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Fasor e Impedância
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Fasor e Impedância |
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11.1.1 Números Complexos e Sinais SinusoidaisOs números complexos podem ser representados em dois formatos básicos (Figura 11.1): no formato rectangular
em que a e b definem as coordenadas rectangulares do ponto no plano, e no formato polar
cuja representação em notação exponencial é
e em que P eq definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas regras
Figura 11.1 Representação de um número complexo nos formatos rectangular (a) e polar (b)
e
Os sinais sinusoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal
define uma tensão eléctrica sinusoidal de amplitude máxima V, frequência angular w e fase na origem q. Por outro lado, as funções cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notação exponencial
e
respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas
e
Uma notação alternativa para as funções cos(x) e sin(x) consiste na utilização dos operadores Real de e Imaginário de. Neste caso,
e
Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:
relativamente ao operador derivada, e
relativamente ao operador adição. Admita-se então que se pretende derivar o resultado da soma de duas funções sinusoidais, por exemplo
Recorrendo à notação estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-p/2), obtém-se
que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (11.13) e (11.14) se simplifica para
ou seja,
ou ainda
como seria de esperar por resolução directa de (11.15). De acordo com este resultado, o tratamento de uma equação com funções sinusoidais pode ser efectuada recorrendo à função exponencial complexa, bastando para tal aplicar o seguinte procedimento:
11.1.2 FasorConsidere-se a função exponencial complexa
em conjunto com a sua representação no plano complexo (Figura 11.2.a). Nos instantes t=ti a exponencial complexa vale
valores que se repetem com uma periodicidade T=2p/w. A periodicidade da função em (11.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferência de raio A roda com uma velocidade angular de w rad/s. No entanto, se se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horário com uma velocidade angular w, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b)
grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas
ou
Figura 11.2 Conceito de fasor A importância da notação fasorial na análise do regime forçado sinusoidal deve-se ao facto de nos circuitos lineares excitados por fontes sinusoidais as tensões e as correntes em todos os nós e componentes do circuito serem também sinusoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e de representação das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informação relativa à amplitude e à fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa à frequência angular (e ao tempo) que, como se disse, é comum a todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo através da sequência de operações
11.1.3 Impedância EléctricaConsidere-se a resistência representada na Figura 11.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente
e admita-se que a corrente é sinusoidal, i(t)=Icos(wt+q). De acordo com (11.26), a tensão aos terminais da resistência é também sinusoidal
e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação exponencial
permite escrever a relação fasorial
Figura 11.3 Impedância eléctrica da resistência a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionados pelo parâmetro resistência eléctrica. Como se indica na Figura 11.3.b, e dada a natureza real do parâmetro R, os fasores da tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedância eléctrica da resistência o cociente entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 11.3.c)
Considere-se agora o condensador representado na Figura 11.4, cuja característica tensão-corrente é expressa pela derivada
e admita-se ainda que a tensão aplicada é sinusoidal, v(t)=Vcos(wt+q). Neste caso, a representação em notação exponencial
permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente
a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de p/2 radianos relativamente ao fasor da tensão (Figura 11.4.b). A impedância eléctrica do condensador é um número imaginário puro (Figura 11.4.b)
cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da sinusóide sob análise.
Figura 11.4 Impedância eléctrica do condensador Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (Figura 11.5)
conduz à relação fasorial
de onde se obtém a expressão da impedância eléctrica
A relação (11.37) indica que o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de p/2 radianos relativamente à corrente.
Figura 11.5 Impedância eléctrica da bobina Considere-se o circuito RL representado na Figura 11.6.a e admita-se que a tensão aplicada é sinusoidal. Neste caso,
isto é,
e a impedância do conjunto é
A impedância eléctrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexo cuja representação no formato polar é
(Figuras 11.6.b), em que Z e j representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato rectangular é
(Figura 11.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última é vulgarmente designada por reatância). O inverso da impedância designa-se por admitância eléctrica, cuja unidade é o siemens (S).
Figura 11.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas rectangulares (b) e polares (c) da impedância eléctrica Na Tabela 11.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoriais, as impedâncias e as admitâncias eléctricas dos componentes resistência, condensador e bobina.
Tabela 11.1 Resistência, condensador e bobina |
