5.1

Método dos Nós

O método dos nós consiste na aplicação consecutiva dos seguintes quatro passos:

(i) determinação do número total de nós do circuito (N), escolha de um nó de referência e atribuição de um sentido positivo para a corrente em cada um dos ramos. O sentido arbitrado não deve necessariamente ser coincidente com o sentido real da corrente no circuito;

(ii) aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes a cada um dos (N-1) nós do circuito;

(iii) substituição da característica tensão-corrente dos componentes ligados aos nós;

(iv) resolução do sistema de equações para obtenção das tensões nos (N-1) nós do circuito.

Esta metodologia é válida para qualquer circuito com fontes independentes e dependentes.

5.1.1 Fontes de Corrente Independentes

Considere-se um circuito constituído apenas por resistências e fontes de corrente independentes (Figura 5.2).

Figura 5.2 Método dos nós: circuito com fontes de corrente independentes

Pretende-se analisar o circuito através do método dos nós.

Passo 1: uma vez que o circuito possui três nós (N=3), conclui-se que são necessárias (N-1)=2 equações para a sua resolução (é comum definir-se a referência como sendo o nó no qual incide o maior número de ramos). Os sentidos arbitrados para as correntes em cada um dos ramos encontram-se indicados na própria figura.

Passo 2: a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as seguintes equações:

nó-1

(5.1)

nó-2

(5.2)

Passo 3: a substituição da Lei de Ohm nos termos relativos às correntes nas resistências permite rescrever as equações (5.1) e (5.2) na forma

nó-1

(5.3)

nó-2

(5.4)

que, em conjunto, definem um sistema de equações algébricas cuja representação matricial é

(5.5)

Passo 4: a resolução do sistema de equações (5.5) permite obter as expressões das tensões nos nós-1 e -2,

(5.6)

e

(5.7)

respectivamente. Uma vez conhecidas as tensões v₁ e v₂, podem então determinar-se as correntes nas três resistências, designadamente através das relações

(5.8)

(5.9)

e

(5.10)

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.3, o qual é composto por diversas fontes de corrente independentes.

Figura 5.3 Exemplo de aplicação do método dos nós

A aplicação sistemática dos preceitos do método permite obter os seguintes resultados:

Passo 1: uma vez que o circuito contém quatro nós (N=4), são necessárias (N-1)=3 equações linearmente independentes para a sua resolução.

Passos 2 e 3: a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1, -2 e -3 permite obter, após substituição da Lei de Ohm nos termos relativos às resistências, as equações algébricas

nó-1

(5.11)

nó-2

(5.12)

nó-3

(5.13)

que, em conjunto, definem um sistema de três equações algébricas cuja representação matricial é

(5.14)

Passo 4: a aplicação da regra de Cramer à relação matricial (5.14) permitir obter as expressões das tensões nos três nós do circuito (ver Apêndice-B), designadamente

(5.15)

(5.16)

e

(5.17)

em que D define o determinante da matriz [G], e D₁, D₂ e D₃ definem os determinantes da matriz [G] quando a primeira, a segunda e a terceira colunas, respectivamente, são substituídas pelo vector das fontes de corrente independentes, [i_s]. Por exemplo, a expressão da tensão no nó-1 (expressão (5.15)) resulta da expansão do cociente entre determinantes

(5.18)

Os exemplos de aplicação apenas considerados permitem derivar um conjunto de regras de construção sistemática da relação matricial característica de um circuito. Verifica-se assim que na relação matricial:

(i) as variáveis do circuito definem um vector coluna (do qual se exclui o nó de referência);

(5.19)

(ii) as fontes independentes se agrupam num vector coluna

(5.20)

cujos termos são dados pelo somatório das fontes independentes incidentes no nó correspondente;

(iii) as resistências se agrupam numa matriz quadrada,

(5.21)

designada por matriz de condutâncias do circuito. Os elementos da diagonal principal da matriz (G_jj) são dados pelo somatório das condutâncias ligadas ao nó-j, enquanto os restantes elementos (G_ij com i¹ j) são dados pela soma das condutâncias ligadas entre os nós i e j, afectados de um sinal negativo. A matriz é simétrica sempre que os circuitos integrem apenas fontes independentes.

