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Folhas de Exercícios


Revisões sobre sistemas e sinais

Exercício 1: Um sistema é representado pela sua resposta impulsiva h(t) mathend000#. A excitação x(t) mathend000# do sistema é dada por

x(t) = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} ({E\over T})t, & 0<t<T/2;\\ E-({E\over T})t, & T/2<t<T;\\ 0, & t>T. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll} ({E\over T})t, & 0<t<T/2;\\ E-({E\over T})t, & T/2<t<T;\\ 0, & t>T. \end{array}$

mathend000#

a)
representar o sinal de excitação x(t) mathend000#
b)
determinar por convolução, a resposta y(t) mathend000# à excitação x(t) mathend000#.

Exercício 2:

a)
demonstre que se F1(s) mathend000# e F2(S) mathend000# forem respectivamente as Transformadas de Laplace dos sinais f1(t) mathend000# e f2(t) mathend000# então

TL[f1(t) * f2(t)] = Fs(s)F2(s)

mathend000#

b)
demonstre que qualquer função x(t) mathend000# pode ser representada por

x(t) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$x($\displaystyle \tau$)$\displaystyle \delta$(t - $\displaystyle \tau$)dt

mathend000#

onde $ \delta$(t) mathend000# é o Dirac.

Exercício 3:

Calcule as Transformadas de Fourier dos seguintes sinais

a)
s1(t) = rect(t) mathend000#
b)
s2(t) = sinc(t) mathend000#
c)
s3(t) = exp[- (1/2)(t/$ \sigma$)2] mathend000#
d)
s4(t) = $ \delta$(t) mathend000#
e)
s5(t) = 1 mathend000#
f)
s6(t) = u(t) mathend000#
g)
s7(t) = A sin($ \omega_{0}^{}$t) mathend000#

Exercício 4:

Considere o sinal complexo

x(t) = A exp(j$\displaystyle \omega_{0}^{}$t)

mathend000#

a)
calcule a sua Transformada de Fourier
b)
calcule a sua função de autocorrelação
c)
calcule a sua densidade espectral de potência


Revisões sobre probabilidades e variáveis aleatórias

Exercício 1:

Considere uma VA X mathend000#, gaussiana de função densidade de probabilidade (FDP)

p(x) = $\displaystyle {1\over {\sqrt{2\pi\sigma^2}}}$exp$\displaystyle {\{ -{{(x-m)^2}\over {2\sigma^2}}\}}$

mathend000#

com os parâmetros m = 0 mathend000# e $ \sigma^{2}_{}$ = 1 mathend000#. Demonstre que

a) o integral de p(x) mathend000# é igual a 1

b) a sua variância é também igual a 1.

c) a sua função característica $ \Phi_{X}^{}$(u) mathend000# é

log$\displaystyle \Phi_{X}^{}$(u) = jmu + $\displaystyle {{\sigma^2 u^2}\over 2}$

mathend000#

Exercício 2:

Ao resultado da experiência de jogar uma moeda ao ar associamos uma VA discreta X mathend000#. Esta VA discreta só toma um número finito de valores, neste caso igual a dois: ``cara'' ou ``coroa''. À acontecimento de obter coroa associamos a probabilidade p mathend000#, Pr($ \omega$ = 'coroa$\scriptstyle \prime$|X = 0) = p mathend000#, assim Pr($ \omega$ = 'cara$\scriptstyle \prime$|X = 1) = 1 - p = q mathend000#.

a) qual a esperança matemática E[X] mathend000# ? E o momento de ordem k mathend000#, E[Xk] mathend000# ?

b) calcular a variância V[X] mathend000#.

c) demonstrar que a função característica da VA X, $ \phi_{X}^{}$(u) mathend000# se escreve

$\displaystyle \phi_{X}^{}$(u) = 1 + q[exp(ju) - 1]

mathend000#

Exercício 3:

Uma VA discreta X mathend000# segundo a distribuição de Poisson toma os valores inteiros 0, 1, 2,... mathend000# com as probabilidades,

pk = Pr(X = k) = $\displaystyle {{m^k}\over {k!}}$exp(- m)$\displaystyle \eqno$(1)

mathend000#

a) demonstrar que o momento de ordem 1, m1 = m mathend000#.

b) demonstrar que o momento de ordem 2, $ \sigma^{2}_{}$ = m mathend000#.

c) calcular as probabilidades

P+ = Pr(X = numero par)

mathend000#

e

P- = Pr(X = numero impar)

mathend000#

sabendo que, óbviamente, P+ + P- = 1 mathend000#.

d) calcular a função característica de X mathend000#, $ \phi_{X}^{}$(u) mathend000# com a distribuição de Poisson (1).

