Exames de anos anteriores

Exame de Fundamentos de Telecomunicações - Junho 2004

Problema 1: considere o sinal aleatório x(t) = A cos(2 $\pi$ f_ct + $\theta$ ) mathend000# onde A mathend000# e f_c mathend000# são duas constantes reais representando respectivamente a amplitude e a frequência do sinal enquanto a fase $\theta$ mathend000# é uma variável aleatória, distribuída uniformemente no interval [0, 2 $\pi$ ] mathend000#.

a): calcule a função de autocorrelação r_xx(t + $\tau$ , t) mathend000# de x(t) mathend000#
b): determine se x(t) mathend000# é um processo estacionário. Justifique a sua resposta.
c): calcule a sua densidade espectral de potência P_xx(f ) mathend000#.

Problema 2: considerando os sinais {s_i(t);i = 1,..., 4} mathend000# da figura F.1, determine

**Figura F.1:** sinais {s_i(t);i = 1,..., 4} mathend000#
$\includegraphics[width=10cm]{figs/f1_exjun04.eps}$

a): os coeficientes de correlação $\rho_{{mk}}^{}$ mathend000# entre eles e
b): as distâncias euclidianas d_mk mathend000# entre eles.

Problema 3: considere uma sequência discreta sem memória que utiliza um alfabeto de L = 7 mathend000# símbolos {x₁, x₂,..., x_L} mathend000# emitidos um em cada milisegundo.

Tabela 6.4: probabilidade empírica de cada símbolo.

Símbolo	probabilidade
x₁ mathend000#	0.35
x₂ mathend000#	0.30
x₃ mathend000#	0.20
x₄ mathend000#	0.10
x₅ mathend000#	0.04
x₆ mathend000#	0.005
x₇ mathend000#	0.005

truemm

a): numa primeira transmissão de dados assumiu-se que os símbolos eram equiprováveis. Calcule a entropia da fonte e deduza o número médio de bits necessário para representar cada símbolo do alfabeto durante essa transmissão. Qual a taxa de transmissão em bits/s.
b): utilizando uma codificação com palavras de comprimento fixo, qual o número de bits necessário para representar este alfabeto e qual a taxa de transmissão necessária para transmitir uma mensagem utilizando este tipo de codificação.
c): durante a primeira transmissão fez-se uma estatística da probabilidade de cada símbolo tendo obtido os resultados indicados na tabela 6.4. Qual a entropia efectiva deste alfabeto ?
d): numa segunda transmissão de dados utilizou-se uma codificação com palavras de comprimento variável. Servindo-se do algoritmo de Hauffman determine o código de cada um dos sete símbolos da tabela 6.4.

Exame de Fundamentos de Telecomunicações - Julho 2004

Problema 1: considere um sinal s(t) mathend000# representado como uma combinação linear de K mathend000# funções ortonormais f_k(t) mathend000# tal que

$\displaystyle \hat{s}$ (t) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{K}$ s_kf_k(t)

mathend000#

onde

$\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ f_n(t)f_m^*(t)dt = $\begin{displaymath}\begin{cases} 0 & m \ne n \\ 1 & m=n\end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

Determine a expressão dos coeficientes {s_k;k = 1,..., K} mathend000# na expansão $\hat{s}$ (t) mathend000# que minimizam a energia

$\displaystyle \epsilon$ = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$ |s(t) - $\displaystyle \hat{s}$ (t) $\displaystyle \vert^{2}_{}$ dt

mathend000#

Problema 2: considere uma sequência binária formada por variáveis aleatórias descorrelacionadas de média nula e variância unidade, b_n mathend000#, a partir da qual se formam os símbolos I_n = b_n + b_n-1 mathend000#.

