Variáveis aleatórias Gaussianas complexas

Considere-se uma varável aleatória Gaussiana complexa Z = X + jY mathend000# onde X mathend000# e Y mathend000# são varáveis aleatórias reais Gaussianas de média m_x mathend000# e m_y mathend000# e de variâncias $\sigma_{x}^{2}$ mathend000# e $\sigma_{y}^{2}$ mathend000#, respectivamente, sendo que X mathend000# e Y mathend000# são independentes. Assim, se as densidades de probabildiade de X mathend000# e Y mathend000# se escrevem

$${1\over {\sqrt{2\pi \sigma_x^2}}} {{(x-m_x)^2}\over {2\sigma_x^2}}$$ p_X(x) =

$${1\over {\sqrt{2\pi \sigma_y^2}}} {{(y-m_y)^2}\over {2\sigma_y^2}}$$ p_Y(y) =

podemos então obter a densidade de proabilidade de Z mathend000# através da densidade conjunta obtida através do produto das densidades de X mathend000# e de Y mathend000#. Assim,

$${1\over {2\pi \sigma_x\sigma_y}} {{{(x-m_x)^2}\over {2\sigma_x^2}} + {{(y-m_y)^2}\over {2\sigma_y^2}}}$$ (C.-0.01)

No caso em que m_x = m_y = 0 mathend000# e que $\sigma_{x}^{}$ = $\sigma_{y}^{}$ = $\sigma$ mathend000# então podemos escrever (C-0.2) como

$${1\over {2\pi\sigma^2}} {{(x^2+y^2)}\over {2\sigma^2}}$$ (C.-0.02)

e dado que

E[Z] = E[X] + jE[Y]

$$\vert^{2}_{}$$ V[Z] =

$$\vert^{2}_{} \vert^{2}_{}$$ =

= V[X] + V[Y]

$$\sigma^{2}_{}$$ =

e assim $\sigma_{z}^{2}$ = 2$\sigma^{2}_{}$ mathend000#. Podemos escrever finalmente a densidade de Z mathend000# a partir de (C-0.3) como

$${1\over {\pi\sigma_z^2}} {{\vert z \vert^2}\over {\sigma_Z^2}}$$ (C.-0.03)

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