Preparação

1. Revisões: notação complexa

Em regime permanente sinusoidal uma tensão em qualquer ponto de um circuito pode ser representada por

$$v(t)=V_0 \cos(\omega t+\phi)$$ (E.-8.1)

e caracterizada completamente através da sua amplitude $V_0$ e fase $\phi$, Para efeitos de cálculo, podemos representar o sinal $v(t)$ pelo valor complexo

$$\bar V = V_0 e^{j\phi}$$ (E.-8.2)

que é um número que pode ser representar no plano complexo como indicado na figura E.19.

Figura E.19: representação de fasor.

A passagem da notação complexa $\bar V$ à notação trigonométrica $v(t)$ faz-se multiplicando $\bar V$ por $e^{j\omega t}$ e tomando a parte real do resultado obtido. A valor $\bar V$ obedece a todas as regras de cálculo dos números complexos e representa um potente utensílio na análise de circuitos em regime permanente sinusoidal (e só nesse caso!).

Se aplicarmos uma tensão sinusoidal $v(t)=V_0\cos(\omega t)$ aos terminais de uma resistência $R$ obtemos uma corrente $i(t)$ também sinusoidal de amplitude $V_0/R$ e em fase com $v(t)$. Em notação complexa podemos dizer que

$$\bar V=R \bar I$$ (E.-8.3)

Se em vez da resistência tivermos um condensador $C$, podemos escrever que

$$i(t)=C {{dv(t)}\over {dt}}=-C\omega V_0\sin (\omega t)$$ (E.-8.4)

Utilizando a relação $\sin(\omega t)=-\cos(\omega t + \pi/2)$, podemos escrever em notação complexa que o fasor associado com a tensão sinusoidal $\sin(\omega t)$ se escreve $-\bar V \exp{j\pi/2}$. Substituindo em (E-8.4) temos que

$$\bar I = -C\omega (-\bar V e^{j{\pi\over 2}})$$ (E.-8.5)

$$= j C\omega \bar V$$ (E.-8.6)

de onde

$$\bar V = {1\over {jC\omega}} \bar I$$ (E.-8.7)

Diz-se que um condensador tem uma impedância equivalente em sinusoidal igual a $Z_C=1/jC\omega$ e que a tensão tem um atraso de fase de $\pi/2$ em relação à corrente. No caso da bobine de valor $L$ temos que

$$v(t)=L {{di(t)}\over {dt}} \to i(t)={1\over L} \int v(t)dt$$ (E.-8.8)

substituindo $v(t)$

$$i(t)={V_0\over {\omega L}} \sin (\omega t) = {V_0\over {\omega L}}\cos (\omega t) e^{j{\pi\over 2}}$$ (E.-8.9)

e finalmente

$$\bar V = j\omega L \bar I$$ (E.-8.10)

e diz-se neste caso que a impedância equivalente a uma bobine em regime sinusoidal permanente é $Z_L=j\omega L$ e que a tensão tem um avanço de fase de $\pi/2$ em relação à corrente. Destas duas expressões $Z_C$ e $Z_L$ pode ver-se que a impedância da bobine aumenta com a frequência e a do condensador diminui com a frequência.

2. Revisões: representação de Bode

Um sistema, dito de primeira ordem, tem uma representação do tipo

$$A={V_s\over V_e}={1\over {1+j\tau\omega}},$$

onde $\tau=RC$ é a constante de tempo do sistema. O estudo em regime permanente sinusoidal deste sistema faz-se normalmente através da representação de $A$ num diagrama da Bode, i.e., representando separadamente a amplitude (em dB) e a fase de $A$.

O ganho em décibeis (dB) obtem-se a partir do módulo $\vert A \vert$ como $G_{\rm dB}=20\log \vert A \vert$ e assim,

$$G_{\rm dB}=20 \log {1\over {\sqrt{1+R^2 C^2 \omega^2}}},$$

ou seja

$$G_{\rm dB}=-10 \log (1+\tau^2 \omega^2).$$

Quando $\omega \to 0$ temos que $G_{\rm dB} \to 0$ dB e quando $\omega \to \infty$ temos que $G_{\rm dB} \to -\infty$ dB.