5.1.2 Fontes de Tensão Independentes

A presença de fontes de tensão num circuito tem como principal consequência a redução do número de equações linearmente independentes cuja obtenção exige a aplicação da LKC. A razão desta redução é simples: as fontes de tensão definem por si só ou a tensão ou a relação entre as tensões em dois nós. Por conseguinte, é comum distinguir três tipos de ligação das fontes de tensão: ligadas ao nó de referência (Caso 1); ligadas entre dois nós distintos da referência (Caso 2); e ligadas em série com uma resistência, definindo em conjunto uma fonte com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Tensão Independentes Ligadas ao Nó de Referência

Considere-se o circuito representado na Figura 5.4, o qual integra uma fonte de tensão independente. A análise do circuito visa obter as expressões das tensões nos nós-1 e -2, que na secção anterior resultavam da aplicação da LKC aos nós referidos. No entanto, no caso presente verifica-se que a tensão no nó-1 é definida de forma explícita pela fonte de tensão v_s, não constituindo, portanto, uma variável a determinar por aplicação da LKC.

Figura 5.4 Método dos nós (Caso 1)

Com efeito, para cada um dos dois nós do circuito podem obter-se as equações

nó-1

(5.22)

portanto já resolvida, e

nó-2

(5.23)

a qual, por substituição de (5.22), permite obter a equação algébrica

(5.24)

na qual se inscreve a expressão da tensão no nó-2

(5.25)

Identificam-se assim as seguintes alterações relativamente ao método introduzido anteriormente:

(i) a dimensão da relação matricial é reduzida de uma unidade;

(ii) o vector das fontes independentes integra o efeito da fonte de tensão, conforme indica o termo G₂v_s em (5.24).

Caso 2: Fontes de Tensão Independentes Ligadas entre dois Nós Distintos da Referência

Na Figura 5.5 considera-se o caso de um circuito que possui uma fonte de tensão ligada entre dois nós distintos da referência.

Figura 5.5 Método dos nós (Caso 2)

Este facto indicia uma relação entre as tensões respectivas,

(5.26)

e, portanto, entre as equações eventualmente obtidas por aplicação da LKC. Os nós-2 e -3 definem aquilo que vulgarmente se designa por super-nó ou nó generalizado.

Arbitrando a tensão no nó-2 como a incógnita a resolver, verifica-se que

(5.27)

no nó-1, e

(5.28)

no super-nó-2-3. Portanto, é válida a relação matricial

(5.29)

Caso 3: Fontes de Tensão com Resistência Interna

Considere-se na Figura 5.6.a um circuito com uma fonte de tensão com resistência interna.

Figura 5.6 Método dos nós (Caso 3)

Sendo o circuito de quatro nós, designadamente a referência e os nós-1, -2 e -3, e inclui uma fonte de tensão, à partida seria necessário aplicar duas vezes a LKC. No entanto, existem aqui dois modos de reduzir a ordem da relação matricial:

(i) constatar que o nó-3 se enquadra no Caso-1 estudado anteriormente;

(ii) transformar a fonte de tensão v_s e a resistência R₄ numa fonte de corrente com resistência interna (Figura 5.6.b).

A segunda alternativa reduz automaticamente o número total de nós do circuito.

Uma vez que o circuito transformado contém apenas fontes de corrente independentes, é fácil verificar que a relação matricial respectiva é dada por

(5.30)

Considere-se na Figura 5.7.a um circuito que integra simultaneamente fontes de corrente e de tensão independentes. Tendo o circuito quatro nós, à partida seria necessário aplicar três vezes a LKC, designadamente aos nós-1, -2 e -3. No entanto, este circuito apresenta como particularidades:

(i) a tensão no nó-1 é definida directamente pela fonte v_s1 (Caso-1);

(ii) a tensão no nó-3 é definida directamente pela fonte v_s2 (Caso-1);

(iii) o nó-3 pode ser eliminado por transformação da fonte de tensão v_s2 e da resistência R₄ numa fonte de corrente com resistência interna (Figura 5.7.b).

Figura 5.7 Exemplo de aplicação do método dos nós

De acordo com as simplificações em (i) e (iii), a análise do circuito resume-se à aplicação da LKC ao nó-2,

(5.31)

equação na qual se inscreve a expressão da tensão respectiva

(5.32)

Caso fosse necessário determinar as tensões nos nós-1 e -3, então

(5.33)

e

(5.34)

5.1.3 Fontes de Corrente Dependentes

A inserção de fontes dependentes nos circuitos acarreta apenas alterações ao nível da matriz de condutâncias. Tais alterações devem-se essencialmente ao facto de as fontes dependentes serem uma função da tensão entre nós ou da corrente num elemento - portanto, uma função das próprias variáveis do circuito.

