Matrizes e
Determinantes
B.1 Matrizes
Uma matriz é um agregado de números,
coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas
 |
(B.1) |
os quais são designados
por elementos da matriz e representados por aij.
Os índices i e j indicam, respectivamente,
a linha e a coluna em que o elemento aij
se encontra na matriz.
Uma matriz com m linhas e n
colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que
uma matriz na qual m=n é dita quadrada. Uma
matriz com uma só coluna é designada por vector coluna
 |
(B.2) |
e uma matriz com uma só
linha é designada por vector linha
 |
(B.3) |
As matrizes cujos
elementos verificam a igualdade aij=aji
são designadas por simétricas.
As matrizes da mesma ordem podem ser
somadas ou subtraídas elemento a elemento
 |
(B.4) |
operações que
verificam seja a propriedade da comutatividade
seja a da
associatividade
| (A + B) + C = A
+ (B + C) |
(B.6) |
O produto de matrizes
só é possível nos casos em que estas verificam a
relação entre ordens
| C(m*n) = A(m*r)
* B(r*n) |
(B.7) |
isto é, a matriz A
possui o mesmo número de colunas que o número de linhas
da matriz B, tendo a matriz produto, C, um
número de linhas e de colunas igual a, respectivamente,
o número de linhas da matriz A e o número de
colunas da matriz B. O produto de duas matrizes
efectua-se de acordo com a seguinte regra:
 |
(B.8) |
é equivalente a
| p = a11x
+ a12y + a13z |
(B.9) |
| q = a21x
+ a22y + a23z |
(B.10) |
| r = a31x
+ a32y + a33z |
(B.11) |
B.2 Determinantes
Um determinante é um agregado de
números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e
colunas e é utilizado na resolução de sistemas de
equações,
 |
(B.12) |
Por exemplo, os
determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são
dados por
 |
(B.13) |
e por
 |
(B.14) |
respectivamente. Em
geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n)
é obtido a partir do cálculo dos cofactores e dos
menores. O menor mij é o
determinante de uma matriz à qual foram retiradas a
linha i e a coluna j. Por exemplo, no caso
do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11,
m12 e m13 são
dados por
 |
(B.15) |
 |
(B.16) |
 |
(B.17) |
respectivamente. Por
outro lado, os cofactores Cij
são dados por
| Cij
= (-1)(i+j)mij |
(B.18) |
A regra de cálculo do
determinante de uma matriz (n*n) é
 |
(B.19) |
em que j é uma
qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no
caso de uma matriz (3*3)
| D = a11c11
+ a21c21 + a31c31 = a11 ( a22a33
- a32a23)(-1)2
+ a21(a12a33
- a32a13)(-1)3
+ a31(a12a23
- a22a13)(-1)4
|
(B.20) |
Um sistema de n
equações a n variáveis
| vs1
= a11i1 + a12i2
+ . . . + a1nin vs2 = a21i1
+ a22i2 + . .
. + a2nin
... ... ... ...
vsn
= an1i1
+ an2i2
+ . . . + annin
|
(B.21) |
pode ser representado
com base numa relação matricial
 |
(B.22) |
As expressões das
soluções ii do sistema são
dadas pela regra de Cramer
 |
(B.23) |
em que Di
representa o determinante da matriz quando a coluna i
é substituída pelo vector coluna [vs].
Por exemplo, considerando o caso particular de um sistema
de três equações, as soluções i1,
i2 e i3 são
dadas por
 |
(B.24) |
 |
(B.25) |
 |
(B.26) |
respectivamente.
|
