Preparação

1. Medida de diferenças de fase com o método directo

Para medir a diferença de fase entre dois sinais podemos utilizar o método de medida directa aplicando cada um dos sinais aos canais X e Y do osciloscópio. Ajusta-se a base de tempo de forma a que o meio período de um dos sinais preencha completamente o ecrã na horizontal. De forma a obter uma maior precisão na medida amplificam-se verticalmente os sinais de modo a obter uma interseção franca quase a 90 graus do traço luminoso com o eixo horizontal do tempo. Conta-se o número de quadriculas horizontais que separam os traços dos dois sinais. A diferença de fase obtem-se sabendo que o ecrã completo, i.e., dez quadriculas, corresponde a $\pi$ e fazendo a proporção. O resultado é directamente obtido em radianos. Este método também pode ser utilizado para medir o atraso temporal entre os dois sinais. Em todas as medidas com o osciloscópio deveremos colocar-nos de modo a obter uma visão frontal do ecrã e nunca de lado, de forma a evitar erros de paralaxe nas medidas.

2. Medida de diferenças de fase com o método da elipse

Figura E.11: método da elipse.

Consideremos dois sinais sinusoidais aplicados nos canais X e Y de um osciloscópio (eixos ortogonais OX e OY da figura E.11),

$$\cases { x(t)& = $A\cos \omega t$\cr y(t)& = $B\cos (\omega t - \phi)$\cr}.$$

A composição destas duas equações obtem-se eliminando o tempo $t$ entre elas, i.e., o ponto luminoso no ecrã vai ser desviado horizontal e verticalmente em simultâneo, formando assim uma figura parameterizada pela variável tempo.

a)

comece por definir

$$x'={x\over A}=\cos \omega t$$

$$y'={y\over B}=\cos (\omega t-\phi)=x'\cos \phi+\sin \omega t \sin \phi,$$

e demonstre que

$$x'^2+y'^2-2x'y'\cos\phi-\sin^2\phi=0.$$

b)

sabendo que a equação anterior é a equação de uma elipse rodada de $\pi/4$, faça uma mudança de variável

$$x'=x''\cos {\pi\over 4}-y''\sin{\pi\over 4}={{x''-y''}\over {\sqrt 2}}$$

$$y'=x''\sin {\pi\over 4}+y''\cos{\pi\over 4}={{x''+y''}\over {\sqrt 2}},$$

demonstre que

$${{x''^2}\over {2\cos^2 {\phi\over 2}}}+{{y''^2}\over {2\sin^2 {\phi\over 2}}}=1.$$

c)

que é agora uma elipse segundo os eixos OX''/OY''. Calcule os meios eixos segundo OX'' e OY'', respectivamente $a$ e $b$. Demonstre que o valor do atraso $\phi$ entre as duas formas de onda se calcula como sendo

$$\tan {\phi\over 2}={b\over a}$$