a)

demonstre que a função de autocorrelação da sequência de símbolos se escreve

$\displaystyle \phi_{{ii}}^{}$ (m) = E[I_nI_n-m] = $\begin{displaymath}\begin{cases} 2 & m=0\\ 1 & m=\pm 1\\ 0 & {\rm outro}~ m\end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

b)

calcule a densidade espectral de potência da sequência de símbolos P_ii(f ) mathend000#, com uma duração de símbolo de T mathend000# segundos.

c)

se a sequência de símbolos I_n mathend000# for transmitida utilizando uma modulação digital com uma forma do pulso g(t) = u(t) - u(t - T) mathend000#, onde T mathend000# é uma constante que representa a duração do pulso e u(t) mathend000# é a função degrau unidade, calcule a densidade espectral P_ss(f ) mathend000# do sinal modulador em banda base s_lm(t) mathend000#.

Problema 2: considere uma sequência discreta sem memória que utiliza um alfabeto de L = 6 mathend000# símbolos {x₁, x₂,..., x_L} mathend000# emitidos um em cada 3 milisegundos.

Tabela 6.5: probabilidade empírica de cada símbolo.

Símbolo	probabilidade
x₁ mathend000#	0.30
x₂ mathend000#	0.20
x₃ mathend000#	0.20
x₄ mathend000#	0.20
x₅ mathend000#	0.05
x₆ mathend000#	0.05

truemm

a): utilizando os resultados indicados na tabela 6.5 calcule a entropia efectiva deste alfabeto ?
b): calcule qual o número de bits mínimo necessário para emitir uma mensagem utilizando este alfabeto codificado utilizando palavras de comprimento fixo. Qual a velocidade de transmissão nesse caso ? Justifique.
d): utilizando uma codificação com palavras de comprimento variável com algoritmo de Hauffman determine o código de cada um dos seis símbolos da tabela 6.5.

Exame de Fundamentos de Telecomunicações I - 2007/08 (normal)

Problema 1 [5 val]: considere o impulso de rádio frequência da figura F.2 na qual uma sinusóide de amplitude A = 2 mathend000# e de frequência f_c = 4 mathend000# kHz se encontra modulada por uma função porta simétrica de amplitude unitária e de duração T = 1 mathend000# ms.

**Figura F.2:** impulso de rádio frequência.
$\includegraphics[width=10cm]{figs/f1_exfdt0708.eps}$

a): [1v] escreva a expressão do sinal s(t) mathend000# para qualquer t mathend000#,
b): [1v] calcule a sua Transformada de Fourier S(f ) mathend000#,
c): [2v] represente o espectro de amplitude e o espectro de fase do sinal s(t) mathend000#.
d): [1v] calcule o valor aproximado da largura de banda a -3 dB do espectro de potência deste impulso ?

Problema 2 [8 val]: um canal de transmissão tem uma resposta y(t) mathend000# a um sinal de entrada x(t) mathend000#, tal que

y(t) = k₁x(t - t₁) + k₂x(t - t₂) $\displaystyle \eqno$ (1)

mathend000#

onde k₁, k₂ mathend000# são constantes < 1 mathend000# e t₂ > t₁ mathend000#.

a): [1v] escreva a resposta impulsiva h_c(t) mathend000# do canal de transmissão.
b): [1v] calcule a sua resposta em frequência H_c(f )= Y(f )/X(f ) mathend000#.
c): [1v] sabendo que um sinal é dito sem distorção se z(t) = k₀x(t - t₀) mathend000#, onde k₀ mathend000# e t₀ mathend000# são constantes, determine H(f )= Z(f )/X(f ) mathend000#.
d): [3v] com o objectivo de igualizar o canal de transmissão coloca-se um igualizador de função de transferência H_eq(f ) mathend000# em cascata com o canal H_c(f ) mathend000#, tal que a função de transferência total se escreve H(f )= H_c(f )H_eq(f ) mathend000#. Fazendo k₀ = k₁ mathend000#, t₀ = t₁ mathend000# e aproximando

$\displaystyle {1\over {1+k e^{-j\omega t}}}$ $\displaystyle \approx$ 1 - ke^-jt
mathend000#
calcule a expressão aproximada do igualizador H_eq(f ) mathend000# que permite obter à saída do conjunto canal-igualizador um sinal z(t) mathend000# sem distorção.
e): [2v] determine a resposta impulsiva do igualizador h_eq(t) mathend000#.

