Corrente alternada: potência, valores médios e eficazes

Temos vindo a considerar até agora correntes e tensões como funções constantes do tempo. Todos sabemos porém, que as aparelhos em nossa casa funcionam em corrente alternada, i.e., uma corrente (e tensão) que varia em função do tempo. Esta variação temporal pode ser de variadas formas mas a mais corrente é a sinusoidal. Isto significa que, por exemplo, a variação da tensão em função do tempo se pode escrever da seguinte forma

$$v(t) = V_m \sin (\omega t + \phi),$$ (2-3.01)

como representado na figura 2.3, onde $V_m$ é o valor máximo da sinusoide, $\omega$ é a pulsação radial, que se mede em rd/s e é igual a $2\pi f$, sendo $f$ a frequência do sinal medido em Hertz e tal que $f=1/T$ com $T$ o período da onda em segundos; $\phi$ é chamada a fase e mede-se em radianos.

Figura 2.3: onda sinusoidal.

No caso da figura 2.3 notamos que o período é de $T=0.5$ s, $f=1/T=2$ Hz, $V_m=2$ volts e que quando $t=0$ temos que $v(0)=0.591$ volts e portanto podemos deduzir a fase $\phi$ a partir de (2-3.1)

$$\phi = \arcsin {{v(0)}\over {V_m}} = \arcsin {{0.591}\over 2} \approx 0.3   {\rm rd} \approx 17.2   {\rm graus}.$$

O efeito da fase é o de deslocar a sinusoide ao longo do eixo do tempo; dizemos que a onda se encontra desfasada quando $\phi \neq 0$; se $\phi > 0$, dizemos que a onda se encontra adiantada, isto porque como se pode ver na figura 2.3, o ponto $v(t)=0$ aparece ``antes'' de $t=0$ (fora da figura à esquerda); se por outro lado $\phi < 0$ então a onda diz-se atrasada pois o deslocamento faz-se para a direita e todos os pontos aparecem mais tarde do que deveriam se $\phi$ fosse igual a zero.

A potência instantânea dissipada, por exemplo, numa resistência $R$, pela onda $v(t)$ da figura 2.3, é dada por (utilizando (2-2.6))

$$p(t) = v(t) i(t) = {{v(t)^2}\over R} = Ri^2(t),$$ (2-3.02)

de onde se pode deduzir a potência média num período $T$

$$\bar p = {1\over T} \int_0^T p(t) dt,$$ (2-3.03)

e substituindo (2-3.1) e (2-3.2) em (2-3.3), obtem-se

$$\bar p = {{V_m^2}\over {RT}} \int_0^T \sin^2(\omega t+\phi) dt,$$ (2-3.04)

cuja solução é simplesmente

$$\bar p = {{V_m^2}\over {2R}},$$ (2-3.05)

que é uma constante que não depende nem da pulsação $\omega$ nem da fase $\phi$.

Podemos agora fazer a seguinte pergunta: qual seria o valor da fonte de tensão contínua (DC) capaz de dissipar a potência média (2-3.5) na mesma resistência $R$ ? A reposta a esta pergunta é muito simples sabendo que a potência média dissipada por uma fonte DC, de valor $E$, numa resistência $R$, se escreve

$$\bar p_{DC} = {{E^2}\over R},$$ (2-3.06)

se igualarmos (2-3.5) e (2-3.6) temos que $E=V_m/\sqrt{2}$. Por definição chama-se valor eficaz de uma onda alternada, o valor da tensão contínua capaz de dissipar a mesma potência média numa resistência de 1 $\Omega$. Assim a tensão eficaz da onda sinusoidal (2-3.1) é

$$V_{eff} = {{V_m}\over {\sqrt{2}}}.$$ (2-3.07)

Em geral para uma onda alternada $v(t)$ (sinusoidal ou não) de período $T$ define-se o seu valor eficaz como sendo

$$V_{eff} = \sqrt{{1\over T}\int_0^T v^2(t) dt},$$ (2-3.08)

o seu valor médio como

$$\bar v = {1\over T} \int_0^T v(t) dt,$$ (2-3.09)

e o seu valor máximo por

$$V_m = \displaystyle\max_{t\in T} \{ v(t) \}.$$ (2-3.10)

Exemplo 1: considere a onda sinusoidal

$$i(t) = 5 \sin (314 t + 0.27)$$

Para uma resistência de valor $R=10 \Omega$, determine:

a)

a expressão da potência instantânea dissipada.

b)

a potência média dissipada.

c)

o valor eficaz da tensão aos seus terminais.

a) a potência instantânea escreve-se

$$p(t) = v(t) i(t) = R i(t) i(t) = 10 \times 25 \sin^2 (314 t + 0.27)$$

b) a potência média é dada por

$$\bar p = {1\over T} \int_0^T p(t) dt$$

onde substituindo a expressão encontrada em a) se obtem

$$\bar p = {{250}\over T} \int_0^T \sin^2 ({{2\pi}\over T}t + 0.27) dt$$

onde $T=2\pi/314\approx = 1/50=0.02$ s e ainda

$$\bar p = 12500 \int_0^T {1\over 2} dt + 12500 \int_0^T {1\over 2} \cos ({{4\pi}\over T} t + 0.27)dt$$

de onde se vê facilmente que o segundo membro é igual a zero e o primeiro dá

$$\bar p = 250/2=125   {\rm W}$$

Mais fácilmente podia-se ter utilizado directamente a equação (2-3.5) dizendo que $V_m=R I_M$ de onde $\bar p = R I_m^2/2$ o que obviamente dá o mesmo resultado $\bar p = 10\times 5^2/2=125$ W.

c) o valor eficaz da tensão é $V_{eff}=R I_{eff}$ e porque a corrente é sinusoidal então $I_{eff}=I_m/\sqrt{2}$ de onde $V_{eff}=10\times 5/\sqrt{2}\approx 35.3$ V.

Exemplo 2: considere uma corrente eléctrica alternada com a forma da figura 2.4.

Figura 2.4: onda quadrada.

Calcule:

a)

o seu valor máximo $I_{\rm max}$

b)

o seu valor médio $\bar i$

c)

o seu valor efficaz $I_{eff}$

a) o seu valor máximo é $I_{\rm max}=10$ A.

b) o seu valor médio é dado por

$$\bar i = {1\over T} \int_0^T i(t) dt = {1\over 4} \int_0^4 i(t) dt$$

onde se utilizou o facto de que o período da onda quadrada é igual a 4 s. Visto que a corrente $i(t)$ se encontra definida $\ne 0$ nos intervalos $[0,1]$ e $[3,4]$ temos que

$$\bar i = {1\over 4} \int_0^1 10 dt + {1\over 4}\int_3^4 10 dt = {{20}\over 4}=5$$

c) o valor eficaz da corrente é dado por

$$I_{eff}^2 = {1\over 4}\int_0^1 10^2 dt + {1\over 4}\int_3^4 10^2 dt$$

que feitas as contas permite obter $I_{eff}=\sqrt{50}\approx 7$ A.