Circuitos de segunda ordem

Neste caso estaremos em presença, por exemplo, de uma função resposta do tipo (mais uma vez é um exemplo tipo, poderia ser uma função com dois zeros ou um zero e um pólo em vez de dois pólos)

$$H(s) = {{K\omega_0^2}\over {s^2+2\alpha \omega s + \omega_0^2}},$$ (6-6.02)

de onde normalizando por $\omega_0^2$ obtemos

$$H(j\omega) = {K\over {1-({\omega\over \omega_0})^2 + {{2\alpha}\over {\omega_0}} j\omega}}.$$ (6-6.03)

Fazendo os valores limites temos

$$\omega \to 0, \Rightarrow H(j\omega) \to K$$

$${\omega\over \omega_0} \gg 1, \Rightarrow H(j\omega) \to -K({\omega_0\over \omega})^2$$

$${\omega\over \omega_0} = 1, \Rightarrow H(j\omega) = K{\omega_0\over {2\alpha j\omega}}$$

$$\omega \to \infty, \Rightarrow H(j\omega) \to 0$$

Podemos ainda verificar que neste último caso, quando $\omega \to \infty$, que o módulo de $H(j\omega)$ tende em dB's para

$$\vert H(j\omega) \vert_{\rm dB} \to -10\log [(\omega/\omega_0)^4 ],$$

ou seja

$$\vert H(j\omega) \vert_{\rm dB} \to -40\log \omega + 40\log \omega_0$$

e portanto tende para uma assimptota com a inclinação de -40 dB/década, i.e. o dobro que nos circuitos de primeira ordem. Esta constitui uma das características mais importantes dos circuitos de segunda ordem.

Uma outra característica única da resposta em frequência dos circuitos de segunda ordem é a possível existência de uma sobretensão. Por outras palavras, o valor máximo da função pode não ser obtido nem quando $\omega \to 0$ nem quando $\omega \to \infty$. Fazendo o cálculo da derivada em relação a $\omega$ do módulo $\vert H(j\omega)\vert$ (que deixamos como exercício) obtemos que essa derivada se anula para

$$\omega=0, \qquad \omega_n = \pm \omega_0\sqrt{1-2\alpha^2}$$

temos portanto o aparecimento de um valor limite, que é $\alpha = \sqrt{2}/2$ tal que $\alpha < \sqrt{2}/2, \Rightarrow$ não existe sobretensão $\alpha > \sqrt{2}/2, \Rightarrow$ existe sobretensão o valor da sobretensão, quando ela existe, pode ser fácilmente calculado como sendo

$$\vert H(j\omega_n) \vert = {{K/2}\over {\alpha\sqrt{1-\alpha^2}}}$$

No que diz respeito à fase deste circuito pode-se deduzir fácilmente como sendo variável entre 0 quando $\omega \to 0$ e -180 graus quando $\omega \to \infty$ porque a curva de fase é dada por

$$\Phi(j\omega) = - \tan^{-1} {{2\alpha\omega/\omega_0}\over {1- (\omega/\omega_0)^2}}$$

e passa por isso sempre por -90 graus para $\omega=\omega_0$. A forma como evolui mais ou menos rápidamente para as assímptotas depende essencialmente do parâmetro $\alpha$.