Probabilidades e Estatística - Exercícios

Ano lectivo 1999/2000

Informática de Gestão, Engenharia de Sistemas e Computação, Ensino de Informática, Físsica e Química, Engenharia Física –Tecnológica (opção)

2ª parte – Variáveis Aleatórias

  1. Classifique as v. a. seguintes conforme discreta ou contínua:

    1. X: o número de acidentes de viação por ano em Portugal.

    2. Y: o tempo de duração de uma partida de golfe com 18 buracos.

    3. M: a quantidade de leite produzida durante um ano por uma vaca.

    4. N: o número de ovos postos mensalmente por uma galinha.

  2. Seja W a v. a. que dá o nº de diferença entre os totais de caras e coroas saídas em três lançamentos de uma moeda. Liste os elementos do espaço amostra e para cada um dos pontos associe o valor w, da variável W.

  3. Determine o valor c para o qual as funções abaixo mencionadas serão funções de probabilidade de uma v. a. X:

    1. f(x)=c(x2+4), para x=0,1,2,3 ;

    2. f(x)=c
    ,para x=0,1,2.

  4. O tempo de expiração, em dias, para garrafas de um certo remédio é uma variável aleatória tendo função de densidade

    5. f(x)=

    Ache a probabilidade de a garrafa do remédio tem um tempo de expiração

    1. de pelo menos 200 dias;
    2. algures entre 80 e 120 dias.
  5. O total de horas, medido em unidades de 100, que uma família utiliza o aspirador num período de um ano é uma variável aleatória X que tem função de densidade

    6. Calcule a probabilidade de que num período de 1 ano uma família utilize o aspirador

    1. menos do 120 horas;
    2. entre 50 e 100 horas.
  6. - Sabendo que uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição

    7. FX(x) =

    determine a sua função massa de probabilidade.

  7. - Dada a seguinte função

    8. FX(x) =

    1. diga se F(x) pode ser função de distribuição de uma variável aleatória X.
    2. a que correspondem os pontos de descontínuidade de F(x) ?
    3. determine P(0<X<2), P(0<X£ 2), P(0£ X<2) e P(0£ X£ 2). Se X fosse uma variável aleatória contínua, poderiam os resultados anteriores ser diferentes, uns em relação aos outros ?
  8. - Dada a função:

    9. FX(x) =

    1. determine k de forma a F(x) ser função de distribuição de uma v.a. contínua.
    2. determine a função densidade de X.
    3. determine s de forma que P(X£ s)= 1/2
  9. - Considere a função:

    10. fX(x) =

    1. determine k de forma a f(X) ser função densidade de probabilidade de uma v.a. X.
    2. determine a função distribuição de X e trace o seu gráfico.
    3. determine P(ê X - 2ê < 1) e P(X<3| X>1.5 ).

     

  10. - Depois de se terem pesado várias embalagens de 1 kg de café marca "Apetitoso", chegou-se à conclusão que, embora a embalagem indique 1 kg, o verdadeiro peso é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [ .85 kg, 1.05 kg ], isto é, a função de densidade tem a seguinte forma :

    11. fX(x) =

    1. calcule k e represente gráficamente f(x).
    2. determine a função de distribuição de X.
    3. qual a probabilidade de uma embalagem de café marca "Apetitoso" pesar menos de 1 kg ?
    4. da produção total, qual a percentagem de embalagens com peso superior ao indicado no rótulo ?

  11. - Uma agência que se encarrega de limpezas recebe pedidos de grupos de 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 empregados. Registos efectuados pela empresa permitem concluir que o modelo probabilistíco que se ajusta aos pedidos é dado por .40, .23, .11, .09, .08, e .09, respectivamente para cada um dos grupos considerados anteriormente. Representando por X a variável aleatória que representa o número de empregados pedidos de cada vez, calcule :

    1. P(X=1), P(X£ 3), P(1<X<3), P(1£ X£ 3), P(X >3), P(X=0).

    2. o valor médio, a variância e o desvio padrão.

    3. represente gráficamente a função massa de probabilidade da variável aleatória X.

    4. represente gráficamente a função distribuição da variável aleatória X.

