Preparação

Medida de diferenças de fase com o método da elipse

Consideremos dois sinais sinusoidais aplicados nos canais X e Y de um osciloscópio (eixos ortogonais OX e OY da figura E.11),

$$\cases { x(t)& = $A\cos \omega t$\cr y(t)& = $B\cos (\omega t - \phi)$\cr}.$$

A composição destas duas equações obtem-se eliminando o tempo $t$ entre elas, i.e., o ponto luminoso no ecrã vai ser desviado horizontal e verticalmente em simultâneo, formando assim uma figura parameterizada pela variável tempo.

a)

óbviamente se calcularmos $x'^2 + y'^2$, obtemos

$$x'^2+y'^2 = \cos^2 \omega t + x'^2\cos^2\phi + \sin^2\omega t \sin^2\phi + 2x'\cos\phi\sin\omega t \sin\phi,$$

somando e subtraindo $x'^2\cos^2\phi$ do lado direito da equação obtemos

$$x'^2+y'^2 = \cos^2\omega t + 2x'^2\cos^2\phi -x'^2\cos^2\phi + \sin^2\omega t\sin^2\phi + 2x'\cos\phi\sin\omega t\sin\phi,$$

visto que o segundo mais o último termo dão $2x'y'\cos\phi$, podemos escrever

$$x'^2+y'^2-2x'y'\cos\phi = \cos^2\omega t -x'^2\cos^2\phi+\sin^2\omega t \sin^2\phi,$$

onde substituindo $x'=\cos\omega t$ no segundo membro e pondo $\cos^2\omega t$ em factor temos

$$x'^2+y'^2-2x'y'\cos\phi = \cos^2\omega t(1-\cos^2\phi)+\sin^2\omega t \sin^2\phi,$$

e ainda

$$x'^2+y'^2-2x'y'\cos\phi = \cos^2\omega t\sin^2\phi)+\sin^2\omega t \sin^2\phi,$$

e finalmente a relação esperada

$$x'^2+y'^2-2x'y'\cos\phi - \sin^\phi= 0.$$

b)

fazendo agora a mudança de variável

$$x'=x''\cos {\pi\over 4}-y''\sin{\pi\over 4}={{x''-y''}\over {\sqrt 2}}$$

$$y'=x''\sin {\pi\over 4}+y''\cos{\pi\over 4}={{x''+y''}\over {\sqrt 2}},$$

na equação final do ponto a) obtem-se

$${{(x''-y'')^2}\over 2} + {{(x''-y'')^2}\over 2} - (x''-y'')(x''+y'') \cos\phi - \sin^2\phi=0$$

ou ainda

$$x''^2+y''^2-(x''^2-y''^2)\cos\phi-\sin^2\phi=0$$

desenvolvendo e reagrupando os termos em $x''^2$ e $y''^2$ temos ainda que

$$x''^2(1-\cos\phi) + y''^2(1+\cos\phi) -\sin^2\phi=0$$

onde sabendo que

$$\sin^2{\phi\over 2} = {{1-\cos\phi}\over 2}\quad {\rm e} \quad \cos^2{\phi\over 2} = {{1+\cos\phi}\over 2}$$

podemos escrever

$$x''^2 2\sin^2{\phi\over 2}+ y''^2 2\cos^2{\phi\over 2} -\sin^2\phi=0$$

e finalmente dividindo por $2\sin^2(\phi/2)2\cos^2(\phi/2)$ e simplificando

$${{x''^2}\over {2\cos^2{\phi\over 2}}} + {{y''^2}\over {2\sin^... ...er 2}}} -{{\sin^2\phi}\over {2\sin^2(\phi/2)2\cos^2(\phi/2)}}=0$$

onde podemos reconher que o terceiro termo é efectivamente igual a 1 e daía equação pretendida.

c)

fácilmente deduzimos que

$$2a^2=2\cos^2{\phi\over 2} \qquad {\rm e} \qquad 2b^2=2\sin^2{\phi\over 2}$$

e finalmente

$$\tan {\phi\over 2}={b\over a}$$