Exames de anos anteriores

Exame de Sistemas e Sinais - Julho 2002

Problema 1: considere o filtro H($\omega$) mathend000# passa baixo ideal e de fase linear $\theta$($\omega$) = $\omega$t₀ mathend000#.

a) calcule a resposta impulsiva h(t) mathend000#. Trata-se de um sistema causal ? Justifique a sua resposta.

b) multiplicando h(t) mathend000# por uma função p(t) = rect(t - t₀) mathend000#, determine o sinal resultante y(t) mathend000#.

c) y(t) mathend000# é causal ? Justifique a sua resposta.

d) calcule Y($\omega$) mathend000#. Faça um esboço de |Y($\omega$)| mathend000# e compare com a resposta em frequência do filtro passa-baixo H($\omega$) mathend000# inicial.

Problema 2: considere o sinal y(t) mathend000# dado por

y(t) = s(t) + n(t)

mathend000#

onde s(t) mathend000# é um sinal determinístico e n(t) mathend000# é

a) um ruído branco gaussiano, não correlacionado com s(t) mathend000# e de potência $\sigma^{2}_{}$ mathend000#. Explique cada um dos termos empregues nesta frase relativamente ao sinal n(t) mathend000#.

b) calcule E[y(t)] mathend000#

c) calcule V[y(t)] mathend000#

Exame de Sistemas e Sinais - Janeiro 2003

Problema 1: a resposta impulsiva de um filtro RC é dada por

h(t) = $${1\over T}$$e^-t/Tu(t)

mathend000#

onde T mathend000# é uma constante real e positiva e u(t) mathend000# é a função degrau unidade.

a) calcule a função de autocorrelação r_h($\tau$) mathend000# de h(t) mathend000#.

b) faça um esboço da função de autocorrelação r_h($\tau$) mathend000#.

c) qual a energia total contida no sinal h(t) mathend000# ? Justifique a sua resposta.

d) calcule a densidade espectral de potência P_h($\omega$) mathend000#.

e) faça o esboço do diagrama de Bode de P_h($\omega$) mathend000# (amplitude e fase). Qual a ordem do sistema ? Justifique a sua resposta.

f) calcule a banda passante a -3 dB do sistema a partir da sua resposta em frequência.

Problema 2: considere o seguinte sinal

m(t) = Ae^{-t2/2$\sigma^{2}$}

mathend000#

com $\sigma$ = 0.1 mathend000# ms e A mathend000# uma constante real positiva.

a) calcule e represente o espectro de amplitude M(f ) mathend000# de m(t) mathend000#.

b) calcule a banda passante a -3 dB do espectro M(f ) mathend000#.

c) desejando enviar o sinal m(t) mathend000# através de um canal de transmissão analógico utilizando modulação de amplitude de banda lateral única USSB, escrever a forma do sinal modulador a(t) mathend000# e demonstrar que o respectivo espectro só contém frequências positivas ou nulas.

Exame de Sistemas e Sinais - Fevereiro 2003

Problema 1: considere o sinal periódico s(t) mathend000# dado por

s(t) = A cos($$\omega_{0}^{}$$t)

mathend000#

onde A mathend000# é uma constante real positiva e a pulsação $\omega_{0}^{}$ = 2$\pi$/T₀ mathend000#.

a) calcule o coeficiente C_n mathend000# do desenvolvimento em série de s(t) mathend000#.

b) calcule a Transformada de Fourier S($\omega$) mathend000# de s(t) mathend000#.

c) considere agora o seguinte sinal periódico (``trem de Diracs'')

a(t) = $$\sum_{{k=-\infty}}^{{\infty}}$$$$\delta$$(t - kT_s)

mathend000#

onde T_s mathend000# é o período, com T_s < T₀/2 mathend000#. Calcule o seu desenvolvimento em série complexa e a sua Transformada de Fourier A($\omega$) mathend000#.

d) considere agora o sinal amostrado $\hat{s}$(t) = s(t)a(t) mathend000#, resultado da multiplicação de s(t) mathend000# pelo trem de Diracs a(t) mathend000#. Calcule o espectro $\hat{S}$($\omega$) mathend000#.

e) compare $\hat{S}$($\omega$) mathend000# com S($\omega$) mathend000#. Faça um esboço de $\hat{S}$($\omega$) mathend000#. Quais as frequências presentes entre [- $\omega_{s}^{}$,$\omega_{s}^{}$] mathend000# com $\omega_{s}^{}$ = 2$\pi$/T_s mathend000# ? Conclusão.

