Exemplos

Exemplo 1: consideremos o quadripolo da figura 7.5. Trata-se de um quadripolo em $\Pi$ simétrico. Podemos escrever directamente

$$z_{11} = Z_1 // (Z_2+Z_3) = {{Z_1(Z_2+Z_3)}\over {Z_1+Z_2+Z_3}}$$ (7-7.01)

$$z_{12} = {{Z_1 Z_3}\over {Z_1+Z_2+Z_3}}$$ (7-7.02)

$$z_{21} = {{Z_1 Z_3}\over {Z_1+Z_2+Z_3}}= Z_{12}$$ (7-7.03)

Figura 7.5: exemplo de cálculo.

$$z_{22} = Z_3 //(Z_1+Z_2) = {{Z_3(Z_1+Z_2)}\over {Z_1+Z_2+Z_3}}$$ (7-7.04)

No caso dos parâmetros admitância podemos escrever que

$$y_{11} = {1\over {Z_1//Z_2}} = {{Z_1+Z_2}\over {Z_2 Z_1}}$$ (7-7.05)

$$y_{12} = y_{21} = -{1\over {Z_2}}$$ (7-7.06)

$$y_{22} = {1\over {Z_2//Z_3}} = {{Z_2+Z_3}\over {Z_3 Z_2}}$$ (7-7.07)

Os paramêtros híbridos são neste caso

$$h_{11} = Z_1//Z_2$$ (7-7.08)

$$h_{12} = {Z_1\over {Z_1+Z_2}}$$ (7-7.09)

$$h_{21} = - h_{12}$$ (7-7.10)

$$h_{22} = {1\over {Z_3//(Z_1+Z_2)}}$$ (7-7.11)

Exemplo 2: considere o circuito da figura 7.6 e calcule:

a)

$Z_{11}$

b)

$Z_{12}$

Figura 7.6: circuito equivalente do transistor em base comum.

a) temos então

$$Z_{11}={{v_1}\over {i_1}}\vert_{i_2=0}$$

quando $i_2=0$ o gerador de corrente controlado alimenta-se a ele próprio o que implica que a corrente de entrada $i_1$ é igual a $i_1=i$ e por isso

$$v_1 = (r_e + r_b) i_1 \Rightarrow Z_{11} = r_e + r_b$$

b) e agora para $Z_{12}$,

$$Z_{12}={{v_1}\over {i_2}}\vert_{i_1=0}$$

neste caso, como $i_1=0$ temos que $i=i_2$ e que $v_1=r_b i$ daí$$ que

$$Z_{12} = {{v_1}\over {i_2}} = r_b$$

Exemplo 3: considere o quadripolo Q da figura 7.7

a)

decomponha este quadripolo em dois quadripolos em paralelo

b)

calcule a matriz admitância para cada um dos dois quadripolos de a)

c)

deduza a matriz admitância do quadripolo Q

Figura 7.7: quadripolo cruzado.

a) o quadripolo proposto é equivalente ao da figura 7.8, no qual vemos claramente dois quadripolos $Q_1$ e $Q_2$ em paralelo.

Figura 7.8: simplificação do circuito da figura 7.7.

b) visto que os quadripolos estão em paralelo torna-se claramente vantajoso representá-los em função dos seus parâmetros admitância. Para $Q_1$ escrevemos

$$i_1' = y_{11}' v_1' + y_{12}' v_2'$$

$$i_2' = y_{21}' v_1' + y_{22}' v_2',$$

e directamente $y_{11}'=1/2Z_1$, $y_{12}'=-1/2Z_1$, $y_{21}'=-1/2Z_1$ e $y_{22}' = 1/2Z_1$.

Para $Q_2$

$$i_1'' = y_{11}'' v_1'' + y_{12}'' v_2''$$

$$i_2'' = y_{21}'' v_1'' + y_{22}'' v_2'',$$

e directamente $y_{11}''=1/2Z_2$, $y_{12}''=y_{21}''=1/2Z_2$ e $y_{22}'' = 1/2Z_2$.

c) podemos agora escrever $v_1=v_1'=v_1''$ e $v_2=v_2'=v_2''$ assim como com a lei dos nós $i_1=i_1' + i_1''$ e $i_2=i_2'+ i_2''$, de onde substituindo as correntes pelos seus valores a partir das equações admitância

$$i_1 = (y_{11}'+y_{11}'')v_1 + (y_{12}'+y_{12}'')v_2$$

$$i_2 = (y_{21}'+y_{21}'')v_1 + (y_{22}'+y_{22}'')v_2,$$

finalmente por identificação

$$y_{11} = 1/2Z_1 + 1/2Z_2 \qquad y_{12}=y_{21} = -1/2Z_1 + 1/2Z_2$$

$$y_{22} = 1/2Z_1 + 1/2Z_2.$$

truemm