A inclinação das assímptotas é de 0 dB quando $\omega \to 0$ e de -20 dB por década (passagem de uma frequência $f$ a uma frequência 10$f$) quando $\omega \to \infty$. Isto pode-se determinar observando que quando $\omega \to \infty$

$$G_{\rm dB} \to -10 \log \omega^2 + 10\log \omega_0^2$$

onde $\omega_0=1/\tau$. Num gráfico semi-logarítmico podemos escrever $X=\log \omega$ e $X_0=\log \omega_0$ portanto

$$G_{\rm dB} \approx -20 X + 20 X_0$$

o que não é mais do que a equação de uma recta de inclinação -20 dB e de ordenada na origem igual a 20$X_0$. A função $G_{\rm dB}$ e as respectivas assímptotas estão representadas na figura E.20.

Figura E.20: diagrama de amplitude.

Define-se a banda passante B como sendo a gama de frequências para as quais o ganho $G$ está compreendido entre o seu valor máximo $G_{\rm max}$ e $G_{\rm max} - 3$ dB. No caso do filtro RC representado acima, o valor $G_{\rm max}$ é igual a 0 dB que é atingido para $\omega=0$. Por outro lado como -3 dB = -20 $\log X$ implica $X=1/\sqrt{2}$, podemos calcular o valor de $\omega$ para o qual

$${1\over \sqrt{2}} = {1\over {\sqrt{1+{{\omega^2}\over {\omega_0^2}}}}},$$

que tem como solução $\omega=\omega_0$. O resultado final é que a banda passante B=$\omega_0$.

A diferença de fase entre $V_e$ e $V_s$ é o argumento do número complexo $A$ em função da frequência. O argumento de $A$ pode-se obter calculando o argumento do numerador e do denominador ($\angle x$ significa ``argumento de $x$'')

$$\Phi (\omega) =\angle A=\angle (1) - \angle (1+RC \omega)$$

sabendo que o argumento dum número real é zero podemos escrever

$$\Phi (\omega) = -\arctan RC \omega$$

pondo $\tau=RC = 1/\omega_0$ que é a constante de tempo do circuito.

Figura E.21: diagrama de fase.

Obtemos

$$\Phi (\omega) = - \arctan {{\omega}\over {\omega_0}}$$

A variação de $\Phi(\omega)$ pode-se calcular de forma aproximada observando que quando $\omega \to 0$ $\Phi \to 0$, e que quando $\omega \to \infty$ então $\Phi \to -\pi/2$. Obtem-se um valor particular para $\omega=\omega_0$ para o qual $\Phi(\omega_0)=-\pi/4$. Podemos fazer um traçado aproximado que terá uma forma semelhante ao da figura E.21. Alguns autores admitem um traçado de fase assímptotico através de segmentos de recta, no qual a fase é considerada nula para $\omega < \omega_0/10$ e igual a $-\pi/2$ para $\omega > 10\omega_0$. Para $\omega_0/10 < \omega < 10\omega_0$ a curva de fase é aproximada por um segmento de recta com uma inclinação de $-\pi/4$ por década.

3. Estudo de uma célula RC

Considere a montagem da figura E.22 com $v_e(t) = 3\cos (6283t)$

Figura E.22: célula RC.

a)

desenhar a tensão de saída $v_s(t)$ com $R=1 k\Omega$ e $C=160$ nF.

b)

desenhar a corrente $i(t)$ no circuito para a mesma tensão de entrada $v_e(t)$ e nas mesmas condições que em a)

c)

calcule e represente a curva de Bode (amplitude e fase) do ganho em tensão $A=V_s/V_e$.

4. Estudo de uma célula CR

Considere a montagem da figura E.23.

Figura: circuito CR: $R=1 k\Omega$ e $C=160 nF$.

a)

desenhar a tensão de saída $v_s(t)$.

b)

desenhar a corrente $i(t)$ no circuito para a mesma tensão de entrada $v_e(t)$ e nas mesmas condições que em a).

c)

calcule e represente a curva de Bode (amplitude e fase) do ganho em tensão $A=V_s/V_e$.