Probabilidades e Estatística - Exercícios

Anao lectivo 1999/2000

Informática de Gestão, Engenharia de Sistemas e Computação, Ensino de Informática, Físsica e Química, Engenharia Física –Tecnológica (opção)

3ª parte - Distribuições de Probabilidade

I - Variáveis aleatórias discretas: algumas distribuições importantes

  1. Seja X uma variável aleatória de distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabe-se que o valor médio dessa variável é 4 e a sua variância é igual a 8/3. Determine o valor dos parâmetros.
  2. - De uma urna com seis bolas verdes e duas brancas fazem-se quatro extracções com reposição. Considere a v.a. X, que conta o número de bolas verdes extraídas.
  3. a) Determine o valor esperado de X e calcule a probabilidade da sua ocorrência.

    b) Calcule o desvio padrão de X.

  4. - Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 estão fundidas. Se retirarmos dessa caixa uma amostra de 4 lâmpadas, determine a probabilidade de :
    1. nenhuma ser defeituosa.
    2. haver 1 defeituosa.
    3. no máximo 1 ser defeituosa.

  5. O departamento de Biologia de uma Universidade tem 8 professores graduados, ocupando o mesmo gabinete. Cada um destes estuda tanto em casa como no gabinete. Quantas secretárias deve haver no gabinete de modo que cada um tenha uma secretária disponível em, pelo menos, 90% das vezes?
  6. 59 - Num armazém estão preparadas para serem distribuídas 10000 latas de um certo produto alimentar, das quais 500 ultrapassaram já o prazo de validade. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 10 embalagens escolhidas ao acaso, com reposição. A inspecção rejeita o lote se encontrarem mais que duas latas fora do prazo.
    1. Qual a probabilidade de rejeição do lote? (utilize a distribuição binomial e a sua aproximação pela Poisson).
    2. Qual o número de latas fora do prazo que se espera encontrar, em média, na amostra?

  7. - O número médio anual de casos de intoxicação num grande complexo petroquímico segue uma distribuição de Poisson, de valor médio 5.
    1. Qual o número médio de pessoas intoxicadas num período de seis meses?
    2. Qual a probabilidade de que, num ano, apareçam menos de 4 pessoas intoxicadas?
    3. Qual a probabilidade de que aparecem, em seis meses, entre 5 e 8 pessoas intoxicadas?
    4. Qual a probabilidade de, num período de 10 anos, aparecerem menos de 60 pacientes?

  8. - O número de automóveis que atravessam uma ponte durante um determinado período de tempo é uma v.a. com distribuição de Poisson. Admita que é 0.22 a probabilidade de não passar nenhum automóvel em 10 minutos.
    1. Qual a probabilidade de não passar nenhum em 20 minutos?
    2. Qual a probabilidade de, numa hora, atravessarem a ponte menos de 4 automóveis?

  9. - Sabe-se que uma bactéria, após atacar um organismo, se distribui homogeneamente pelos seus tecidos, havendo, em média, 16 bactérias por 1cm3 de sangue desse organismo. Sabendo que um ensaio clínico necessita encontrar numa amostra de sangue pelo menos 6 bactérias para que a doença possa ser detectada, determine a probabilidade de uma amostra de 0.5cm3 não ser adequada para identificar a doença em causa.
  10. - O número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria por dia tem uma distribuição de Poisson de parâmetro 2. As actuais instalações do porto podem atender, no máximo, três navios por dia. Os eventuais excedentes deverão seguir para outro porto.
    1. Qual o número esperado de navios que chegam por dia?
    2. Qual o número mais provável de navios que chegam por dia?
    3. Num dia, qual a probabilidade de haver navios que não possam ser atendidos?
    4. De quanto deverão ser aumentadas as actuais instalações para permitir atender todos os navios em aproximadamente 95% dos dias de serviço?
    5. Qual o número esperado de navios que são atendidos diariamente?
    6. Qual o número esperado de navios que terão de se dirigir diariamente a outros portos?
    7. Em 10 dias de funcionamento, qual a probabilidade de em pelo menos 8 a refinaria atender todos os navios que para lá se dirijam?

    II -Variáveis aleatórias contínuas: algumas distribuições importantes

  11. - Uma firma corta e vende lenha para lareiras. O comprimento dos toros varia uniformemente entre 2 e 3 pés.
    1. qual o comprimento médio de um toro cortado por essa firma?
    2. calcule a probabilidade de :

    ( i ) um toro ser maior que 2,6 pés.

    ( ii ) um toro ter mais de 3 pés.

    ( iii ) um toro ser inferior à média.

    ( iv ) um toro ter exactamente 2 pés.

    ( v ) um toro ter entre 2 e 3 pés.

  12. - O tempo (em horas) que determinado indivíduo preguiçoso dorme numa noite é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [7,12].
    1. Determine a probabilidade desse indivíduo dormir mais de 11 horas por noite.
    2. Determine a probabilidade de, em vinte noites, ele dormir mais de 11 horas em pelo menos três dessas noites.
    3. Determine a probabilidade de dormir mais de 1100 horas em 100 noites.