Exercício 4:

Demonstrar que para uma VA Gaussiana X mathend000# de média $ \mu$ mathend000# e variância $ \sigma^{2}_{}$ mathend000# temos

Pr[X > x] = Q$\displaystyle \left(\vphantom{ {{x-\mu}\over {\sigma}} }\right.$$\displaystyle {{x-\mu}\over {\sigma}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ {{x-\mu}\over {\sigma}} }\right)$

mathend000#

Exercício 5:

Considere uma combinação linear arbitrária de N mathend000# VA's Gaussianas Xi mathend000#, independentes, de média zero e variância $ \sigma^{2}_{}$ mathend000#,

Z = a1X1 +...+ aNXN

mathend000#

Utilizando a função característica demonstre que Z mathend000# é também Gaussiana de média nula e de variância

$\displaystyle \sigma_{Z}^{2}$ = (a12 +...+ aN2)$\displaystyle \sigma^{2}_{}$

mathend000#

Exercício 6:

A densidade de probabilidade de Cauchy é

p(x) = $\displaystyle {{a/\pi}\over {x^2+a^2}}$         - $\displaystyle \infty$ < x < $\displaystyle \infty$$\displaystyle \eqno$(1)

mathend000#

a) determine a média e a variância de X mathend000#

b) determine a função característica de X mathend000#

Exercício 7:

Uma VA Y mathend000# é definida por

Y = $\displaystyle {1\over n}$$\displaystyle \sum_{{i=1}}^{n}$Xi

mathend000#

onde Xi;i = 1,..., n mathend000# é um conjunto de n mathend000# VA's estatísticamente independentes e indênticamente distribuidas segundo a distribuição de Cauchy (1).

a) determine a função característica de Y mathend000#

b) detemine a densidade de probabilidade de Y mathend000#

c) considere a densidade de probabilidade de Y mathend000# quando n$ \to$$ \infty$ mathend000#. O teorema do limite central verifica-se ? Justifique a sua resposta.


Sinais para comunicações

Exercício 1:

Um sistema ''phase splitter'' é tal que a sua resposta em frequência se escreve

$\displaystyle \Phi$($\displaystyle \omega$) = \begin{displaymath}\begin{cases} 1, & \omega \ge 0\\ 0, & \omega < 0\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

demonstre que a resposta do sistema ''phase splitter'' a um sinal real x(t) mathend000# é

y(t) = $\displaystyle {1\over 2}${x(t) + j$\displaystyle \hat{x}$(t)}

mathend000#

onde $ \hat{x}$(t) = H[x(t)] mathend000# é a transformada de Hilbert de x(t) mathend000#.

Exercício 2:

Considere o esquema de blocos da figura D.1, onde y(t) mathend000# é um sinal passa banda com o seu espectro centrado em $ \omega_{c}^{}$ mathend000# e $ \phi$(t) mathend000# é a resposta impulsiva de um ''phase splitter'' indicado no exercício 1.

Figura D.1: phase splitter
\includegraphics[width=12cm]{figs/td2-1.eps}

a)
demonstre que o sinal de saída u(t) mathend000# é um sinal passa baixo que se escreve

u(t) = $\displaystyle {1\over {\sqrt{2}}}${y(t) + j$\displaystyle \hat{y}$(t)}e-j$\scriptstyle \omega_{c}$t

mathend000#

b)
demonstre que u(t) mathend000# e y(t) mathend000# têm a mesma energia devido ao coeficiente $ \sqrt{{2}}$ mathend000#.

Exercício 3:

Atendendo a que H[x(t)] = $ \hat{x}$(t) mathend000# demonstre que

H[$\displaystyle \hat{x}$(t)] = - x(t)

mathend000#

Exercício 4:

Considerando o sinal

x(t) = cos($\displaystyle \omega_{0}^{}$t)

mathend000#

a)
calcule a transformada de Hilbert $ \hat{x}$(t) mathend000#
b)
calcule H[$ \hat{x}$(t)] mathend000#. Verifique o resultado do exercício anterior.

