 12.14.b a 12.14.g, a amplitude e a fase podem ser identificadas com as amplitudes e os ângulos (com o eixo real positivo) dos segmentos que unem os pólos e os zeros ao ponto no eixo imaginário correspondente à frequência angular. Por exemplo, nas Figuras 12.14.b e 12.14.c representam-se as amplitudes e os ângulos dos vectores correspondentes à frequência angular w=0 rad/s; nas Figuras 12.14.d e 12.14.e considera-se a frequência angular w=1 rad/s; e nas Figuras 12.14.f e 12.14.g considera-se o limite quando a frequência angular tende para infinito. Constata-se, assim, que a fase na origem (w=0 rad/s) é nula e tende para -p/2 radianos no limite sempre que a frequência angular tende para infinito.

Figura 12.14 Determinação gráfica da amplitude e da fase da resposta em frequência

12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos

Considere-se a função de transferência

(12.82)

definida pelo cociente entre dois polinómios na variável s, um de ordem-N (numerador) e outro de ordem-D (denominador). Nos sistemas estáveis as raízes podem ser:

(i) zeros reais, negativos, nulos ou positivos, ou então complexos conjugados;

(ii) pólos reais, negativos ou nulos, ou então complexos conjugadas com parte real negativa (os pólos com parte real positiva encontram-se associados a sistemas instáveis).

A forma factorizada de uma função de transferência é, portanto,

(12.83)

em que o termo K_ND define uma constante, os índices R_oz e R_op definem o número de zeros e de pólos na origem, R_z e R_p indicam o número de zeros e pólos reais e, finalmente, C_z e C_p representam o número de pares de zeros e de pólos complexos conjugados, respectivamente. Existem, portanto, sete tipos de factores cujos diagramas de Bode assintóticos interessa identificar:

(i) constantes;

(ii) zeros na origem;

(iii) pólos na origem;

(iv) zeros reais, negativos ou positivos;

(v) pólos reais negativos;

(vi) zeros complexos conjugados;

(vii) pólos complexos conjugados com parte real negativa.

Factores Constantes: os diagramas de Bode de amplitude e de fase dos factores constantes são constituídos por assíntotas horizontais de valor

(12.84)

no caso da amplitude, e de valor

(12.85)

no caso da fase.

Figura 12.15 Factores constantes

Zeros e Pólos na Origem: os zeros na origem caracterizam-se por uma assíntota oblíqua cujo declive é 20dB por década e por pólo,

(12.86)

às quais pertence o ponto w=1 rad/sec, 0 dB. Pelo contrário, os pólos na origem caracterizam-se por uma assíntota oblíqua com declive negativo,

(12.87)

Os diagramas de fase dos zeros e dos pólos na origem são constituídos por assíntotas horizontais, no primeiro caso de valor R_oz*p/2 radianos e no segundo de -R_op*p/2 radianos.

Figura 12.16 Zeros e pólos na origem

Zeros e Pólos reais: as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e de fase dos pólos e dos zeros reais foram determinadas na Secção 12.1.2. Por exemplo, no caso dos zeros

dB

(12.88)

para frequências inferiores ao módulo do zero, e

dB/década

(12.89)

para frequências superiores. No caso dos pólos

dB

(12.90)

e

dB/década

(12.91)

respectivamente para frequências inferiores e superiores ao módulo do pólo (Figura 12.17.b). A fase varia de p/2 radianos em torno da frequência do zero ou do pólo.

Figura 12.17 Zeros reais positivos e negativos (a) e pólos reais negativos (b)

Zeros e Pólos Complexos Conjugados: Nas funções de transferência com coeficientes reais, os zeros e os pólos complexos são sempre conjugados dois a dois. Considere-se então o par de zeros complexos conjugados

(12.92)

em que Q e w_o são, respectivamente, o factor de qualidade e a frequência natural (os sinais + e - aplicam-se aos zeros complexos conjugados com parte real positiva e negativa, respectivamente). A resposta em frequência é, neste caso,

(12.93)

em que x=w/w_o define a frequência angular normalizada a w_o. De (12.93) resultam

(12.94)

e

(12.95)

respectivamente para a amplitude e para a fase. Na expressão da amplitude identificam-se as seguintes duas assíntotas:

(12.96)

para x<<1, e

(12.97)

isto é, 40 dB por década para x>>1 (ver Figura 12.18.a). No que respeita à fase, as assíntotas são

(12.98)

para x<<1, e

(12.99)

para x>>1.

Figura 12.18 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

As assíntotas constituem uma boa aproximação dos diagramas de Bode apenas nos casos em que x>>1 ou x<<1, ou então quando o factor de qualidade é próximo de ½. Como se indica na Figura 12.19, para factores de qualidade muito distintos de ½, o diagrama de Bode de amplitude difere substancialmente das assíntotas junto à frequência normalizada x=1, apresentando em particular sobre-atenuações (zeros) ou sobre-elevações (pólos). No diagrama de fase, factores de qualidade elevados conduzem a transições abruptas de amplitude p radianos junto ao valor de x=1, enquanto factores de qualidade inferiores a ½ conduzem a transições relativamente lentas.

Figura 12.19 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos