Subsecções

Folhas de Trabalhos Práticos

Esta secção do texto de apoio de Sinais e Sistemas contem os guiões das aulas práticas. As aulas práticas encontram-se divididas em 7 textos distintos a executar ao longo das 5 semanas de aulas de acordo com o calendário da tabela 2.


Tabela 2: Calendário de realização dos trabalhos práticos de Sinais e Sistemas.
Semana 1 TP1 e TP2
Semana 2 TP3
Semana 3 TP4
Semana 4 TP5
Semana 5 TP6 e TP7


Tanto a preparação como o relatório do trabalho prático serão entregues em formato electrónico através do sistema de tutoria electrónica(Moodle)4 tendo em conta as seguinte considerações:

  1. os ficheiros de texto com a preparação e com o relatório do trabalho deverão ser entregues em formato PDF;
  2. o relatório do trabalho prático será um ficheiro de arquivo (formato zip) com um m-file principal com o nome do trabalho em questão (p1.m, p2.m, etc...). Este m-file principal abrirá janelas com figuras e escreverá no ecrán resultados conforme solicitados no texto do trabalho sendo que a resposta a cada ponto deverá ser explícita e clara com legendas, eixos de abcissas e ordenadas com as respectivas legendas e unidades. Para cada caso deverá ser escolhido o método mais adequado para a representação dos resultados, incluindo vários gráficos na mesma figura (usando cores e legendas) ou sub-figuras;
  3. as preparac cões teóricas e os relatórios dos trabalhos práticos são entregues individualmente dentro do prazo definido no Moodel.
  4. a presença e entrega de todos trabalhos práticos é obrigatória.


Folha 1 - Introdução ao Matlab


Preparação teórica

Introdução

O Matlab é um ambiente de trabalho dedicado ao cálculo científico, métodos númericos e processamento de sinal. A principal característica do Matlab é que qualquer variável declarada é uma matriz portanto, em princípio, qualquer operação entre duas variáveis é uma operação matricial. Se a matriz for de dimensões 1×1 mathend000#, é um escalar e se for de dimensão 1×N mathend000# é um vector. Pode também ser de dimensão superior a 2, i.e., pode ser uma matriz de 3, 4, 5 ou mais dimensões.

O Matlab é uma linguagem interpretada portanto, cada comando é executado quando se faz return. É no entanto possível executar funções e scripts, assim como executáveis exteriores através dum shell.

Considere a seguinte matriz 2×2 mathend000#,

A = $\displaystyle \matrix{ 2 & 1 \cr 1& 2\cr}$

mathend000#

a)
calcule B = A . A mathend000#
b)
calcule C mathend000# = produto ponto a ponto de A mathend000# com A mathend000#
c)
calcule A-1 mathend000#
d)
calcule o inverso ponto a ponto de A mathend000#, 1/A mathend000#.
e)
faça uma rotação vertical das linhas da matriz
f)
faça uma rotação horizontal das colunas da matriz


Trabalho prático

Exercício 1: declaração de matrizes e funções.

  1. declare um eixo temporal discreto $ \bf t$ mathend000# de dimensão N = 1024 mathend000#, para t1 = 0,..., tN = 2 mathend000# s, utilizando a função linspace [faça help linspace]. Qual o intervalo de tempo entre cada amostra em segundos ? Procure uma outra forma de fazer o mesmo eixo temporal sem utilizar a função linspace. E se quiser fazer um eixo temporal de [- 2, 2] mathend000# segundos ?

  2. construa agora uma função s(t) = sin(x) mathend000# onde x = $ \omega_{0}^{}$t mathend000#. Se quisermos um seno de frequência f0 = 10 mathend000# Hz, como fazer ? Construa o vector $ \bf s$ mathend000# em função do vector $ \bf t$ mathend000# do número anterior.

  3. queremos agora aumentar a amplitude da função s(t) mathend000# para um valor A = 4.3 mathend000#.

  4. vamos agora construir uma nova função g(t) = exp(-$ \alpha$t) mathend000#, onde $ \alpha$ = 2 mathend000#. Determine o vector $ \bf g$ mathend000#.

  5. utilizando a função plot represente os vectores $ \bf s$ mathend000# e $ \bf g$ mathend000#, primeiro em duas figuras separadas, depois no mesmo gráfico (função hold)e em seguida em dois gráficos da mesma figura utilizando a função subplot. Coloque legendas nos eixos do tempo e amplitude e titulos no vários gráficos.

  6. determine agora a função h(t) = g(t)s(t) mathend000# [help .*]. Represente h(t) mathend000#.

Exercício 2: funções particulares.

  1. construa a ``função'' Dirac unidade $ \delta$(n) mathend000# que vale 1 para n = n0 mathend000# e vale zero para qualquer outro valor de n mathend000#. Representa a função para vários valores de n0 mathend000#. Verifique a utilização da função zeros e ones do Matlab.

  2. faça o help da função function, que explica como realizar um função do Matlab. Realizar o exemplo da média.

  3. aplicar ao caso da ``função'' Dirac unidade, criando a função dirac-unit que tem como parâmetros de entrada o intervalo de definição [n1, n2] mathend000# e a posição do Dirac n0 mathend000#. O que se passa se n0 mathend000# não se encontra entre n1 mathend000# e n2 mathend000# ?

  4. faça help for, que indica com fazer ciclos ``for''. Imagine que quer fazer um sinal no qual o Dirac unidade se repete com um período de 10 amostras (``pente de Diracs''). Como fazer, utilizando a função definida acima ? Represente.

  5. vamos agora fazer o mesmo sinal periódico utilizando as capacidades matriciais do Matlab, e em particular o comando matricial ``:'' . Para descobrir como funciona construa uma pequena matriz 3×3 mathend000#,

    A = $\displaystyle \matrix{ 1 & 2 &3 \cr 4& 5& 6\cr 7& 8& 9\cr}$

    mathend000#

    O separador é ``;''. Agora faça B=A(:). Qual o resultado ? Imagine como pode utilizar esta função para criar um sinal periódico tendo um período T0 mathend000#. Aplicar ao caso do Dirac unidade e compare a complexidade da solução do problema com o ciclo for.

  6. fazer agora a ``função'' degrau unidade definida no intervalo n1, n2 mathend000# e que vale zero até um certo instante n0 mathend000# a partir do qual passa a valer 1. O que se passa se n0 mathend000# não se encontra entre n1 mathend000# e n2 mathend000#. Construa e represente a function degrau-unit.


Folha 2 - Sinais discretos em Matlab


Preparação teórica

Exercício 1: considere o sinal x[n] = u[n] - u[n - 20] mathend000#.

a)
represente o sinal x[n] mathend000#
b)
represente o sinal x[- n] mathend000#
c)
represente o sinal x[8 - n] mathend000#
d)
calcule a energia $ \epsilon_{x}^{}$ mathend000# do sinal x[n] mathend000#
e)
calcule a energia px mathend000# do sinal x[n] mathend000#. Dificuldades ?

Exercício 2: considere o sinal x[n] = exp[(-0.1+j0.3)n] mathend000#.

a)
calcule o módulo |x[n]| mathend000# e a fase $ \angle$x[n] mathend000# do sinal x[n] mathend000#
b)
represente o módulo e a fase de x[n] mathend000# em função de n mathend000#


Trabalho prático

Exercício 1: operações com sinais e funções.

  1. atraso temporal: partindo da função s(t) mathend000# realizada no trabalho 1 construir uma função do Matlab capaz de realizar um atraso temporal de n0 mathend000# amostras, i.e., em entrada s[n] mathend000# e em saída s[n - n0] mathend000# onde n0 mathend000# é um número inteiro positivo ou negativo.
  2. dobragem no tempo: uma função muito útil, nomeadamente na operação de convolução é a dobragem temporal. Construir uma função do Matlab que permita obter como saída uma versão dobrada em relação ao eixo do tempo do sinal original, i.e., entra s[n] mathend000# e sai s[- n] mathend000# (explorar função fliplr).

  3. soma e produto - energia: explorar as funções sum e prod. Aplicar estas funções num modo eficiente de calcular a energia contida num sinal s[n] mathend000#, dada por

    $\displaystyle \epsilon$ = $\displaystyle \sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}$s2[n]

    mathend000#

  4. potência: como é sabido, a potência é a energia por unidade de tempo de onde, utilizando o resultado anterior, pretende-se calcular a potência do sinal num determinado intervalo de N mathend000# amostras (explorar a função mean, pode-se utilizar sempre ?).

Exercício 2:

Construa uma função porta a partir de dois degraus unidade, um atrasado em relação ao outro, de forma que

x[n] = u[n] - u[n - n0]

mathend000#

onde a função degrau unidade já foi estudada no trabalho anterior e o atraso temporal definido acima. Represente o resultado. Faça agora uma dobragem em relação ao eixo do tempo, determinando x[- n] mathend000#.

Exercício 3:

Gerar a função complexa

x[n] = exp(-0.1+j0.3)n        com         -10$\displaystyle \le$n$\displaystyle \le$10

mathend000#

Representar o seu módulo, fase, parte real e parte imaginária numa única figura, particionada em quatro sub figuras. Cada figura terá o respectivo eixo, legendas e título [utilizar a função stem para a representação].


Folha 3 - Convolução


Preparação teórica

Exercício 1: considere o sinal x[n] = u[n] - u[n - n0] mathend000# como o sinal de entrada de um sistema de resposta impulsiva h[n] mathend000# dada por

h[n] = anx[n]

mathend000#

onde a = 0.9 mathend000# é uma constante.

a)
represente x[n] mathend000# e h[n] mathend000#.
b)
efectue o cálculo literal do sinal de saída y[n] mathend000# do sistema.

Exercício 2: considere a seguinte equação de diferenças representando a relação entre a entrada x[n] mathend000# e a saída y[n] mathend000# de um sistema linear invariante no tempo,

y[n] - y[n - 1] + 0.9y[n - 2] = x[n]

mathend000#

a)
calcule e faça um esboço da resposta impulsiva do sistema h[n] mathend000#
b)
calcule e faça um esboço da resposta indicial do sistema a[n] mathend000#
c)
trata-se de um sistema estável ? Porquê ?


Trabalho prático

Exercício 1: considere o sinal porta rectangular x[n] = u[n] - u[n - 20] mathend000# como o sinal de entrada de um sistema de resposta impulsiva h[n] mathend000# dada por

h[n] = anx[n]

mathend000#

onde a = 0.9 mathend000# é uma constante.

  1. verifique o cálculo do exercício 1 a) da preparação com o Matlab criando uma função própria utilizando, em particular, as funções de atraso e dobragem já desenvolvidas no trabalho anterior.

  2. faça uma segunda verificação utilizando a função de convolução própria do Matlab.

  3. compare e comente os resultados em termos de diferenças e semelhanças, precisão e tempo de cálculo (funções tic, toc, etime, clock, cputime, etc...) assim como em termos de operações, função flops.

Exercício 2:

Temos uma sequência de pontos x[n] mathend000# formando um sinal triangular de duração N = 10 mathend000# amostras e de amplitude A = 4 mathend000#. Construa x[n] mathend000# de forma eficiente. Filtre a sequência x[n] mathend000# com um filtro h[n] mathend000#, tal que

h[n] = exp-0.5n

mathend000#

  1. determine a resposta do filtro a um Dirac
  2. determine a resposta indicial do filtro
  3. calcule o sinal de resposta do filtro y[n] mathend000# ao sinal de entrada x[n] mathend000#
  4. construa versões atrasadas de n0 mathend000#=1, 2, 5 e 10 amostras do sinal de entrada x[n] mathend000# e determine as respectivas respostas do filtro.

Exercício 3:

Considere a seguinte equação de diferenças representando a relação entre a entrada x[n] mathend000# e a saída y[n] mathend000# de um sistema linear invariante no tempo,

y[n] - y[n - 1] + 0.9y[n - 2] = x[n]

mathend000#

Calcule e represente com a ajuda da função filter comparando com os resultados obtidos na preparação:

  1. a resposta impulsiva do sistema h[n];n = 0,..., 120 mathend000#.
  2. a resposta indicial do sistema a[n];n = 0,..., 120 mathend000#.
  3. verifique numericamente que se trata de um sistema estável.
  4. calcule a energia do sinal.


Folha 4 - TF de sinais discretos no tempo


Preparação teórica

A TF discreta no tempo é, por definição, contínua na frequência e torna-se por isso difícil de representar em Matlab através de um número finito de pontos. Outro problema surge com a impossibilidade de calcular um número infinito de pontos discretos no tempo.

Exercício 1: considere o sinal x[n] = 0.5nu[n] mathend000# onde u[n] mathend000# é a função degrau unidade.

a)
determine a expressão literal da TFDT X(f ) mathend000# de x[n] mathend000#.
b)
faça um esboço de |X(f )| mathend000# e de $ \angle$X(f ) mathend000#
c)
admitindo agora que o sinal x[n] mathend000# é finito com N mathend000# amostras, calcule a expressão literal de X(f ) mathend000#.
d)
represente o módulo e a fase de X(f ) mathend000# da alínea c) e compare com os esboços da alínea b).

Exercício 2: utilizando a TFDT demonstre que se y[n] = h[n]x[n] mathend000# então podemos escrever que Y(f )= H(f )X(f ) mathend000#, onde Y(f ) mathend000#, H(f ) mathend000# e X(f ) mathend000# são as TFDT de y[n] mathend000#, h[n] mathend000# e x[n] mathend000#, respectivamente.


Trabalho prático

Exercício 1: considere o sinal x[n] = 0.5nu[n] mathend000# onde u[n] mathend000# é a função degrau unidade.

a)
represente x[n] mathend000#
b)
visto que o sinal x[n] mathend000# é infinito no tempo somos levados apenas a calcular a representação gráfica da expressão calculada na preparação utilizando um número de pontos em f mathend000# razoável calcule e represente: 1) o módulo de X(f ) mathend000#, 2) a fase de X(f ) mathend000#, 3) a parte real e a parte imaginária de X(f ) mathend000#, colocando os eixos as legendas em todos os gráficos.

Exercício 2: vamos agora admitir que o sinal x[n] mathend000# do exemplo anterior é finito com N = 20 mathend000# amostras.

a)
calcule X(f) utilizando a implementação em Matlab da expressão de definição do TF de um sinal discreto em modo eficiente [ o somatório pode ser representado como uma multiplicação matricial ].
b)
represente X(f ) mathend000# em módulo e fase
c)
compare com os resultados do exercício 1 e com os resultados da preparação.

Exercício 3: considere o sinal p[n] = u[n] - u[n - n0] mathend000#.

a)
para n0 = 10 mathend000#, calcule e represente P(f ) mathend000# utilizando a implementação eficiente do execício anterior
b)
repita a alínea anterior com n0 = 20 mathend000#. Qual a diferença no resultado ? Explique.

Exercício 4: considere agora um novo sinal y[n] = x[n]p[n] mathend000#, onde x[n] mathend000# é o sinal do exercício 1.

a)
calcule e represente Y(f ) mathend000#.
b)
prove numericamente que Y(f )= X(f ) * P(f ) mathend000#. Explique as dificuldades encontradas.


Folha 5 - Densidade espectral


Preparação teórica

Exercício 1: sendo que rxy[n] mathend000# é a correlação entre os sinais x[n] mathend000# e y[n] mathend000#, demonstre que rxy[n] = y[l] * x[- l] mathend000#, i.e., que a correlação entre dois sinais é igual à convolução de um deles com a versão dobrada em relação ao tempo do outro.

Exercício 2: dado um sinal x[n] = anu[n] mathend000#, onde a mathend000# é um número real < 1 mathend000# e u[n] mathend000# é a função degrau unidade,

a)
calcule a expressão da sua função de autocorrelação rxx[l] mathend000#,
b)
calcule a sua densidade espectral de potência Pxx(f ) mathend000#
c)
determine e represente em módulo e fase de Pxx(f ) mathend000#
d)
calcule agora directamente a TFDT X(f ) mathend000# de x[n] mathend000# e represente o quadrado do seu módulo |X(f )$ \vert^{2}_{}$ mathend000# e compare o resultado obtido com o gráfico da alínea anterior.

Exercício 3: considere o sistema linear de coeficientes constantes descrito pelo relação entrada-saída

y[n] = 0.8y[n - 1] - x[n] (B.-5.1)
mathend000#
a)
determine e represente (módulo e fase) da função de transferência H(f ) mathend000# do sistema.
b)
qual a atenuação e atraso de fase sofrido por um sinal x[n] mathend000# sinusoidal com uma pulsação de 0.05$ \pi$ mathend000# rd/s quando passado pelo sistema de equação entrada-saída (C-7.2).


Trabalho prático

Exercício 1: utilização das funções do Matlab para a correlação e convolução:

a)
considere e represente dois sinais discretos x[n] = 0.9nu[n] mathend000# e y[n] = u[n] - u[n - 20] mathend000#.
b)
calcule e represente a sua função de correlação rxy[n] mathend000#.
c)
utilizando agora os mesmos sinais x mathend000# e y mathend000# e o produto de convolução com um dos sinais dobrados no tempo, demonstre que se obtem a mesma função de correlação rxy mathend000#.

Exercício 2: utilizando o sinal x[n] mathend000# do exercício anterior calcule:

b)
a sua função de autocorrelação rxx[l] mathend000#.
c)
determine e represente em módulo e fase da TF de rxx[l] mathend000#, Pxx(f ) mathend000# utilizando a implementação em Matlab da expressão de definição do TF de um sinal discreto em modo eficiente no seu intervalo de definição.
d)
calcule agora directamente a TF X(f ) mathend000# de x[n] mathend000# e represente o quadrado do seu módulo |X(f )$ \vert^{2}_{}$ mathend000# e compare o resultado obtido com o gráfico da alínea anterior.

Exercício 3: considere o sistema linear de coeficientes constantes descrito pelo relação entrada-saída

y[n] = 0.8y[n - 1] - x[n]

mathend000#

a)
determine e represente a função de transferência H(f ) mathend000# do sistema.
b)
calcule e represente a resposta do sistema ao sinal de entrada x[n] = cos(0.05$ \pi$n)u[n] mathend000#.


Folha 6 - Filtros I


Preparação teórica

Pretende-se calcular um filtro FIR de tipo passa-baixo de frequência de corte fc mathend000# e de atenuação A mathend000# dB entre a banda passante e a banda de corte.

  1. a partir do filtro passa-baixo ideal com as características pretendidas, calcule a forma literal da sua resposta impulsiva discreta
  2. implemente a resposta impulsiva discreta e torne-a finita através de uma janela de observação rectangular (função porta) de duração M mathend000# amostras. Calcule o espectro de amplitude do sinal obtido. Responde às características desejadas ? Explique porquê ?
  3. consegue melhorar as características do filtro aumentand o valor de M mathend000# ? Porquê ?


Trabalho prático

Exercício 1: uma das formas de especificar um filtro é através de uma equação de diferenças. Por exemplo a equação

y[n] = 0.0181x[n] + 0.0543x[n - 1] + 0.0543x[n - 2] + 0.0181x[n - 3] + 1.76y[n - 1] -  
    -1.1829y[n - 2] + 0.2781y[n - 3]  

representa um filtro de terceira ordem.

a)
calcule e represente o seu módulo e fase e demonstre que se trata de um filtro passa-baixo.
b)
qual a sua frequência de corte ? E a sua banda passante ?
c)
utilizando a expressão da TFI determine a resposta impulsiva do sistema. Como pode obter essa resposta de outra forma utilizando funções próprias do Matlab ? Compare.

Exercício 2: pretende-se calcular um filtro FIR com as seguintes características:

  • tipo: passa baixo
  • frequência de corte: fc = 100 mathend000# Hz.
  • oscilação máxima na banda passante: 0.25 dB
  • atenuação mínima na banda de corte: 50 dB
  • largura da banda de transição: 40 Hz
  • frequência de amostragem: fs mathend000# = 1000 Hz

  1. implemente a resposta impulsiva discreta calculada na preparação e torne-a finita através de uma janela de observação rectangular (função porta) de duração M = 25 mathend000# amostras. Calcule e represente o espectro de amplitude e de fase do filtro obtido e caracterize-o em termos dos parâmetros desejados
  2. aumente o valor de M mathend000# e volte a calcular o espectro. Consegue obter o filtro que se pretende ? Porquê ?
  3. substitua a função porta por uma função de Hanning, Hamming e Blackman. Consegue nesse caso obter o resultado pretendido ? Caracterize o filtro finalmente obtido.
  4. explique como obter desde logo o tipo de janela necessário de acordo com as características do filtro desejado.


Folha 7 - Filtros II


Preparação teórica

Leitura do capítulo 5.7 do texto de apoio de Sinais e Sistemas.


Trabalho prático

Exercício 1: pretende-se desenhar um filtro IIR a partir dos filtros analógicos tipo Butterworth, Chebyshev ou Elíptico, especificado pela sua resposta em frequência com as seguintes características:

  • tipo: passa banda
  • frequências de corte: f1 = 100 mathend000# e f2 = 300 mathend000# Hz.
  • oscilação máxima na banda passante: 2 dB
  • atenuação mínima na banda de corte: 80 dB
  • largura da banda de transição: 30 Hz
  • frequência de amostragem: fs mathend000# = 1000 Hz

  1. calcule a ordem mínima de cada um dos tipos de filtro que permitem realizar este filtro
  2. calcule os coeficientes do vários tipos de filtro
  3. calcule e represente a no mesmo gráfico as respostas em frequência em fase dos vários tipos de filtro. Determina quais são aqueles que melhor respondem aos critérios pedidos.

Exercício 2: utilizando o filtro mais complexo e o menos complexo do exercício anterior utilize-os para filtrar o seguinte sinal:

y(t) = sin(2$\displaystyle \pi$f1t) + sin(2$\displaystyle \pi$f2t) + sin(2$\displaystyle \pi$f3t) + sin(2$\displaystyle \pi$f4t)

mathend000#

com os seguinte valores de frequência em Hz f1 = 90 mathend000#, f2 = 105 mathend000#, f3 = 115 mathend000# e f4 = 118 mathend000#.

  1. utilizando um filtro do tipo recursivo no tempo.
  2. utilizando filtragem no domínio da frequência

truemm

Sergio Jesus 2008-12-30