Exercício 5:

a)
calcule a transformada de Hilbert $ \hat{x}$(t) mathend000# de

x(t) = $\displaystyle {1\over {1+t^2}}$

mathend000#

b)
faça um esboço de x(t) mathend000# e $ \hat{x}$(t) mathend000#

Exercício 6:

Considere o espectro de um sistema realizável h(t) mathend000#

H($\displaystyle \omega$) = R($\displaystyle \omega$) + jX($\displaystyle \omega$)

mathend000#

com

R($\displaystyle \omega$) = $\displaystyle \pi$$\displaystyle \delta$($\displaystyle \omega$)

mathend000#

Determine a parte imaginária X($ \omega$) mathend000#


Sinais em banda passante

Exercício 1:

Considere um processo estocástico Z(t) mathend000#, definido por

Z(t) = S(t)ej$\scriptstyle \omega_{c}$t

mathend000#

onde S(t) mathend000# é um processo estocásticos estacionário. Demonstre que se E[S(t)] = 0 mathend000# então Z(t) mathend000# é também estacionário e que as funções de correlação são ligadas por

RZ($\displaystyle \tau$) = RS($\displaystyle \tau$)ej$\scriptstyle \omega_{c}$t

mathend000#

Determine igualmente o espectro PZ($ \omega$) mathend000# de Z(t) mathend000#.

Exercício 2:

Demonstre que Z(t) mathend000# e Z * (t) mathend000# (do exercício anterior) são conjuntamente estacionários se e só se

RSS * ($\displaystyle \tau$) = 0

mathend000#

Demonstre ainda que esta mesma condição implica também que

RZZ * ($\displaystyle \tau$) = 0

mathend000#

Exercício 3:

Considerando o sinal estocástico complexo S(t) = R(t) + jI(t) mathend000#, demonstre que RSS * ($ \tau$) = 0 mathend000# implica

RR($\displaystyle \tau$) = RI($\displaystyle \tau$)

mathend000#

e que

RRI($\displaystyle \tau$) = - RIR($\displaystyle \tau$) = - RRI($\displaystyle \tau$)

mathend000#

Exercício 4:

O equivalente em banda base de um sinal PAM passa banda pode-se escrever

S(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{\infty}}$Akh(t - kT + $\displaystyle \Theta$)

mathend000#

onde h(t) mathend000# pode ser complexo e $ \Theta$ mathend000# é um termo de fase aleatório. Considerando que Ak mathend000# é uma sequência aleatória estacionária e independente de $ \Theta$ mathend000#, demonstre que

a) uma condição suficiente para que RSS * ($ \tau$) = 0 mathend000# é que

E[AkAm] = 0$\displaystyle \eqno$(1)

mathend000#

b) que para que (1) seja satisfeita é suficiente que as partes real e imaginária de Ak mathend000# tenham a mesma função de autocorrelação e que seja descorrelacionadas uma da outra.

Exercício 5:

Seja

X(t) = $\displaystyle \sqrt{{2}}$Re{Z(t)} = $\displaystyle {1\over {\sqrt{2}}}$[Z(t) + z * (t)]

mathend000#

a) demonstre que X(t) mathend000# é estacionário se e só se S(t) mathend000# tiver média nula, for também estacionário e tal que

RSS * ($\displaystyle \tau$) = 0

mathend000#

b) demonstre também que sob as condições enumeradas em a) a função de autocorrelação de X(t) mathend000# se escreve

RX($\displaystyle \tau$) = Re{RZ($\displaystyle \tau$)} = Re{ej$\scriptstyle \omega_{c}$$\scriptstyle \tau$RS($\displaystyle \tau$)}

mathend000#

c) calcule a densidade espectral de X(t) mathend000#.


Sinais aleatórios

Exercício 1:

Demonstre que um processo estocástico branco e estacionário Xk mathend000#, filtrado por um filtro de reposta impulsiva hk mathend000# já não é branco mas continua a ser estacionário.