Na Figura 5.8.a considera-se um circuito que inclui uma fonte de corrente controlada pela tensão aos terminais de uma resistência. A aplicação do método dos nós a este circuito baseia-se em dois passos:

Figura 5.8 Método dos nós: circuito com fonte de corrente dependente

Passo 1: inicialmente anulam-se todas as fontes dependentes (Figura 5.8.b) e aplica-se o método tal como introduzido ao longo das secções anteriores. Uma vez que este circuito não possui fontes de tensão, a inspecção do mesmo permite obter directamente a relação matricial

(5.35)

Passo 2: seguidamente introduzem-se os efeitos devidos às fontes dependentes. Uma vez que no presente caso a fonte dependente se encontra ligada apenas ao nó-1, só a equação relativa a este nó deve ser redefinida. Assim,

(5.36)

ou seja

(5.37)

A inspecção da relação (5.37) permite constatar que o efeito devido à fonte dependente incorpora a matriz [G], mais concretamente na linha correspondente ao nó e nas colunas relativas às variáveis que a controlam.

5.1.4 Fontes de Tensão Dependentes

A análise de circuitos com fontes de tensão dependentes integra aspectos comuns às metodologias estabelecidas anteriormente para os circuitos com fontes de tensão independentes e fontes de corrente dependentes: cada fonte de tensão dependente reduz de uma unidade o número de nós aos quais é necessário aplicar a LKC, mas os seus efeitos incorporam apenas a matriz [G]. Tal como para o caso dos circuitos com fontes independentes, podem distinguir-se três tipos de ligação das fontes de tensão dependentes: fontes ligadas ao nó de referência (Caso 1); fontes ligadas entre dois nós distintos da referência (Caso 2); e fontes de tensão ligadas em série com uma resistência, definindo no conjunto uma fonte de tensão com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Tensão Dependentes Ligadas ao Nó de Referência

Considere-se o circuito da Figura 5.9.a, o qual possui no seu seio uma fonte de tensão controlada pela corrente na resistência R₂, aqui designada por i₂.

Figura 5.9 Método dos nós: circuito com fonte de tensão dependente (Caso 1)

Uma vez que o circuito possui quatro nós, em princípio seria necessário aplicar três vezes a LKC. Identificam-se as seguintes duas particularidades: a fonte de tensão v_s e a resistência R₁ podem ser transformadas numa fonte de corrente com resistência interna, o que permitirá eliminar o nó-3 (Figura 5.9.b); e a fonte dependente estabelece uma relação entre a tensão no nó-2 e as variáveis que a controlam, neste caso

(5.38)

A análise do circuito resume-se, assim, à aplicação da LKC ao nó-1,

(5.39)

a qual tendo em atenção (5.38) se simplifica para

(5.40)

ou seja

(5.41)

A relação (5.40) indica que os efeitos da fonte de tensão dependente se fazem sentir na matriz [G], para além, muito naturalmente, da redução operada sobre o número de aplicações da LKC.

Caso 2: Fontes de Tensão Dependentes Ligadas Entre Dois Nós Distintos da Referência

Na Figura 5.10 considera-se o caso de um circuito que integra uma fonte de tensão dependente. Esta fonte estabelece uma relação entre as tensões nos nós-1 e-2, definindo em conjunto um super-nó, facto que permite reduzir para um o número total de aplicações da LKC necessárias.

Figura 5.10 Método dos nós: circuito com fonte de tensão dependente entre dois nós distintos da referência (Caso 2)

A análise do circuito resume-se, então, à aplicação da LKC ao super-nó 1-2,

(5.42)

que após substituição das relações

(5.43)

e

(5.44)

ou seja

(5.45)

se pode rescrever

(5.46)

ou ainda

(5.47)

Caso 3: Fontes de Tensão Dependentes com Resistência Interna

O circuito figurado em 5.11.a é composto por quatro nós, dos quais um coincide com a referência.

Figura 5.11 Método dos nós: inclusão de fontes de tensão dependentes com resistência interna (Caso 3)

Aparentemente seria necessário aplicar três vezes a LKC, designadamente aos nós-1, -2 e -3, deste modo obtendo um sistema de três equações a três incógnitas. No entanto, os nós-2 e -3 podem ser eliminados através da associação em série das resistências R₂ e R₃, seguida da transformação de fonte do conjunto resistências e fonte de tensão dependente (Figura 5.11.b). O circuito simplificado coincide na forma com um dos casos considerados anteriormente, sendo em particular válido

(5.48)

da qual resulta a expressão da tensão no nó-1

(5.49)