Lei das malhas

A lei das malhas estabelece que: a soma algébrica das tensões ao longo de uma malha fechada é nula, i.e., que

$$\sum_n v_n = 0,$$ (3-1.02)

da mesma forma que para o caso das correntes deve-se começar por estabelecer a priori as tensões aos terminais de cada dipólo e o sentido do percurso do cálculo em cada malha. Por convenção as tensões definidas de tal modo que o sentido do percurso entre pelo pólo positivo e saia pelo pólo negativo serão contadas positivamente e negativamente no caso contrário. Na prática uma inversão do percurso corresponderia a inverter o sinal da equação.

Exemplo 1: considere o circuito da figura 3.1. Utilizando a lei dos nós podemos escrever,

$${\rm A}: \qquad i_5-i_1-i_2 = 0\eqno({\rm a})$$

$${\rm B}: \qquad i_1+i_3+i_4 = 0\eqno({\rm b})$$

$${\rm C}: \qquad i_2-i_3 = 0\eqno({\rm c})$$

$${\rm D}: \qquad -i_4-i_5= 0\eqno({\rm d})$$

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Figura 3.1: exemplo de aplicação.

e considerando os malhas X e Y e os sentidos de percurso e tensões indicadas,

$${\rm X}: \qquad v_4+v_5+v_1 = 0\eqno({\rm a})$$

$${\rm Y}: \qquad -v_1+v_2-v_3 = 0\eqno({\rm b})$$

Exemplo 2: calcule o valor da tensão $v_1$ no circuito da figura 3.2.

Figura 3.2:

Sabendo que $v_0=3$ v, podemos dizer que a corrente $i$ que passa na resistência de 3$\Omega$ é $i=3/3=1$ A. Como a corrente $i$ passa igualmente na resistência de 1 $\Omega$ provoca uma queda de tensão de $1 \Omega \times 1 {\rm A}=1$ V e por isso a soma das duas tensões é igual à tensão $v'$ aos terminais da resistência vertical de 2 $\Omega$ que é $v'=1 + 3 = 4$ v. A partir de $v'$ podemos deduzir a corrente que passa na resistência de 2$\Omega$ vertical, que é $i'=4/2=2$ A. Visto que temos as correntes $i$ e $i'$ que saem do nó superior então podemos deduzir, pela lei dos nós, a corrente que entra no nó, digamos $i''=i'+i=1+2=3$ A. O problema está quase terminado porque uma vez que temos a corrente debitada pela fonte $v_1$, temos a queda de tensão na resistência horizontal de 2 $\Omega$ que é $v''=i''\times 2=6$ v e daí$$, utilizando a lei das malhas na malha da esquerda $v_1=v'' + v' = 6+4=10$ v.

Exemplo 3: Ponte de Wheastone fora de equilíbrio (figura 3.3). Calcular o valor da corrente $i$ entre B e D.

Figura 3.3: ponte de Wheastone.

Trata-se aqui de escrever o conjunto de equações resolvente do circuito:

$$1000 i = 1000 i_2 - 1001 i_4\eqno{\rm (a)}$$

$$1000 i = -1000 i_1 + 999 i_3\eqno{\rm (b)}$$

$$E = 999 i_3 + 1001 i_4\eqno{\rm (c)}$$

$$i_1 = i_2 + i\eqno{\rm (d)}$$

$$i_4 = i_3 + i\eqno{\rm (e)}$$

substituindo (e) em (a)

$$1000 i = 1000 i_2 -1001 i_3 -1001 i$$

ou ainda

$$2001 i = 1000 i_2 -1001 i_3\eqno{\rm (f)}$$

substituindo (d) em (b)

$$1000 i = -1000 (i_2+i) + 999 i_3$$

ou ainda

$$2000 i = -1000 i_2 + 999 i_3\eqno{\rm (g)}$$

fazendo agora (f)+(g) temos que

$$4001 i = -2 i_3\eqno{\rm (h)}$$

Voltando ao sistema inicial e substituindo (e) em (c)

$$E = 999 i_3 + 1001 (i_3+i)$$

ou

$$i_3 = {{E-1001 i}\over {2000}}\eqno{\rm (i)}$$

substituindo esta última equação na anterior, i.e., (i) em (h), podemos escrever

$$4001 i = -2 {{E-1001 i}\over {2000}} = {{-E}\over 1000} + {2002\over 2000}i$$

e resolvendo em relação a $i$ obtemos o resultado pretendido

$$i = -0.5 \mu{\rm A}$$

o que significa que a ponte está desiquilibrada e a corrente circula no sentido contrário ao representado na figura 3.3.