Problema 2: considere um sistema de resposta impulsiva

h(t) = exp(- at)u(t)

mathend000#

onde a mathend000# é uma constante real positiva e u(t) mathend000# é o degrau unidade.

a) utilizando a equação de convolução, calcule e faça o esboço da resposta y(t) mathend000# do sistema a um sinal de entrada x(t) = rect[(t - T/2)/T] mathend000#, onde T mathend000# é uma constante real positiva.

b) calcule a Transformada de Fourier H($\omega$) mathend000# do sistema h(t) mathend000# e represente o seu diagrama de Bode (módulo e fase).

c) determine a banda passante a -3 dB do sistema.

d) calcule a Transformada de Fourier X($\omega$) mathend000# do sinal de entrada x(t) mathend000# e faça o esboço do seu módulo.

e) qual o valor mínimo da constante T mathend000# que permite ter no sinal de saída y(t) mathend000# as componentes principais do sinal x(t) mathend000# com uma atenuação até 3 dB.

Exame de Sistemas e Sinais - Janeiro 2005

Problema 1: considere um sistema linear e invariante no tempo descrito pela sua resposta impulsiva discreta h(n) mathend000#,

h(n) = (0.9)ⁿu(n)$$\eqno$$(1.1)

mathend000#

onde u(n) mathend000# é a função degrau unidade.

a)

trata-se de um sistema causal ? E estável ? Justifique as suas respostas.

b)

calcule a resposta y(n) mathend000# do sistema a um sinal de entrada x(n) mathend000# dado por

x(n) = u(n) - u(n - 10)$$\eqno$$(1.2)

mathend000#

c)

calcule a resposta em frequência H(f ) mathend000# do sistema

d)

calcule e faça os esboços do módulo e da fase de H(f ) mathend000# para -1/2$\le$f$\le$1/2 mathend000#.

Problema 2: considere o sinal real x(t) mathend000# definido por

x(t) = e^-$\alpha$tu(t)$$\eqno$$(2.1)

mathend000#

onde u(t) mathend000# é a função degrau unidade e $\alpha$ mathend000# é uma constante real positiva. Considere agora o sinal real y(t) mathend000# dado por

y(t) = x(t - t₀) + w(t)$$\eqno$$(2.2)

mathend000#

onde o atraso temporal t₀ > 0 mathend000# e w(t) mathend000# é uma sequencia de ruído aleatório branco e Gaussiano de média nula e de desvio padrão $\sigma_{w}^{}$ mathend000# .

a)

calcule a função de correlação cruzada r_xy($\tau$) mathend000# entre x(t) mathend000# e y(t) mathend000#.

b)

faça um esboço de r_xy($\tau$) mathend000# e determine qual o instante t_M1 mathend000# para o qual a função atinge o seu valor máximo e qual esse valor máximo v_M1 mathend000#.

c)

calcule agora a autocorrelação r_yy($\tau$) mathend000# de y(t) mathend000#.

d)

faça um esboço de r_yy($\tau$) mathend000# e deduza quais os valores do instante do máximo e o seu valor t_M2 mathend000# e v_M2 mathend000#, respectivamente. Compare com os valores t_M1 mathend000# e v_M1 mathend000#, obtidos para a função de correlação cruzada r_xy mathend000#, e justifique o resultado.

Exame de Sistemas e Sinais - Janeiro 2007

Problema 1 [8 val.]: considere o sistema descrito pela sua resposta impulsiva discreta h(n) mathend000#

h(n) = u(n) - u(n - 3)$$\eqno$$(1.1)

mathend000#

onde u(n) mathend000# é a função degrau unidade discreta.

a)

[1.5v] demonstre que o sistema descrito por h(n) mathend000# é linear e invariante no tempo.

b)

[1.5v] determine se o sistema é causal e estável. Justifique.

c)

[1v] represente h(n) mathend000#.

d)

[2.5v] calcule H(f ) mathend000# transformada de Fourier de h(n) mathend000#.

e)

[1.5v] faça um esboço de H(f ) mathend000# em módulo e fase para -1/2$\le$f$\le$1/2 mathend000#.

Problema 2 [7 val.]: considere o sinal s(t) mathend000# descrito por (2.1) e a sua observação com ruído x(t) mathend000# dada por (2.2),

s(t) = A sin($$\omega_{0}^{}$$t + $$\phi$$)$$\eqno$$(2.1)

mathend000#

x(t) = s(t) + w(t)$$\eqno$$(2.2)

mathend000#

onde A mathend000#, $\omega_{0}^{}$ mathend000# e $\phi$ mathend000# são constantes de amplitude, pulsação e fase, respectivamente, e onde w(t) mathend000# é uma sequência aleatória branca, de média nula, com variância $\sigma_{w}^{2}$ mathend000# e independente de s(t) mathend000#.

a)

[2v] calcule a função de autocorrelação r_s($\tau$) mathend000# de s(t) mathend000#.

b)

[2v] calcule a função de autocorrelação r_x($\tau$) mathend000# de x(t) mathend000#.

c)

[2v] calcule a densidade espectral de potência P_x(f ) mathend000# de x(t) mathend000#.

d)

[1v] faça um esboço de P_x(f ) mathend000#.

Problema 3 [5 val.]: considere os dois sinais

s₁(t) = u(t) - u(t - t₀)$$\eqno$$(3.1)

mathend000#

s₂(t) = e^-t/t₀u(t)$$\eqno$$(3.2)

mathend000#

onde u(t) mathend000# é a função degrau unidade e t₀ mathend000# é uma constante positiva.

a)

[4v] calcule a função de correlação r($\tau$) mathend000# entre s₁(t) mathend000# e s₂(t) mathend000#.

b)

[1v] faça um esboço de r($\tau$) mathend000#.

Exame de Sinais e Sistemas - Fevereiro 2007

Problema 1 [5 val]: considere um sistema descrito pela sua resposta impulsiva discreta h(n) mathend000#,

h(n) = A sin(2$$\pi$$K₀n + k₀)$$\eqno$$(1.1)

mathend000#

onde A mathend000#, K₀ mathend000# e k₀ mathend000# são constantes reais.

a)

[1v] trata-se de um sistema causal ? E estável ? Justifique as suas respostas.

b)

[2.5v] calcule a resposta em frequência H(f ) mathend000# do sistema

c)

[1.5v] calcule e faça os esboços do módulo e da fase de H(f ) mathend000# para -1/2$\le$f$\le$1/2 mathend000#.

Problema 2 [4 val.]: um filtro Butterworth de fase linear é definido por

H($$\omega$$) = $${{H_0}\over {\sqrt{1+(\omega/\alpha)^{2n}}}}$$e^{-j$\omega$t₀}$$\eqno$$(2.1)

mathend000#

Calcule h(t) mathend000# para n = 1 mathend000#.

Problema 3 [7 val.]: considere o sinal real x(t) mathend000# definido por

x(t) = e^-$\alpha$tu(t)$$\eqno$$(3.1)

mathend000#

onde u(t) mathend000# é a função degrau unidade e $\alpha$ mathend000# é uma constante real positiva. Considere agora o sinal real y(t) mathend000# dado por

y(t) = x(t - t₀) + w(t)$$\eqno$$(3.2)

mathend000#

onde o atraso temporal t₀ > 0 mathend000# e w(t) mathend000# é uma sequência de ruído aleatório branco e Gaussiano de média nula e de desvio padrão $\sigma_{w}^{}$ mathend000# .

a)

[2v] calcule a função de correlação cruzada r_xy($\tau$) mathend000# entre x(t) mathend000# e y(t) mathend000#.

b)

[1v] faça um esboço de r_xy($\tau$) mathend000# e determine qual o instante t_M1 mathend000# para o qual a função atinge o seu valor máximo e qual esse valor máximo v_M1 mathend000#.

c)

[2v] calcule agora a autocorrelação r_yy($\tau$) mathend000# de y(t) mathend000#.

d)

[2v] faça um esboço de r_yy($\tau$) mathend000# e deduza quais os valores do instante do máximo e o seu valor t_M2 mathend000# e v_M2 mathend000#, respectivamente. Compare com os valores t_M1 mathend000# e v_M1 mathend000#, obtidos para a função de correlação cruzada r_xy mathend000#, e justifique o resultado.

Problema 4: [4 val.] seja o sinal x(t) mathend000# dado por

x(t) = a²cos²($$\omega_{c}^{}$$t + $$\theta$$)$$\eqno$$(4.1)

mathend000#

onde a mathend000#, $\omega_{c}^{}$ mathend000# e $\theta$ mathend000# são constantes.

a)

[2v] calcule a função de autocorrelação de x(t) mathend000#.

b)

[2v] calcule a densidade espectral de potência de x(t) mathend000#.

Exame de Sinais e Sistemas - Fevereiro 2008

Exercício 1: considere o sinal discreto x[n] mathend000# da equação (C-7.1)

x[n] = aⁿu(n), (C.-7.1)

mathend000#

onde a < 1 mathend000# e u(n) mathend000# é a função degrau unidade.

a)

calcule e faça um esboço da função de autocorrelação r_x[k] mathend000# de x[n] mathend000#

b)

calcule a TFDT X($\omega$) mathend000# do sinal x[n] mathend000#

c)

calcule a densidade espectral de potência P_x($\omega$) mathend000# do sinal x(t) mathend000#.

d)

faça um esboço de P_x($\omega$) mathend000#.

Exercício 2: considere a equação entrada - saída de um filtro IIR

y[n] = - y[n - 2] - 2y[n - 1] + x[n], (C.-7.2)

mathend000#

a)

qual a ordem deste filtro ? Quais os coeficientes a₀ mathend000#, a₁ mathend000#, a₂ mathend000# e b₀ mathend000# do filtro.

b)

demonstre que a função de transferência H($\omega$) mathend000# deste filtro se escreve

$$\omega {{e^{j\omega}}\over {2[1+\cos (\omega)]}}$$ (C.-7.3)

mathend000#

assumindo um período de amostragem unitário.

c)

trace um esboço do módulo e da fase de H($\omega$) mathend000#

d)

diga como classifica este filtro: i) sem distorção, ii) com distorção de amplitude, iii) com distorção de fase ou iv) com distorção de amplitude e de fase. Justifique a sua resposta.

e)

de que tipo de filtro se trata: passa-baixo, passa-alto, passa-banda ou corta banda ? Justique.

Exercício 3: considere o sinal x(t) mathend000# tal que

$$\cases{-t+T & $0\le t \le T$\ \cr 0 & qualquer outro $t$\cr}$$ (C.-7.4)

mathend000#

a)

represente o sinal x(t) mathend000#

b)

represente a resposta impulsiva h(t) mathend000# de um sistema linear invariante dada por

$$\cases{1 & $0\le t \le T$\ \cr 0 & qualquer outro $t$\cr}$$ (C.-7.5)

mathend000#

c)

determine graficamente a resposta y(t) mathend000# ao sinal x(t) mathend000#, tomando o cuidado de especificar os intervalos de definição para cada caso.

d)

calcule a expressão do sinal de saída y(t) mathend000# determinado na alínea c)