  12. - Seja X uma v.a. com a seguinte f.d.p.:

    13. f(x) =

    Seja A={ X< 1/2 }, B={ X> 1/2 }e C={ 1/4<X< 3/4 }

    1. determine o valor de K.
    2. determine a correspondente função de distribuição.
    3. determine o valor esperado e a variância de X.
    4. P(A), P(B), P(C), P(A|B).
    5. A e B são acontecimentos independentes? Justifique.
  13. - Seja X uma variável aleatória cuja função massa de probabilidade é dada por :

    14. xi

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    P(X=xi)

    .10

    .30

    .40

    .10

    .05

    .05

    1. indique a respectiva função distribuição, e represente-a gráficamente.
    2. calcule P(X< 4.5), P(X³ 2) e P(2<X< 4.5).
    3. calcule o valor médio, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X.

     

  14. – Considere a v.a. X com f.m.p. fX(x):

    15. fX(x) =

    Determine a f.m.p. da v.a. Y=X2 - 2 e calcule E(Y) e Var(Y).

  15. – Seja x uma v.a. com valor esperado E(X)=0.1 e variância Var(X)=0.04. Será possível que P(-0.3<X<0.5)=0.4? justifique.
  16. – Sabe-se que a v.a. Y tem E(Y)=6 e E(Y2)=45.
    1. Será possível que P(0<Y<12)=0.6?
    2. Sendo W= 3+X/2, calcule E(W) e Var (W).
  17. - Suponha que :

    18. - o João durante um treino de basquetebol faz três lançamentos;

    - os lançamentos do João são independentes uns dos outros;

    - a probabilidade de o João encestar é igual a 0.6;

    Designando por X a v.a. que representa o número de cestos nos dois primeiros lançamentos, e por Y a v.a. que representa o número de cestos nos dois ultimos lançamentos, determine :

    1. a função massa de probabilidade conjunta do par (X,Y).
    2. a função massa de probabilidade condicional de (Y | X=1).
    3. P( X>Y).
    4. a função massa de probabilidade da variável aleatória Z = max(X,Y).

  18. - Numa fábrica duas máquinas A e B produzem o mesmo tipo de artigo, que poderá ter 0, 1, 2 ou 3 defeitos de fabrico, de acordo com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta :

    19. Números de defeitos

     

    0

    1

    2

    3

    Máquina A

    .1250

    .0625

    .1875

    .1250

    Máquina B

    .0625

    .0625

    .1250

    .2500

    1. verifica-se que um artigo não tem defeitos. Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A ?
    2. sabe-se que um artigo foi produzido pela máquina A. Qual a probabilidade de não ter defeitos ?
    3. sabe-se que um artigo tem 2 ou mais defeitos. Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A ?

    4. será que o número de defeitos que um artigo tem, é influênciado pela máquina que o produziu ?

     

  19. - Considere a variável aleatória X com distribuição de probabilidade :

    20. xi

    -1

    0

    1

    P(X= xi)

    1/3

    1/3

    1/3

    e Y =X2

    1. determine a distribuição conjunta do par (X,Y).

    2. o que pode concluir quanto à independência do par (X,Y) ?

    3. calcule a função de distribuição de X e represente-a graficamente.

  20. - Seja X uma variável aleatória representando o maior número de pintas ocorridos num lançamento de um par de dados não viciados. Determine :

    1. a f.m.p. definida pela variável aleatória X.

    2. o valor médio de X e a variância de X.

  21. - Admita que o par (X,Y) tem a seguinte distribuição conjunta de probabilidade :

    22. Y \ X

    -1

    0

    1

    -1

    1/8

    1/8

    1/8

    0

    1/8

    0

    1/8

    1

    1/8

    1/8

    1/8

    1. determine as f.m.p. marginais de X e Y.
    2. diga, justificando se X e Y são independentes.
    3. determine a cov (X, Y) e r (X, Y).

  22. - Seja X uma v.a. definida da seguinte forma:

    23. X

    P(X = x )

    m-1

    (k+1)/8

    m

    k/8

    m+3

    (k-1)/8

    m+5

    k/8

    Determine :

    1. K e m de modo que E(X) =1/4;

    2. E (3X-2), E(X2) e E(ê X ê );

    3. Var(3X-2), Var(X2) e Var(ê X ê ).

  23. - Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y.

    24. X \ Y

    -2

    -1

    4

    5

    1

    0.1

    0.2

    0

    0.3

    2

    0.2

    k

    0.1

    0

    Determine :

    1. o valor de k.

    2. E(X) e E(Y).

    3. Cov (X,Y)

    4. s x , s y e r (X,Y).