Exercício 2:

Considere um processo estocástico com a seguinte forma

X(t) = $\displaystyle \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$ang(t - nT)

mathend000#

onde {an} mathend000# é uma sequência discreta de variáveis aleatórias de média mn = E[an] mathend000# e função de autocorrelação

raa(k) = $\displaystyle {1\over 2}$E[anan+k * ],

mathend000#

que representa a mensagem a transmitir e g(t) mathend000# é um sinal determinístico que representa a função de pulso.

Calcule

a) a média do processo X(t) mathend000#

b) a função de autocorrelação de X(t) mathend000#, rxx(t + $ \tau$, t) mathend000#

c) demonstre que X(t) mathend000# é um processo cicloestacionário

d) para ma = 0 mathend000#, raa(k) = $ {{\sigma_a^2}\over 2}$$ \delta$(k) mathend000# e

g(t) = \begin{displaymath}\begin{cases} \cos (\omega_0 t), & -T/2 \le t \le T/2, \omega_0=\pi/T\\ 0, & {\rm outro} ~t \end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

determine rxx(t + $ \tau$, t) mathend000#.

e) nas mesmas condições que em d) determine a função de autocorrelação média do processo X(t) mathend000#

$\displaystyle \bar{r}_{{xx}}^{}$($\displaystyle \tau$) = $\displaystyle {1\over T}$$\displaystyle \int_{{-T/2}}^{{T/2}}$rxx(t + $\displaystyle \tau$, t)dt

mathend000#

f) a partir de $ \bar{r}_{{xx}}^{}$($ \tau$) mathend000# calculada em e) determine a densidade espectral média de potência, $ \bar{P}_{{xx}}^{}$(f )= TF[rxx($ \tau$)] mathend000#.

Exercício 3:

Considere um processo estocástico de média nula e estacionário X(t) mathend000# com a densidade espectral de potência

Pxx(f )= \begin{displaymath}\begin{cases} 1, & \vert f \vert \le W\\ 0, & \vert f \vert > W\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

O processo X(t) mathend000# é amostrado a uma taxa 1/T mathend000# para obter um processo discreto X(n) = X(nT) mathend000# determine:

a) a expressão da função de autocorrelação de X(n) mathend000#

b) o valor mínimo de T mathend000# que resulta numa sequência branca e constante na frequência

c) repita b) para uma densidade espectral de potência de X(t) mathend000#

Pxx(f )= \begin{displaymath}\begin{cases} 1-\vert f \vert/W, & \vert f \vert \le W\\ 0, & \vert f \vert > W\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

Exercício 4:

A função de autocorrelação de um processo estocástico de ruído branco X(t) mathend000# é

rxx($\displaystyle \tau$) = $\displaystyle {1\over 2}$N0$\displaystyle \delta$($\displaystyle \tau$)

mathend000#

Supondo que x(t) mathend000# é o sinal de entrada de um sistema tendo como reposta em frequência

|H(f )|= \begin{displaymath}\begin{cases} 1, & -B/2 \le \vert f-f_c\vert \le B/2\\ 0, & {\rm outro~valor~de}~f\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

Determine a potência total de ruído à saída do filtro.


Modulação analógica de onda sinusoidal

Exercício 1:

Considere o seguinte sinal modulador

m(t) = \begin{displaymath}\begin{cases} {\rm sinc}(100t),& \vert t \vert \le t_0\\ 0, & {\rm outro}~ t\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

com t0 = 0.1 mathend000#. Este sinal modula uma portadora de frequência fc = 250 mathend000# Hz em AM-CS.

a) represente graficamente o sinal modulador m(t) mathend000#

b) calcule o sinal modulado u(t) mathend000#

c) determine e represente o esboço dos espectros de m(t) mathend000# e de u(t) mathend000#.

d) determinar a potência do sinal modulador e do sinal modulado

Exercício 2:

Utilizando o mesmo sinal modulador do exercício anterior determinar:

a) a tranformada de Hilbert do sinal modulador m(t) mathend000# no domínio da frequência

b) o sinal u(t) mathend000# modulado em AM-LSSB e o seu espectro.

c) a potência do sinal modulador e do sinal modulado.

