Diagramas

No capítulo anterior introduzimos a noção de fasor que é um passo essencial para o uso da notação complexa e a enorme simplificação que esta produz nas equações dos circuitos em regime permanente sinusoidal. Notamos porém, que se esta potente ferramenta de cálculo for utilizada no cálculo intermédio com o objectivo de determinar apenas a resposta temporal, parte da sua economia perde-se no cálculo da parte real do sinal resposta.

Com efeito, esta ferramenta adquire toda sua potencialidade quando se pretende, não obter a resposta temporal, mas sim a resposta frequencial de um determinado circuito. Frequentemente pretendemos determinar qual a resposta de um determinado circuito em regime permanente sinusoidal a diversas frequências do sinal excitação. A este tipo de resposta dá-se o nome de resposta em frequência e é classicamente representada em termos da relação entrada-saída através de diagramas que são: o diagrama de Bode, diagrama cartesiano e diagrama polar ou de Nyquist.

Tomemos como exemplo o caso do circuito RC estudado atrás. A relação entrada-saída pode-se escrever a partir de (6-4.2) como

$$A(\omega) = {{\vec V_C}\over {\vec V}} = {1\over {1+jRC\omega}}$$ (6-5.01)

esta relação, que chamaremos $A(\omega)$, e que neste caso é sem dimensão, visto que a relação entrada-saída desejada é tensão-tensão, é uma grandeza complexa que tem módulo e fase.

a) Diagrama de Bode

No diagrama de Bode representa-se o módulo e a fase em gráficos separados sendo a ordenada do módulo em décibeis (dB) e o da fase em graus. Em ambos os casos a abcissa é a frequência em Hz.

O módulo obtem-se no caso de (6-5.1) fazendo

$$\vert A(\omega) \vert_{(dB)} = 20 \log_{10} \vert {{\vec V_C}\over {\vec V}} \vert,$$ (6-5.02)

com

$$\vert {{\vec V_C}\over {\vec V}} \vert = \sqrt {1+R^2C^2\omega^2},$$ (6-5.03)

e portanto

$$\vert A(\omega) \vert_{(dB)} = -10 \log_{10} (1+R^2 C^2\omega^2),$$ (6-5.04)

pondo $\omega_0 = 1/RC$ temos que

$$\vert A(\omega) \vert_{(dB)} = -10 \log_{10} [1+\Bigl( {{\omega}\over {\omega_0}} \Bigr)^2],$$ (6-5.05)

a curva de fase, notada $\angle A(\omega)$, escreve-se com as mesmas definições a partir de (6-5.1)

$$\angle A(\omega) = -\arctan \Bigl( {{\omega}\over {\omega_0}}\Bigr).$$ (6-5.06)

Pode-se fazer a representação de (6-5.5) e (6-5.6) notando alguns valores particulares e assimptóticos. Na prática o diagrama de Bode faz-se em papel dito semi-logarítmico, onde o eixo das frequências é, não $\omega$, mas sim $\log_{10} \omega$. Podemos então notar que, por exemplo, quando $\omega \to 0$ o gráfico do módulo tende para uma assímptota horizontal de ordenada $=0$ dB. Quando por sua vez $\omega \to \infty$, no caso do módulo, o rácio $\omega/omega_0 » 1$ e portanto $\vert A(\omega) \vert_{dB} \to -20 \log_{10} \omega + 20\log_{10} \omega_0$, a assímptota é $-20 \log_{10} \omega+20\log_{10} \omega_0$ o que, num gráfico semi-logarítmico com $X=\log_{10} \omega$, é do tipo $y(X)=-20 X + X_0$, o que representa uma recta de declive $-20$ e ordenada na origem $-20X_0$, onde $X_0=\log_{10}\omega+0$. Quer isto dizer que quando $\omega$ varia para $10\omega$, $X$ varia para $X+1$ e portanto a recta $y(X+1)=y(X)-20$. Em resumo quando $\omega$ varia de uma década, i.e., é multiplicada por 10, então a assímptota ``desce'' 20 dB. Dizemos nesse caso que o gráfico de amplitude admite uma assímptota de -20 dB/década quando $\omega \to \infty$. A curva de fase deduz-se facilmente da sua expressão (6-5.6). Em resumo temos que

$$\omega \to 0 \Rightarrow \vert A(\omega) \vert_{(dB)} \to 0 dB \qquad \angle A(\omega) = 0$$

$$\omega \to \infty \Rightarrow \vert A(\omega) \vert_{(dB)} \t... ...0} \omega+20\log_{10} \omega_0 \qquad \angle A(\omega) = -\pi/2$$

$$\omega=\omega_0 \Rightarrow \vert A(\omega) \vert_{(dB)} = -3 dB \qquad \angle A(\omega) = -\pi/4$$

Figura 6.6: representação de Bode.

A título de exemplo, as equações (6-5.5) e (6-5.6) encontram-se representadas na figura 6.6 para $\omega_0=100$ rd/s, i.e., $f_0=\omega_0/2\pi=$ 16.9 Hz.

b) Diagrama cartesiano

No caso do diagrama cartesiano usa-se, como o nome indica, a notação cartesiana de um número complexo. Assim, procura-se colocar a relação entrada-saída sob a forma $X+jY$. No caso da equação (6-5.1),

$$X+jY = {1\over {1+R^2 C^2\omega^2}} - j {{RC\omega}\over {1+R^2 C^2\omega^2}},$$ (6-5.07)

da qual se deduz fácilmente $X$ e $-Y$ que se traçam em geral no mesmo gráfico semi-logarítmico em função da frequência $f$ como exemplificado no gráfico da figura 6.7 para o mesmo valor de $f_0$ que anteriormente.

Figura 6.7: representação cartesiana.

c) Diagrama de Nyquist

Este diagrama utiliza a notação polar complexa na qual um número complexo é representado por um vector cujo comprimento é o módulo de $A(\omega)$ (eventualmente em dB's) e o ângulo é a fase de $A(\omega)$ parameterizado em $f$ ou $\omega$. i.e.,

$$A(\omega) = \vert A(\omega) \vert \exp\{ j\angle A(\omega)\}$$ (6-5.08)