Problema 3 [7 val]: considere o seguinte sinal

s(t) = $\begin{displaymath}\begin{cases} 1 & 0\le t \le T/2 \\ 0 & T/2 < t \le T\end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

a): [1v] escreva a resposta impulsiva h(t) mathend000# do filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000#.
b): [2v] sabendo que o receptor óptimo se obtem como a saída do filtro adaptado deslocado da duração T mathend000# do sinal, calcule e represente a resposta r(t) mathend000# do filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000#. Determine o valor máximo da saída r(t) mathend000# e para que instante esse valor é obtido.
c): [3v] se o sinal y(t) mathend000# à entrada do filtro adaptado tiver ruído, y(t) = s(t) + n(t) mathend000#, onde n(t) mathend000# é um ruído branco, gaussiano de média nula e de variância $\sigma^{2}_{}$ mathend000#, calcule E[r(T)] mathend000# e V[r(T)] mathend000#.
d): [1v] escreva a expressão da densidade de probabilidade de r(T) mathend000#.

Exame de Fundamentos de Telecomunicações I - 2007/08 (recurso)

Problema 1 [7 val]: considere um canal de transmissão com a seguinte resposta em frequência (amplitude)

|B(f )|= $\begin{displaymath}\begin{cases} {1\over {\sqrt{1+(f/W)^2}}},& \vert f \vert \le W\\ 0 & {\rm outro}~ f\end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

onde W = 4800 mathend000# Hz é a sua largura de banda e com ruído aditivo, Gaussiano de média nula e de densidade espectral N₀/2 mathend000#. Este canal é utilizado para transmitir dados binários a uma taxa de 4800 bits/s.

a): [3v] determine uma forma de pulso g(t) mathend000# que permita obter ISI nulo.
b): [4v] determine o espectro de amplitude do filtro emissor e do filtro receptor de forma a obter uma transmissão de dados óptima neste canal.

Problema 2 [10 val]: a resposta em frequência de um canal passa baixo é dada por

H(f )= $\begin{displaymath}\begin{cases} {1+\alpha \cos 2\pi ft_0} & \vert \alpha \vert < 1, \vert f \vert \le W\\ 0 & {\rm outro~}f\end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

onde W mathend000# é a largura de banda do canal. Um sinal s(t) mathend000# de banda inferior a W mathend000# é passado através do canal.

a): [3v] demonstre que o sinal de saída se escreve y(t) = s(t) + ( $\alpha$ /2)[s(t - t₀) + s(t + t₀)] mathend000#
b): [3v] sabendo que o sinal y(t) mathend000# é passado através de um filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000#, determine a resposta r(t) mathend000# do filtro nos instantes t = kT mathend000#, para k = 0, $\pm$ 1, $\pm$ 2 mathend000#, onde T mathend000# é o intervalo do símbolo.
c): [4v] defina o valor da interferência intersimbólica quando t₀ = T mathend000# ?

Problema 3 [3 val]: demonstre que x(t) = (- 1/ $\pi$ t) * $\hat{x}$ (t) mathend000#, onde $\hat{x}$ (t) mathend000# é a Transformada de Hilbert de x(t) mathend000#.