  13. - Para o estudo das propriedades físicas de um líquido, analisa-se a sua viscosidade registando o número de gotas que pingam, por hora, da abertura de uma bureta contendo esse líquido. Admita que o número de gotas caídas por hora é uma v.a. de Poisson de parâmetro 3.
    1. Determine a probabilidade de, em meia hora de observação, registar-se a queda de mais de uma gota.
    2. O investigador que regista os resultados da experiência pretende ausentar-se do laboratório durante alguns minutos. Que período máximo de tempo pode estar ele ausente para que tenha 85% de certeza de que entretanto não cai nenhuma gota da bureta?
    3. Imediatamente após ter caído uma gota, qual a probabilidade de o investigador ter de esperar mais de 40 minutos pela queda da gota seguinte?
    4. Sabendo que a última gota caíu já há 20 minutos, qual a probabilidade da próxima cair antes de se passar meia hora?
    5. Para extrair, com segurança, conclusões quanto à viscosidade do líquido em estudo, é necessário observar a queda de, pelo menos, 25 gotas. Qual a probabilidade de tal acontecer ao fim de 4 horas?

  14. - O tempo de espera, numa paragem, pela chegada de um táxi é, em média, 5 minutos. Admitindo que esse tempo é uma variável exponencial negativa, determine a probabilidade de se ter de esperar mais de 15 minutos e a probabilidade de apanhar um táxi no minuto imediatamente a seguir à chegada à paragem.
  15. - Considere a v.a. X com distribuição normal de valor médio 50 e desvio-padrão 6.
    1. Determine as seguintes probabilidades:
    2. a1) P(X>54) a2) P(X<57) a3) P(48<X<59)

      a4) P(52<X<55) a5) P(45<X<59) a6) P(X<30).

    3. Determine o valor k tal que P(X>k)=0.0023.

    c) Considere Y=kX. Sabendo que P(Y>120)=0.55, determine o valor de k.

  16. - Seja X é uma v.a. com distribuição normal, onde P(X ³ 3) = 0.8531 e P(X ³ 9) = 0.0179. Determine o valor médio e a variância dessa variável.
  17. - Numa população de 800 pessoas, o peso médio é 62 kg e o desvio-padrão 8 kg. Sabendo que os pesos seguem uma distribuição normal, determine:
    1. Número de pessoas com peso inferior a 58kg.
    2. Número de pessoas com peso superior a 84kg.
    3. Número de pessoas com peso entre 54kg e 70 kg.
    4. Formando ao acaso, a partir da população, uma amostra de 15 pessoas, qual a probabilidade do peso total dessa amostra ultrapassar a tonelada?

  18. - Uma máquina destinada a produção de anilhas fabrica anilhas com um diâmetro interno médio de 0,502 cm e um desvio-padrão de 0,005 cm. Essas peças irão ser utilizadas com parafusos cuja espessura oscila entre 0,496 e 0,508 cm. Assim, caso as anilhas ultrapassem essas dimensões são consideradas defeituosas.
    1. Assumindo que os diâmetros das anilhas se distribuem normalmente, determine a percentagem de anilhas defeituosas produzidas pela máquina.
    2. Cada anilha vai ser vendida por 0$60. O processo de fabrico de anilhas custa 0$25 por peça. Enquanto que as anilhas com largura superior a 0,508cm são jogadas fora, as anilhas com diâmetro inferior ao previsto (0,496cm) podem ainda ser reaproveitadas alargando-se esse diâmetro através de outra máquina, operação que custa mais 0$15 por anilha. Atendendo às anilhas defeituosas e às reaproveitadas, qual o lucro por anilha que se espera que o fabricante venha a usufruir?
    3. Uma maneira de reduzir o número de anilhas defeituosas consiste afinar a máquina de forma a reduzir a dispersão dos diâmetros das anilhas produzidas. Para quanto se deverá reduzir esse desvio-padrão para que mais de 90% das anilhas possam ser aproveitadas de imediato?

     

  19. - Sabe-se que a duração (em horas) de funcionamento de duas marcas distintas (M1 e M2) de um dispositivo electrónico é uma variável aleatória com distribuição normal. Para a marca M1 a duração tem distribuição X: N(40,36) e para M2 a duração tem distribuição Y: N(42,9).
    1. Qual das duas marcas terá maior probabilidade de funcionar durante um período superior a 48 horas?
    2. Numa situação de teste, colocou-se em funcionamento um grande número de dispositivos da marca M2. Quantas horas é necessário aguardar para que 90% desses dispositivos deixem de funcionar?
    3. O fabricante vendeu um total de 500 dispositivos da marca M1. Qual a probabilidade de apenas 50 durarem mais de 48 horas?

  20. - Sabe-se que a duração (em minutos) da viagem de automóvel que a Joana faz diariamente da sua casa para Gambelas é uma v.a. normal com valor médio 12 e variância 4.
    1. Determine a probabilidade da viagem demorar mais de 9 minutos?
    2. Sabendo que a Joana já saiu de casa há 10 minutos mas ainda não chegou a Gambelas, qual a probabilidade da duração da viagem não ultrapassar os 15 minutos?
    3. Ao fim de um mês (22 dias úteis) qual a probabilidade da Joana ter gasto mais de 9 horas (540 minutos) no caminho entre Gambelas e a sua casa? (considere que por dia a Joana faz duas viagens, ida e volta).

  21. - A probabilidade de um estudante ser aprovado em uma prova de matemática é 0.25.
    1. Determine a probabilidade de, em 500 estudantes, exactamente 150 ficarem aprovados nessa prova.
    2. Determine a probabilidade de, em 500 alunos, ficarem entre 120 e 150 aprovados.