Exercício 3:

Seja vi(t) mathend000# e vq(t) mathend000# dois sinais passa baixo numa banda W < fc mathend000#, com energias Ei mathend000# e Eq mathend000# respectivamente. Utilize a generalização do teorema de Parseval (equação de Rayleigh)

$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{\infty}}$v(t)w * (t)dt = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{\infty}}$V(f )W * (f )df

mathend000#

para demonstrar que

a) $ \int_{{-\infty}}^{{\infty}}$vbp(t)dt = 0 mathend000# onde o sinal passa banda

vbp(t) = vi(t)cos($\displaystyle \omega_{c}^{}$t) - vq(t)sin($\displaystyle \omega_{c}^{}$t)

mathend000#

e que

b) a energia do sinal passa banda é igual a (Ei + Eq)/2 mathend000#

Exercício 4:

Considere o sinal modulador x(t) = cos(2$ \pi$f0t)u(t) mathend000#. Represente graficamente o sinal modulado no tempo xc(t) mathend000# e na frequência Xc(f ) mathend000# para

a) uma modulação AM-DSB com a = 1 mathend000#

b) uma modulação AM-DSB com a > 1 mathend000#

c) uma modulação CS

Exercício 5:

Provar que para o sinal modulado

xc(t) = Ac[1 + ax(t)]cos($\displaystyle \omega_{c}^{}$t + $\displaystyle \phi$)

mathend000#

onde x(t) mathend000# é um sinal aleatório ergódico de média nula e $ \phi$ mathend000# é uma variável aleatória de fase, independente de x(t) mathend000# e uniformemente distribuida em [0, 2$ \pi$] mathend000# a energia média escreve-se

E[xc2(t)] = $\displaystyle {1\over 2}$Ac2(1 + a2Sx)

mathend000#

onde Sx = E[x2(t)] mathend000#.


Modulação digital de impulsos

Exercício 1:

Considere um sistema PAM em banda base que utiliza impulsos raised cosine. Fazendo a hipótese de que a sequência a transmitir é branca e normalizada de forma que o seu espectro se escreve

SA($\displaystyle \omega$) = 1

mathend000#

demonstre que a potência transmitida é independente de T mathend000# para qualquer valor do factor de rool-off $ \alpha$ mathend000#.

Exercício 2:

Considere um canal limitado a |$ \omega$/2$ \pi$|$ \le$1500 mathend000# Hz. Qual é o valor máximo da symbol rate que pode ser atingida nesse canal para um excesso de banda de 50o filtro de recepção é do tipo passa-baixo e que não existe ISI.

Exercício 3:

Considere o seguinte sinal PAM em banda base

u(t) = $\displaystyle \sum_{n}^{}$[ang(t - 2nT) - jbng(t - 2nT - T)

mathend000#

onde {an} mathend000# e {bn} mathend000# são duas sequências aleatórias estatisticamente independentes e a função de pulso g(t) mathend000# é

g(t) = \begin{displaymath}\begin{cases} \sin(\pi t/2T), & 0<t<2T\\ 0,& {\rm outro}~t\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

No sinal u(t) mathend000# as sequências {an} mathend000# e {bn} mathend000# são transmitidas à velocidade 1/2T mathend000# bits/s enquanto u(t) mathend000# é transmitido a 1/T mathend000# bits/s.

a) demonstre que o envelope |u(t)| mathend000# é constante independentemente de {an} mathend000# e de {bn} mathend000#.

b) determine a densidade espectral de u(t) mathend000#

Exercício 4:

Considere um sinal 4-PSK definido pelo seu equivalente banda base

u(t) = $\displaystyle \sum_{n}^{}$Ing(t - nT)

mathend000#

onde In mathend000# toma um dos valores entre quatro possíveis {1/$ \sqrt{{2}}$($ \pm$1,$ \pm$j)} mathend000# com igual probabilidade. A sequência resultante é branca.

a) calcule e represente a densidade espectral de u(t) mathend000# quando

g(t) = \begin{displaymath}\begin{cases} A,& 0\le t\le T\\ 0, & {\rm outro}~t\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

b) repita a) com

g(t) = \begin{displaymath}\begin{cases} A\sin(\pi t/T),& 0\le t\le T\\ 0, & {\rm outro}~t\end{cases}\end{displaymath}

mathend000#

c) compare os espectros obtidos em a) e b) em termos de largura de banda a -3 dB e largura de banda no primeiro zero.

truemm

Sergio Jesus 2008-12-30