Exame de Fundamentos de Telecomunicações I - 2008/09 (normal)

Problema 1 [6 val]: considere o sinal modulado por impulsos de amplitude (ASK)

s(t) = $\displaystyle \sum_{{k=-\infty}}^{{+\infty}}$ A_kg(t - kT_s)

mathend000#

onde g(t) mathend000# é a forma de pulso e onde o intervalo de símbolo T_s = 1 mathend000# ms.

a): [1v] qual a taxa de transmissão de símbolo R_s mathend000# ? E a taxa de transmissão de bit R_b mathend000# com M=2 ? E para M=16 ? Justifique as suas respostas.
b): [2v] para uma forma de pulso rectangular de amplitude unidade determine a densidade espectral de potência P_s(f ) mathend000# de s(t) mathend000# quando a sequência aleatória A_k mathend000# é estacionária, sem memória, de média nula e de variância $\sigma_{A}^{2}$ mathend000#.
c): [2v] represente P_s(f ) mathend000# calculado em b) e calcule o valor aproximado da largura de banda a -3 dB.
d): [1v] assumindo que o sinal s(t) mathend000# é enviado através de um canal de transmissão cuja resposta em frequência em banda base é constante numa banda [- W, W] mathend000#, determinar a condição em T mathend000# para que o sinal recebido tenha ISI nula (``zero forcing''), desprezando a energia fora da banda a -3 dB da densidade espectral de s(t) mathend000#.

Problem 2 [7 val]: consider the set of signals {s_i(t);i = 1,..., 4;0 $\le$ t $\le$ 3} mathend000# of figure F.3.

**Figura F.3:** signals {s_i(t);i = 1,..., 4} mathend000#
$\includegraphics[width=10cm]{figs/f1_exdec08.eps}$

a): [1v] calculate the energy $\mathcal {E}$ _i mathend000# of each one of the signals s_i(t) mathend000#
b): [1v] determine and represent the energy normalized set of signals { $\bar{s}_{i}^{}$ (t)} mathend000#.
c): [2v] calculate the correlation coefficients between signals, { $\rho_{{ij}}^{}$ ;i, j = 1,..., 4, i $\ne$ j} mathend000#. The proposed set of signals may form an orthogonal/orthonormal basis functions? Justify your answer.
d): [2v] from the same set of signals form an orthonormal basis of functions. What's the dimension of that basis ? Justify.
e): [1v] let us assume that we want to transmit the following signal s(t) mathend000#

s(t) = $\begin{displaymath}\begin{cases}1 & 0\le t \le 1 \\ -1 & 1 < t \le 2 \\ 1 & 2 < t \le 3 \\ \end{cases}\end{displaymath}$
mathend000#
Determine the coefficients s_k mathend000# of the expansion of s(t) mathend000# in the orthonormal basis determined in d) such that

s(t) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{K}$ s_k $\displaystyle \bar{s}_{i}^{}$ (t), 0 $\displaystyle \le$ t $\displaystyle \le$ 3
mathend000#
where K mathend000# is the dimension of the basis also determined in d). Is this basis of signals complete ? Justify.

Problema 3 [7 val]: considere o seguinte sinal

s(t) = $\begin{displaymath}\begin{cases}1 & 0\le t \le T/2 \\ -1 & T/2 < t \le T\\ \end{cases}\end{displaymath}$

mathend000#

a): [1v] escreva a resposta impulsiva h(t) mathend000# do filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000#.
b): [2v] sabendo que o receptor óptimo se obtém como a saída do filtro adaptado deslocado da duração T mathend000# do sinal, calcule e represente a resposta r(t) mathend000# do filtro adaptado ao sinal s(t) mathend000#.
c): [1v] determine o valor máximo da saída r(t) mathend000# e para que instante esse valor é obtido.
d): [2v] se o sinal y(t) mathend000# à entrada do filtro adaptado tiver ruído, y(t) = s(t) + n(t) mathend000#, onde n(t) mathend000# é um ruído branco, gaussiano de média nula e de variância $\sigma^{2}_{}$ mathend000#, calcule E[r(t)] mathend000# e V[r(t)] mathend000#, respectivamente valor esperado e variância da resposta do filtro adaptado.
e): [1v] no caso do sinal de entrada do filtro adaptado com ruído, escreva a expressão da densidade de probabilidade de r(T) mathend000#.

Sergio Jesus 2008-12-30